When adding 1996 and 1997 – the result is 3993 –where we observe that, we add 6 and 7 first getting 3 in the first rightmost column and carrying 1 over to the second column. In the same vein, we obseve that- there are three carries in total in the said addition.
Determine the minimum value of a positive integer C such that when we add 1996*C and 1997*C, there do not arise any carry throughout the entire calculation.
Does there exist an infinite number of values of C satisfying the given conditions?
Give reasons for your answer.
The minimum c is 162 per the following table:
The first few:
addends sum c
323352 323514 646866 162
331336 331502 662838 166
343312 343484 686796 172
431136 431352 862488 216
443112 443334 886446 222
1141712 1142284 2283996 572
1143708 1144281 2287989 573
1229536 1230152 2459688 616
1241512 1242134 2483646 622
1243508 1244131 2487639 623
1321352 1322014 2643366 662
1323348 1324011 2647359 663
1329336 1330002 2659338 666
1441112 1441834 2882946 722
1443108 1443831 2886939 723
2313364 2314523 4627887 1159
2319352 2320514 4639866 1162
2321348 2322511 4643859 1163
2339312 2340484 4679796 1172
2341308 2342481 4683789 1173
2433124 2434343 4867467 1219
2439112 2440334 4879446 1222
2441108 2442331 4883439 1223
3143700 3145275 6288975 1575
3223540 3225155 6448695 1615
3231524 3233143 6464667 1619
3233520 3235140 6468660 1620
3243500 3245125 6488625 1625
3311364 3313023 6624387 1659
3313360 3315020 6628380 1660
3323340 3325005 6648345 1665
3423140 3424855 6847995 1715
3431124 3432843 6863967 1719
3433120 3434840 6867960 1720
3439108 3440831 6879939 1723
3443100 3444825 6887925 1725
4311360 4313520 8624880 2160
4321340 4323505 8644845 2165
4323336 4325502 8648838 2166
4341300 4343475 8684775 2175
4421140 4423355 8844495 2215
4423136 4425352 8848488 2216
4431120 4433340 8864460 2220
4441100 4443325 8884425 2225
10297364 10302523 20599887 5159
10305348 10310511 20615859 5163
10311336 10316502 20627838 5166
10325308 10330481 20655789 5173
10411136 10416352 20827488 5216
10417124 10422343 20839467 5219
10425108 10430331 20855439 5223
10437084 10442313 20879397 5229
10445068 10450301 20895369 5233
11121712 11127284 22248996 5572
11215524 11221143 22436667 5619
and more from the end:
1423128040 1423841030 2846969070 712990
1423132032 1423845024 2846977056 712992
1423138020 1423851015 2846989035 712995
1423140016 1423853012 2846993028 712996
1423433428 1424146571 2847579999 713143
1423437420 1424150565 2847587985 713145
1423491312 1424204484 2847695796 713172
1423493308 1424206481 2847699789 713173
1423527240 1424240430 2847767670 713190
1423531232 1424244424 2847775656 713192
1423533228 1424246421 2847779649 713193
1423537220 1424250415 2847787635 713195
1423587120 1424300340 2847887460 713220
1423591112 1424304334 2847895446 713222
1423593108 1424306331 2847899439 713223
1423607080 1424320310 2847927390 713230
1423611072 1424324304 2847935376 713232
1423613068 1424326301 2847939369 713233
1423633028 1424346271 2847979299 713243
1423637020 1424350265 2847987285 713245
1424010272 1424723704 2848733976 713432
1424012268 1424725701 2848737969 713433
1424032228 1424745671 2848777899 713443
1424038216 1424751662 2848789878 713446
1424090112 1424803584 2848893696 713472
1424092108 1424805581 2848897689 713473
1424118056 1424831542 2848949598 713486
1424130032 1424843524 2848973556 713492
1424132028 1424845521 2848977549 713493
1424138016 1424851512 2848989528 713496
1424291708 1425005281 2849296989 713573
1424317656 1425031242 2849348898 713586
1424331628 1425045221 2849376849 713593
1424337616 1425051212 2849388828 713596
1424391508 1425105131 2849496639 713623
1424411468 1425125101 2849536569 713633
1424431428 1425145071 2849576499 713643
1424437416 1425151062 2849588478 713646
1424591108 1425304831 2849895939 713723
1424603084 1425316813 2849919897 713729
1424611068 1425324801 2849935869 713733
1424631028 1425344771 2849975799 713743
1424637016 1425350762 2849987778 713746
1424643004 1425356753 2849999757 713749
1429421428 1430137571 2859558999 716143
1429425420 1430141565 2859566985 716145
1429435400 1430151550 2859586950 716150
1429485300 1430201475 2859686775 716175
1429515240 1430231430 2859746670 716190
1429521228 1430237421 2859758649 716193
1429525220 1430241415 2859766635 716195
1429535200 1430251400 2859786600 716200
1429585100 1430301325 2859886425 716225
1429601068 1430317301 2859918369 716233
1429621028 1430337271 2859958299 716243
1429625020 1430341265 2859966285 716245
1429635000 1430351250 2859986250 716250
1430000268 1430716701 2860716969 716433
1430020228 1430736671 2860756899 716443
1430024220 1430740665 2860764885 716445
1430026216 1430742662 2860768878 716446
1430034200 1430750650 2860784850 716450
1430084100 1430800575 2860884675 716475
1430106056 1430822542 2860928598 716486
1430114040 1430830530 2860944570 716490
1430120028 1430836521 2860956549 716493
1430124020 1430840515 2860964535 716495
1430126016 1430842512 2860968528 716496
1430134000 1430850500 2860984500 716500
1430283700 1431000275 2861283975 716575
1430305656 1431022242 2861327898 716586
1430311644 1431028233 2861339877 716589
1430313640 1431030230 2861343870 716590
1430323620 1431040215 2861363835 716595
1430325616 1431042212 2861367828 716596
1430331604 1431048203 2861379807 716599
1430333600 1431050200 2861383800 716600
1430383500 1431100125 2861483625 716625
1430391484 1431108113 2861499597 716629
1430423420 1431140065 2861563485 716645
1430425416 1431142062 2861567478 716646
1430431404 1431148053 2861579457 716649
1430433400 1431150050 2861583450 716650
1430591084 1431307813 2861898897 716729
1430625016 1431341762 2861966778 716746
1430631004 1431347753 2861978757 716749
1431024216 1431741162 2862765378 716946
1431030204 1431747153 2862777357 716949
1431104056 1431821042 2862925098 716986
1431110044 1431827033 2862937077 716989
1431116032 1431833024 2862949056 716992
1431124016 1431841012 2862965028 716996
1431130004 1431847003 2862977007 716999
1431421420 1432138565 2863559985 717145
1431423416 1432140562 2863563978 717146
1431431400 1432148550 2863579950 717150
1431503256 1432220442 2863723698 717186
1431511240 1432228430 2863739670 717190
1431515232 1432232424 2863747656 717192
1431521220 1432238415 2863759635 717195
1431523216 1432240412 2863763628 717196
1431531200 1432248400 2863779600 717200
1431591080 1432308310 2863899390 717230
1431621020 1432338265 2863959285 717245
1431623016 1432340262 2863963278 717246
1431631000 1432348250 2863979250 717250
1432016228 1432733671 2864749899 717443
1432020220 1432737665 2864757885 717445
1432030200 1432747650 2864777850 717450
1432110040 1432827530 2864937570 717490
1432114032 1432831524 2864945556 717492
1432116028 1432833521 2864949549 717493
1432120020 1432837515 2864957535 717495
1432130000 1432847500 2864977500 717500
1432313632 1433031224 2865344856 717592
1432315628 1433033221 2865348849 717593
1432415428 1433133071 2865548499 717643
1432615028 1433332771 2865947799 717743
1432621016 1433338762 2865959778 717746
1433014228 1433732171 2866746399 717943
1433020216 1433738162 2866758378 717946
1433100056 1433818042 2866918098 717986
1433112032 1433830024 2866942056 717992
1433114028 1433832021 2866946049 717993
1433120016 1433838012 2866958028 717996
1433413428 1434131571 2867544999 718143
1433425404 1434143553 2867568957 718149
1433505244 1434223433 2867728677 718189
1433513228 1434231421 2867744649 718193
1433525204 1434243403 2867768607 718199
1433585084 1434303313 2867888397 718229
1433613028 1434331271 2867944299 718243
1433625004 1434343253 2867968257 718249
1434012228 1434730671 2868742899 718443
1434024204 1434742653 2868766857 718449
1434104044 1434822533 2868926577 718489
1434110032 1434828524 2868938556 718492
1434112028 1434830521 2868942549 718493
1434124004 1434842503 2868966507 718499
1434303644 1435022233 2869325877 718589
1434305640 1435024230 2869329870 718590
1434311628 1435030221 2869341849 718593
1434315620 1435034215 2869349835 718595
1434323604 1435042203 2869365807 718599
1434325600 1435044200 2869369800 718600
1434383484 1435102113 2869485597 718629
1434385480 1435104110 2869489590 718630
1434411428 1435130071 2869541499 718643
1434415420 1435134065 2869549485 718645
1434423404 1435142053 2869565457 718649
1434425400 1435144050 2869569450 718650
1434583084 1435301813 2869884897 718729
1434585080 1435303810 2869888890 718730
1434615020 1435333765 2869948785 718745
1434623004 1435341753 2869964757 718749
1434625000 1435343750 2869968750 718750
1439401428 1440122571 2879523999 721143
1439413404 1440134553 2879547957 721149
1439433364 1440154523 2879587887 721159
1439439352 1440160514 2879599866 721162
1439501228 1440222421 2879723649 721193
1439513204 1440234403 2879747607 721199
1439579072 1440300304 2879879376 721232
1439581068 1440302301 2879883369 721233
1439601028 1440322271 2879923299 721243
1439613004 1440334253 2879947257 721249
1440000228 1440721671 2880721899 721443
1440004220 1440725665 2880729885 721445
1440012204 1440733653 2880745857 721449
1440014200 1440735650 2880749850 721450
1440032164 1440753623 2880785787 721459
1440034160 1440755620 2880789780 721460
1440100028 1440821521 2880921549 721493
1440104020 1440825515 2880929535 721495
1440112004 1440833503 2880945507 721499
1440114000 1440835500 2880949500 721500
1440303620 1441025215 2881328835 721595
1440311604 1441033203 2881344807 721599
1440313600 1441035200 2881348800 721600
1440403420 1441125065 2881528485 721645
1440411404 1441133053 2881544457 721649
1440413400 1441135050 2881548450 721650
1440431364 1441153023 2881584387 721659
1440433360 1441155020 2881588380 721660
1440579068 1441300801 2881879869 721733
1440603020 1441324765 2881927785 721745
1440611004 1441332753 2881943757 721749
1440613000 1441334750 2881947750 721750
1441002220 1441724165 2882726385 721945
1441010204 1441732153 2882742357 721949
1441012200 1441734150 2882746350 721950
1441030164 1441752123 2882782287 721959
1441032160 1441754120 2882786280 721960
1441038148 1441760111 2882798259 721963
1441102020 1441824015 2882926035 721995
1441110004 1441832003 2882942007 721999
1441112000 1441834000 2882946000 722000
1441401420 1442123565 2883524985 722145
1441403416 1442125562 2883528978 722146
1441411400 1442133550 2883544950 722150
1441431360 1442153520 2883584880 722160
1441483256 1442205442 2883688698 722186
1441501220 1442223415 2883724635 722195
1441503216 1442225412 2883728628 722196
1441511200 1442233400 2883744600 722200
1441601020 1442323265 2883924285 722245
1441603016 1442325262 2883928278 722246
1441611000 1442333250 2883944250 722250
1442000220 1442722665 2884722885 722445
1442002216 1442724662 2884726878 722446
1442008204 1442730653 2884738857 722449
1442010200 1442732650 2884742850 722450
1442028164 1442750623 2884778787 722459
1442030160 1442752620 2884782780 722460
1442082056 1442804542 2884886598 722486
1442088044 1442810533 2884898577 722489
1442100020 1442822515 2884922535 722495
1442102016 1442824512 2884926528 722496
1442108004 1442830503 2884938507 722499
1442110000 1442832500 2884942500 722500
1442281656 1443004242 2885285898 722586
1442287644 1443010233 2885297877 722589
1442301616 1443024212 2885325828 722596
1442307604 1443030203 2885337807 722599
1442401416 1443124062 2885525478 722646
1442407404 1443130053 2885537457 722649
1442427364 1443150023 2885577387 722659
1442433352 1443156014 2885589366 722662
1442601016 1443323762 2885924778 722746
1443000216 1443723162 2886723378 722946
1443008200 1443731150 2886739350 722950
1443028160 1443751120 2886779280 722960
1443032152 1443755114 2886787266 722962
1443038140 1443761105 2886799245 722965
1443080056 1443803042 2886883098 722986
1443088040 1443811030 2886899070 722990
1443100016 1443823012 2886923028 722996
1443108000 1443831000 2886939000 723000
1443407400 1444130550 2887537950 723150
1443427360 1444150520 2887577880 723160
1443431352 1444154514 2887585866 723162
1443433348 1444156511 2887589859 723163
1443437340 1444160505 2887597845 723165
1443487240 1444210430 2887697670 723190
1443507200 1444230400 2887737600 723200
1443537140 1444260355 2887797495 723215
1443607000 1444330250 2887937250 723250
1444030152 1444753614 2888783766 723462
1444032148 1444755611 2888787759 723463
1444038136 1444761602 2888799738 723466
1444078056 1444801542 2888879598 723486
1444277656 1445001242 2889278898 723586
1444337536 1445061152 2889398688 723616
1444431348 1445155011 2889586359 723663
1444437336 1445161002 2889598338 723666
1444537136 1445260852 2889797988 723716
1444603004 1445326753 2889929757 723749
1449381428 1450107571 2899488999 726143
1449385420 1450111565 2899496985 726145
1449415360 1450141520 2899556880 726160
1449421348 1450147511 2899568859 726163
1449425340 1450151505 2899576845 726165
1449475240 1450201430 2899676670 726190
1449481228 1450207421 2899688649 726193
1449485220 1450211415 2899696635 726195
1449525140 1450251355 2899776495 726215
1449535120 1450261340 2899796460 726220
1449581028 1450307271 2899888299 726243
1449585020 1450311265 2899896285 726245
1499313364 1500064523 2999377887 751159
1499319352 1500070514 2999389866 751162
1499321348 1500072511 2999393859 751163
1499373244 1500124433 2999497677 751189
1499453084 1500204313 2999657397 751229
1499459072 1500210304 2999669376 751232
1499461068 1500212301 2999673369 751233
1499572844 1500324133 2999896977 751289
It goes further by increasing the limit, such as
14205310444 14212427333 28417737777 7116889
14205316432 14212433324 28417749756 7116892
14205324416 14212441312 28417765728 7116896
14205330404 14212447303 28417777707 7116899
14205390284 14212507213 28417897497 7116929
14205424216 14212541162 28417965378 7116946
14205430204 14212547153 28417977357 7116949
14205903256 14213020442 28418923698 7117186
14205911240 14213028430 28418939670 7117190
The size of c can apparently get as large as you like but must begin with a digit that's 7 or less. In fact it should begin with 1, 2, 5, 6 or 7, as in
1999143700 2000145275 3999288975 1001575
3998307360 4000310520 7998617880 2003160
10000291336 10005301502 20005592838 5010166
11994293340 12000302505 23994595845 6009165
13993101712 14000112284 27993213996 7010572
DefDbl A-Z
Dim crlf$
Private Sub Form_Load()
Form1.Visible = True
Text1.Text = ""
crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
For c = 1 To 999999
DoEvents
a1$ = LTrim(Str(1996 * c)): a2$ = LTrim(Str(1997 * c))
s$ = LTrim(Str(3993 * c))
If Len(a1) = Len(a2) And Len(a1) = Len(s) Then
good = 1
For i = 1 To Len(a1)
If Val(Mid(a1, i, 1)) + Val(Mid(a2, i, 1)) <> Val(Mid(s, i, 1)) Then good = 0
Next
If good Then
Text1.Text = Text1.Text & a1 + " " + a2 + " " + s + " " + Str(c) & crlf
End If
End If
Next c
Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
End Sub
|
|
Posted by Charlie
on 2016-04-26 13:56:38 |
Part 1
