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 Form Finding From Solution (Posted on 2016-09-05)
Consider the equation:
P1* P2 + P2* P3+…..+ Pn-1* Pn + Pn* P1 = 0, where n is a positive integer, and each Pi= 1 or -1

Derive the general form of n such that the above equation has at least one valid solution.

 No Solution Yet Submitted by K Sengupta No Rating

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 seems to be a solution | Comment 1 of 2
If n were odd, there'd be an odd number of terms each of which is either 1 or -1, so odd n are disallowed.

If n is 2, you'd get something like a*b + b*a = 2*b*a = 0, but with possibilities for a and b each beaing -1 or +1, this also has no soluitions.

If n = 4, you get a*b + b*c +c*d + d*1. Starting with a=+1, then b=c=-1 and d=+1, you get -1 + +1 + -1 + +1 = 0, a valid solution.

a*b + b*c + c*d + d*e + e*f + f*a
+ -   - -   - +   + -   - +   + +
-     +     -     -     -     +

This particular combination doesn't work, but what about others.

A computer program verifies that multiples of 4 are the only cases for n that work. For any given multiple of 4, various combinations of which P's are positive and which P's are negative work, but not all such combinations; and I can't decipher a pattern.  Here are the examples for n = 4, 8 and 12, with that value of n following the pattern of + and - 1.

-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1    8
-1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1    8
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1    8
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    8
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 1    8
-1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1    8
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1    8
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    8
-1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1    8
-1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1    8
-1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 -1 1 1 1    8
-1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1    8
-1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 -1    8
-1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 -1 1 1    8
-1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1 1 1 -1 1    8
-1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 -1 1    4
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1    8
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1    8
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    8
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1    8
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1    8
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 -1 1 1 1    8
-1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1    8
-1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 -1 -1    8
-1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 -1    8
-1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 -1 1 1 1 1    8
-1 -1 1 -1    4
-1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 -1 1    8
-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 -1    8
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1    8
-1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 -1 -1    8
-1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 -1    8
-1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 -1 1 1 1    8
-1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 -1 1    8
-1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 -1    8
-1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 -1 1 1    8
-1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1 1 1 -1 1    8
-1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1    12
-1 -1 1 1    4
-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1    8
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1    8
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    8
-1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1    8
-1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 -1    8
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1    8
-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1    8
-1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 -1 -1    8
-1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1    8
-1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 -1 1 1 1 1    8
-1 1 -1 -1    4
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1    8
-1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 -1 -1 -1    8
-1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 -1 -1    8
-1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 -1    8
-1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 -1 1 1 1 1 1    8
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1    8
-1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 -1    8
-1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 -1 1 1    8
-1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 -1 -1    8
-1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1    8
-1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 -1 1 1 1    8
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1    8
-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 1 -1 -1    8
-1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1    12
-1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1    12
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1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1    12
1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1    12
1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1    12
1 1 1 1 1 -1 1 -1    8
1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1    12
1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1    12

DefDbl A-Z
Dim crlf\$, p(50), sum

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""
crlf = Chr\$(13) + Chr\$(10)

eval 1

Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"

End Sub

Sub eval(k)
DoEvents
For p(k) = -1 To 1 Step 2
If k > 1 And k < 12 Then
term = p(k - 1) * p(k): sum = sum + term
eval k + 1
sum = sum - term
ElseIf k < 12 Then
eval k + 1
End If
If k Mod 2 = 0 Then
pterm = term
term = p(k) * p(1)
sum = sum + term + pterm
If sum = 0 Then
For i = 1 To k
Text1.Text = Text1.Text & p(i) & " "
Next
Text1.Text = Text1.Text & "   " & k & crlf
End If
sum = sum - term - pterm
End If
Next
End Sub

 Posted by Charlie on 2016-09-05 12:35:06

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