Proof by contradiction:

Suppose there were a largest Ulam number. The sum of the largest and the second largest would be a number that, thanks to the lack of intervening numbers, and the fact that it is the largest sum that could be formed from just two Ulam numbers (of that presumed finite set), would be another Ulam number. QED. Of course the actual presence of other, intervening, Ulam numbers could prevent the hypothesized number from actually being an Ulam number, but of course those numbers themselves would be the counterargument to the "last" Ulam number being the last Ulam number.

Bonus:

The below are the 827 (except the first two are not shown) Ulam numbers below 10,000. Only two were found that are the sum of two consecutive Ulam numbers: 3 = 2 + 1 and 131 = 69 + 62.

Shown are the ordinal position and the Ulam number itself. In the two cases mentioned, the consecutive Ulam numbers that make it up are shown after an asterisk.

3 3 * 2 1

4 4

5 6

6 8

7 11

8 13

9 16

10 18

11 26

12 28

13 36

14 38

15 47

16 48

17 53

18 57

19 62

20 69

21 72

22 77

23 82

24 87

25 97

26 99

27 102

28 106

29 114

30 126

31 131 * 69 62

32 138

33 145

34 148

35 155

36 175

37 177

38 180

39 182

40 189

41 197

42 206

43 209

44 219

45 221

46 236

47 238

48 241

49 243

50 253

51 258

52 260

53 273

54 282

55 309

56 316

57 319

58 324

59 339

60 341

61 356

62 358

63 363

64 370

65 382

66 390

67 400

68 402

69 409

70 412

71 414

72 429

73 431

74 434

75 441

76 451

77 456

78 483

79 485

80 497

81 502

82 522

83 524

84 544

85 546

86 566

87 568

88 585

89 602

90 605

91 607

92 612

93 624

94 627

95 646

96 668

97 673

98 685

99 688

100 690

101 695

102 720

103 722

104 732

105 734

106 739

107 751

108 781

109 783

110 798

111 800

112 820

113 847

114 849

115 861

116 864

117 866

118 891

119 893

120 905

121 927

122 949

123 983

124 986

125 991

126 1018

127 1020

128 1023

129 1025

130 1030

131 1032

132 1035

133 1037

134 1052

135 1079

136 1081

137 1101

138 1103

139 1125

140 1155

141 1157

142 1164

143 1167

144 1169

145 1186

146 1191

147 1208

148 1230

149 1252

150 1257

151 1296

152 1308

153 1311

154 1313

155 1335

156 1338

157 1340

158 1355

159 1360

160 1377

161 1387

162 1389

163 1404

164 1406

165 1428

166 1431

167 1433

168 1462

169 1465

170 1470

171 1472

172 1489

173 1492

174 1509

175 1514

176 1516

177 1531

178 1536

179 1538

180 1550

181 1553

182 1594

183 1602

184 1604

185 1616

186 1641

187 1643

188 1646

189 1648

190 1660

191 1682

192 1707

193 1709

194 1721

195 1724

196 1748

197 1765

198 1770

199 1790

200 1792

201 1812

202 1814

203 1834

204 1836

205 1853

206 1856

207 1858

208 1900

209 1902

210 1919

211 1941

212 1944

213 1946

214 1966

215 1968

216 1985

217 2010

218 2012

219 2032

220 2034

221 2054

222 2056

223 2090

224 2093

225 2095

226 2112

227 2115

228 2117

229 2134

230 2156

231 2178

232 2247

233 2249

234 2252

235 2254

236 2288

237 2327

238 2330

239 2332

240 2354

241 2371

242 2393

243 2418

244 2420

245 2445

246 2447

247 2462

248 2464

249 2481

250 2484

251 2486

252 2511

253 2513

254 2525

255 2550

256 2552

257 2572

258 2574

259 2581

260 2584

261 2589

262 2613

263 2616

264 2618

265 2628

266 2630

267 2633

268 2635

269 2650

270 2660

271 2662

272 2674

273 2696

274 2721

275 2723

276 2748

277 2750

278 2762

279 2787

280 2789

281 2809

282 2811

283 2814

284 2816

285 2831

286 2833

287 2897

288 2899

289 2916

290 2919

291 2921

292 2985

293 2987

294 3029

295 3031

296 3038

297 3041

298 3043

299 3065

300 3068

301 3070

302 3085

303 3090

304 3092

305 3107

306 3109

307 3131

308 3153

309 3205

310 3207

311 3214

312 3217

313 3219

314 3236

315 3239

316 3261

317 3263

318 3288

319 3290

320 3305

321 3368

322 3371

323 3373

324 3390

325 3393

326 3395

327 3415

328 3417

329 3451

330 3454

331 3456

332 3473

333 3476

334 3481

335 3483

336 3495

337 3525

338 3527

339 3544

340 3547

341 3549

342 3591

343 3593

344 3605

345 3608

346 3610

347 3622

348 3625

349 3630

350 3632

351 3649

352 3669

353 3671

354 3691

355 3696

356 3698

357 3723

358 3725

359 3740

360 3742

361 3759

362 3762

363 3764

364 3806

365 3808

366 3825

367 3872

368 3874

369 3886

370 3916

371 3918

372 3930

373 3952

374 3960

375 3962

376 3974

377 3991

378 3994

379 4018

380 4038

381 4040

382 4057

383 4101

384 4118

385 4121

386 4148

387 4150

388 4153

389 4155

390 4165

391 4167

392 4187

393 4211

394 4233

395 4258

396 4260

397 4294

398 4297

399 4324

400 4326

401 4341

402 4343

403 4363

404 4365

405 4368

406 4370

407 4390

408 4392

409 4404

410 4407

411 4409

412 4451

413 4453

414 4470

415 4517

416 4519

417 4531

418 4534

419 4536

420 4578

421 4580

422 4600

423 4602

424 4619

425 4622

426 4624

427 4641

428 4644

429 4646

430 4666

431 4668

432 4707

433 4729

434 4732

435 4734

436 4754

437 4756

438 4798

439 4800

440 4878

441 4881

442 4883

443 4900

444 4903

445 4905

446 4925

447 4927

448 4969

449 4971

450 4996

451 4998

452 5018

453 5020

454 5032

455 5035

456 5037

457 5049

458 5052

459 5057

460 5059

461 5079

462 5081

463 5096

464 5118

465 5159

466 5162

467 5164

468 5181

469 5184

470 5186

471 5206

472 5208

473 5250

474 5252

475 5269

476 5272

477 5274

478 5291

479 5294

480 5296

481 5316

482 5318

483 5335

484 5357

485 5382

486 5384

487 5484

488 5487

489 5489

490 5514

491 5516

492 5531

493 5533

494 5550

495 5597

496 5599

497 5616

498 5663

499 5665

500 5685

501 5687

502 5765

503 5768

504 5770

505 5795

506 5797

507 5812

508 5814

509 5826

510 5829

511 5853

512 5856

513 5858

514 5873

515 5875

516 5878

517 5880

518 5895

519 5900

520 5902

521 5944

522 5946

523 6024

524 6027

525 6029

526 6046

527 6049

528 6051

529 6068

530 6107

531 6110

532 6112

533 6134

534 6154

535 6156

536 6176

537 6178

538 6239

539 6242

540 6244

541 6283

542 6308

543 6310

544 6322

545 6325

546 6327

547 6352

548 6354

549 6366

550 6391

551 6393

552 6410

553 6418

554 6420

555 6435

556 6437

557 6457

558 6459

559 6479

560 6481

561 6520

562 6523

563 6525

564 6550

565 6552

566 6567

567 6569

568 6586

569 6633

570 6635

571 6652

572 6721

573 6723

574 6735

575 6738

576 6740

577 6782

578 6784

579 6804

580 6806

581 6831

582 6833

583 6862

584 6865

585 6870

586 6872

587 6889

588 6892

589 6894

590 6909

591 6911

592 6914

593 6916

594 6931

595 6936

596 6938

597 6980

598 6982

599 7038

600 7041

601 7043

602 7060

603 7063

604 7065

605 7082

606 7104

607 7156

608 7158

609 7170

610 7192

611 7195

612 7197

613 7217

614 7219

615 7258

616 7275

617 7278

618 7280

619 7297

620 7300

621 7302

622 7322

623 7324

624 7366

625 7368

626 7424

627 7427

628 7432

629 7434

630 7459

631 7461

632 7471

633 7473

634 7476

635 7478

636 7490

637 7498

638 7500

639 7520

640 7522

641 7537

642 7539

643 7559

644 7578

645 7581

646 7583

647 7600

648 7603

649 7605

650 7622

651 7691

652 7693

653 7727

654 7730

655 7735

656 7737

657 7749

658 7752

659 7754

660 7774

661 7776

662 7779

663 7781

664 7798

665 7818

666 7820

667 7881

668 7884

669 7886

670 7928

671 7930

672 7950

673 7952

674 7977

675 7979

676 8008

677 8011

678 8016

679 8018

680 8055

681 8057

682 8060

683 8062

684 8077

685 8096

686 8099

687 8101

688 8126

689 8128

690 8143

691 8145

692 8165

693 8167

694 8192

695 8194

696 8236

697 8238

698 8250

699 8253

700 8255

701 8272

702 8275

703 8277

704 8294

705 8316

706 8338

707 8368

708 8370

709 8404

710 8421

711 8424

712 8426

713 8451

714 8453

715 8468

716 8487

717 8509

718 8512

719 8514

720 8531

721 8539

722 8541

723 8553

724 8570

725 8573

726 8617

727 8619

728 8639

729 8666

730 8668

731 8702

732 8705

733 8749

734 8751

735 8754

736 8756

737 8771

738 8773

739 8812

740 8815

741 8817

742 8842

743 8844

744 8856

745 8873

746 8876

747 8917

748 8942

749 8947

750 8949

751 8964

752 8966

753 8969

754 8971

755 8983

756 9013

757 9015

758 9027

759 9052

760 9054

761 9071

762 9093

763 9118

764 9120

765 9132

766 9135

767 9137

768 9162

769 9164

770 9179

771 9184

772 9186

773 9193

774 9196

775 9240

776 9250

777 9252

778 9262

779 9308

780 9311

781 9313

782 9355

783 9357

784 9377

785 9379

786 9399

787 9401

788 9443

789 9445

790 9509

791 9511

792 9553

793 9555

794 9575

795 9577

796 9619

797 9621

798 9641

799 9643

800 9663

801 9665

802 9699

803 9702

804 9704

805 9721

806 9724

807 9726

808 9743

809 9765

810 9804

811 9807

812 9809

813 9834

814 9836

815 9851

816 9853

817 9870

818 9917

819 9919

820 9939

821 9941

822 9958

823 9961

824 9963

825 9980

826 9983

827 9985