All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Two-three integers (Posted on 2017-10-15) Difficulty: 3 of 5
Call an integer a two-three integer if it is greater than 1 and has the form 2a * 3b, where a ≥ 0 and b ≥ 0.
Express 19992000 as a sum of two-three integers so that none of the addends divides another.

Source: Eighth Korean Mathematical Olympiad (Crux Math. Dec 1999)

No Solution Yet Submitted by Ady TZIDON    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer-aided solution | Comment 1 of 6
The theory behind the solution:

If the two-three integers are arranged with decreasing powers of 3, they must necessarily have increasing powers of 2 so that with any pair of numbers neither will divide the other, as one will have a higher power of 3 while the other has a higher power of 2.

The program below lists all such pairings of powers where the resulting integers add to 19992000 (I assume in honor of the pseudo millennium change).

There are 31 solutions.  Each row in the table shows the power of two followed by the power of three in each of the component two-three integers.  For example, the first one is:

2^6*3^11 + 2^8*3^9 + 2^10*3^7 + 2^16*3^2 + 2^18*3^1  or
11337408 + 5038848 + 2239488 +  589824  +  786432  = 19992000

6 11    8 9    10 7    16 2    18 1    
6 11    8 9    10 5    13 3    20 1    
6 11    8 8    9 7    11 6    12 5    13 3    20 1    
6 11    8 8    9 7    11 6    12 4    15 3    20 1    
6 11    8 8    9 7    11 5    14 4    15 3    20 1    
6 11    8 8    9 5    11 4    17 3    20 1    
6 11    8 7    10 6    13 5    14 4    15 3    20 1    
6 11    8 7    10 6    13 4    17 3    20 1    
6 10    7 9    9 8    12 7    16 2    18 1    
6 10    7 9    9 8    12 6    13 5    14 4    15 3    20 1    
6 10    7 9    9 8    12 6    13 4    17 3    20 1    
6 10    7 9    9 8    12 5    15 4    17 3    20 1    
6 10    7 9    9 6    14 5    15 4    17 3    20 1    
6 10    7 9    9 6    14 3    15 2    22 1    
6 10    7 8    8 7    11 6    14 5    15 4    17 3    20 1    
6 10    7 8    8 7    11 6    14 3    15 2    22 1    
6 10    7 8    8 7    11 5    12 4    13 3    17 2    22 1    
6 10    7 8    8 7    11 4    15 3    17 2    22 1    
6 10    7 8    8 5    13 4    15 3    17 2    22 1    
6 10    7 7    9 6    10 5    13 4    15 3    17 2    22 1    
6 9    8 8    10 7    11 6    14 5    15 4    17 3    20 1    
6 9    8 8    10 7    11 6    14 3    15 2    22 1    
6 9    8 8    10 7    11 5    12 4    13 3    17 2    22 1    
6 9    8 8    10 7    11 4    15 3    17 2    22 1    
6 9    8 8    10 6    12 5    13 4    15 3    17 2    22 1    
6 9    8 7    9 6    11 5    19 3    20 1    
6 9    8 7    9 6    11 5    19 2    22 1    
6 8    7 7    13 6    14 5    15 4    17 3    20 1    
6 8    7 7    13 6    14 3    15 2    22 1    
6 8    7 7    13 5    19 3    20 1    
6 8    7 7    13 5    19 2    22 1  

DefDbl A-Z
Dim crlf$, pwrs(100, 2 To 3), totSoFar, goal


Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
 
 goal = 19992000
 
 pwrs(0, 2) = -1
 pwrs(0, 3) = 16
 addOn 1
 
 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
  
End Sub

Sub addOn(wh)


  If totSoFar > goal Then Exit Sub

  For b = pwrs(wh - 1, 3) - 1 To 0 Step -1
  For a = pwrs(wh - 1, 2) + 1 To 24
    n = Int(2 ^ a * 3 ^ b + 0.5)
    totSoFar = totSoFar + n
    If n > goal Then totSoFar = totSoFar - n: Exit For
    pwrs(wh, 2) = a: pwrs(wh, 3) = b
    If totSoFar = goal Then
      For i = 1 To wh
        Text1.Text = Text1.Text & pwrs(i, 2) & Str(pwrs(i, 3)) & "    "
      Next
      Text1.Text = Text1.Text & crlf
      totSoFar = totSoFar - n: Exit For
    End If
    DoEvents
    addOn wh + 1
    totSoFar = totSoFar - n
  Next
  Next
End Sub

Edited on October 15, 2017, 4:55 pm
  Posted by Charlie on 2017-10-15 16:54:45

Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (2)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information