Number and its prime factors:

 38 2 19

 381  3 127

 3811  37 103

 38111  23 1657

 381111  3 127037

 3811111  17 37 73 83

 38111111  233 163567

 381111111  3 3 42345679

 3811111111  37 113 613 1487

 38111111111  31 2333 526957

 381111111111  3 2399 52954163

 3811111111111  37 103003003003

 38111111111111  23333 1633356667

 381111111111111  3 73 1740233384069

 3811111111111111  37 2287 45038479669

 38111111111111111  353 661 163333566667

 381111111111111111  3 3 131 323249458109509

 3811111111111111111  37 114346289 900798827

 38111111111111111111  19 227 541 2857 5716953331

 381111111111111111111  3 879449 1140233 126685261

 

     4   word 255:kill "38and1s.txt":open "38and1s.txt" for output as #2

     5   N=38

    10   for I=2 to 20

    20     print N;:Fctors=fnFactor(N):N=N*10+1

    25     print #2,N;

    30   next

    40   close #2

   999   end

  1000   fnFactor(Num)

  1005   local Fctrs,S,N,I

  1010     N=abs(Num):Ct=0:Fctrs=0:S=""

  1020     if N>0 then Limit=sqrt(N):else Limit=0

  1030     if Limit<>int(Limit) then Limit=int(Limit+1)

  1040     Dv=2:gosub *DivideIt

  1050     Dv=3:gosub *DivideIt

  1060     Dv=5:gosub *DivideIt

  1070     Dv=7

  1080     loop

  1090      if Dv>Limit then goto *Afterloop

  1100      gosub *DivideIt:Dv=Dv+4 '11

  1110      gosub *DivideIt:Dv=Dv+2 '13

  1120      gosub *DivideIt:Dv=Dv+4 '17

  1130      gosub *DivideIt:Dv=Dv+2 '19

  1140      gosub *DivideIt:Dv=Dv+4 '23

  1150      gosub *DivideIt:Dv=Dv+6 '29

  1160      gosub *DivideIt:Dv=Dv+2 '31

  1170      gosub *DivideIt:Dv=Dv+6 '37

  1180      if inkey=chr(27) then S$=chr(27):end

  1190    endloop

  1200    *Afterloop

  1210    if N>1 then S=str(S)+str(N):Ct=Ct+1

  1220   print S

  1221   print #2,S

  1230   return(Ct)

  1240  

  1250   *DivideIt

  1255   Did=0

  1260    loop

  1270     Q=int(N/Dv)

  1280     if Q*Dv=N and N>0 then

  1290       :N=Q:Fctrs=Fctrs+1:S=str(S)+str(Dv):Ct=Ct+1

  1291       :Did=Did+1

  1300       :if N>0 then Limit=sqrt(N):else Limit=0:endif

  1310       :if Limit<>int(Limit) then Limit=int(Limit+1):endif

  1320      :else

  1330      :goto *Afterdo

  1340     :endif

  1350    endloop

  1360    *Afterdo

  1370    return

  

  Wolfram Alpha supplies:

  

   3811111111111111111111 37 393380951 261840342653

   38111111111111111111111 17 73 1372549 22374429543379

   381111111111111111111111 3 55711 158823283 14357381249

   

   Every third one seems to be a multiple of three, and the one after that is a multiple of 37. The one after than would seem to be unpredicatable, but is actually always divisible by 2333..., with one more 3 each occurrence. it's disquised by the fact that 233333 = 353*661 and 2333333 = 19*227*541 and 23333333 =  17*1372549.