All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Three fours (Posted on 2017-12-06) Difficulty: 3 of 5
Majority of the integers from 1 to 100 can be evaluated using three 4's, +, -, *, /, ^, sqrt, decimal point, dot above a number, and !,!!,...? (both as factorials, multifactorials and subfactorials).

Clearly, both concatenation and brackets are allowed.

Let's try to minimize the set of "not achievable" numbers.

Team work to include all possible answers is encouraged.

No Solution Yet Submitted by Ady TZIDON    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solutions (spoilers) | Comment 1 of 3
The following list assumes exactly three 4's are needed.

The subfactorial was used only if no other way resulted in a given  number.  Other than that, the way of achieving a given number that had the shortest RPN representation is used. In most instances that is the one with the fewest operations, but those that used 4 and 44, rather than three separate 4's, had a slightly better chance, with only one comma instead of two. Those that used double-factorial (!!) were penalized by taking up 4 bytes for this one operation rather than one.

On the RPN side v represents square root and s represents subfactorial; both are postfixed, just like factorial itself, in RPN. As mentioned, double factorial is represented in both RPN and algebraic notation as (!!), while !! would represent the factorial of a factorial. The notation .4. represents .4 with a dot over the 4 to represent repetition; it's listed on the RPN side as ,4,9/ 

     RPN                         Algebraic
     
 1  4,4/,4^                     (4/4)^4
 2  4,4+,4/                     (4+4)/4
 3  4,4,4/-                     4-4/4
 4  4,4+,4-                     4+4-4
 5  4,4/,4+                     4/4+4
 6  4,4+,4v-                    4+4-sqrt(4)
 7  4,4!+,4/                    (4+(4)!)/4
 8  4,4*,4*v                    sqrt((4*4*4))
 9  4,4/,4(!!)+                 4/4+(4)(!!)
10  4,4+,4v+                    4+4+sqrt(4)
11  44,4/                       44/4
12  4,4+,4+                     4+4+4
13  4!,4v+,4v/                  ((4)!+sqrt(4))/sqrt(4)
14  4,4*,4v-                    4*4-sqrt(4)
15  4,4/,4+(!!)                 ((4/4+4))(!!)
16  4,4+,4v*                    (4+4)*sqrt(4)
17  4!,4(!!)(!!)+,4!/           ((4)!+((4)(!!))(!!))/(4)!
18  4,4*,4v+                    4*4+sqrt(4)
19  4(!!),4,9/+,4,9//           (4(!!)+.4.)/(.4.)
20  44,4!-                      44-(4)!
21  4!,4!,4(!!)/-               (4)!-(4)!/(4)(!!)
22  44,4v/                      44/sqrt(4)
23  4!,4,4/-                    (4)!-4/4
24  4,4+,4-!                    ((4+4-4))!
25  4,4/,4!+                    4/4+(4)!
26  4,4!+,4v-                   4+(4)!-sqrt(4)
27  4!,4!,4(!!)/+               (4)!+(4)!/(4)(!!)
28  4,4*v,4!+                   sqrt((4*4))+(4)!
29  4!,4-,4s+                   4!-4+!4
30  4,4!+,4v+                   4+(4)!+sqrt(4)
31  4,4!+,4sv+                  4+4!+sqrt(!4)
32  4,4+,4*                     (4+4)*4
33  4!,4,4,9//+                 (4)!+4/(.4.)
34  4,4(!!)*,4v+                4*(4)(!!)+sqrt(4)
35  4!,4,9/v-,4,9/v/            ((4)!-sqrt((.4.)))/sqrt((.4.))
36  44,4(!!)-                   44-(4)(!!)
37  4,4!+,4s+                   4+4!+!4
38  4!,4,9/v/,4v+               (4)!/sqrt((.4.))+sqrt(4)
39  4!,4v+,4,9/v/               ((4)!+sqrt(4))/sqrt((.4.))
40  44,4-                       44-4
41  4!,4(!!)!+,4!/v             sqrt((((4)!+((4)(!!))!)/(4)!))
42  44,4v-                      44-sqrt(4)
43  4,4s-,4sv!(!!)+             4-!4+(sqrt(!4))!(!!)
44  44,4^vv                     sqrt(sqrt(44^4))
45  4(!!)(!!),4!-,4(!!)/        (((4)(!!))(!!)-(4)!)/(4)(!!)
46  44,4v+                      44+sqrt(4)
47  4(!!)(!!),4(!!)-,4(!!)/     (((4)(!!))(!!)-(4)(!!))/(4)(!!)
48  44,4+                       44+4
49  4(!!),4(!!)(!!)+,4(!!)/     ((4)(!!)+((4)(!!))(!!))/(4)(!!)
50  4!,4!+,4v+                  (4)!+(4)!+sqrt(4)
51  4!,4(!!)(!!)+,4(!!)/        ((4)!+((4)(!!))(!!))/(4)(!!)
52  44,4(!!)+                   44+(4)(!!) 53 44,4s+ 44+!4
54  4,4*v!,4,9//                (sqrt((4*4)))!/(.4.)
55  4!,4,9/+,4,9//              ((4)!+.4.)/(.4.)
56  4,4!+,4v*                   (4+(4)!)*sqrt(4)
57  4!,4!+,4s+                  4!+4!+!4
58  4,4!,4,9//+                 4+(4)!/(.4.)
59  4v,4s+,4sv!(!!)+            sqrt(4)+!4+(sqrt(!4))!(!!)
60  4(!!),4^v,4-                sqrt((4)(!!)^4)-4
61  4,4sv^,4sv-                 4^(sqrt(!4))-sqrt(!4)
62  4(!!),4^v,4v-               sqrt((4)(!!)^4)-sqrt(4)
63  4,4!+,4,9//                 (4+(4)!)/(.4.)
64  4,4*,4*                     4*4*4
65  4(!!)!,4sv!!/,4s+           (4(!!)!)/(sqrt(!4)!)! + !4
66  4v,4(!!),4^v+               sqrt(4)+sqrt((4)(!!)^4)
67  4,4sv^,4sv+                 4^(sqrt(!4))+sqrt(!4)
68  44,4!+                      44+(4)!
69  4!,4sv*,4sv-                4!*sqrt(!4)-sqrt(!4)
70  4(!!)!,4!/,4!/              (((4)(!!))!/(4)!)/(4)!
71  4(!!),4(!!)!+,4(!!)/v       sqrt((((4)(!!)+((4)(!!))!)/(4)(!!)))
72  4,4!*,4!-                   4*(4)!-(4)!
73  4,4sv^,4s+                  4!^sqrt(!4)+!4
74  4!,4sv*,4v+                 4!*sqrt(!4)+sqrt(4)
75  4!,4sv*,4sv+                4!*sqrt(!4)+sqrt(!4)
76  4,4!,4sv*+                  4+4!*sqrt(!4)
77  4s,4^v,4-                   sqrt((!4)^4)-4
78  4!,4!,4,9//+                (4)!+(4)!/(.4.)
79  4s,4^v,4v-                  sqrt((!4)^4)-sqrt(4)
80  4,4!,4-*                    4*((4)!-4)
81  4!,4(!!)/,4^                ((4)!/(4)(!!))^4
82  4v,4sv!!,4s/+               sqrt(4)+(sqrt(!4)!)!/!4
83  4v,4s,4^v+                  sqrt(4)+sqrt(!4^4)
84  4,4!+,4sv*                  (4+4!)*sqrt(!4)
85  4,4s,4^v+                   4+sqrt(!4^4)
86  4sv!,4sv!!,4s/+             (sqrt(!4))!+(sqrt(!4)!)!/!4
87  4,4!*,4s-                   4*4!-!4
88  44,4v*                      44*sqrt(4)
89  4(!!),4s,4^v+               4(!!)+(!4)^sqrt(4)
90  4,4v+!,4(!!)/               ((4+sqrt(4)))!/(4)(!!)
91  4(!!),4sv!s+,4sv/           (4(!!)+!(sqrt(!4)!))/sqrt(!4)
92  4,4!*,4-                    4*4!-4
93  4,4!*,4sv-                  4*4!-sqrt(!4)
94  4,4!*,4v-                   4*4!-sqrt(4)
95  4(!!)(!!),4-,4/             (4(!!)(!!)-4)/4
96  4,4*v,4!*                   sqrt(4*4)*4!
97  4,4(!!)(!!)+,4/             (4+4(!!)(!!))/4
98  4,4!*,4v+                   4*4!+sqrt(4)
99  44,4,9//                    44/.4.
100  4,4,4!*+                   4+4*4!

Actually, we can go to 132 before getting to an impossible 133 (but the only multifactorial tried continues to be double factorial, no higher) :

101  4,4sv+(!!),4-              (4+sqrt(!4))(!!)-4
102  4,4!*,4sv!+                4*4!+sqrt(!4)!
103  4,4sv+(!!),4v-             (4+sqrt(!4))(!!)-sqrt(4)
104  4,4!,4v+*                  4*(4!+sqrt(4))
105  4,4!*,4s+                  4*4!+!4
106  4s,4s(!!)+,4s/             (!4+(!4)(!!))/!4
107  4,4sv+(!!),4v+             (4+sqrt(!4))(!!)+sqrt(4)
108  4,4!,4sv+*                 4*(4!+sqrt(!4))
109  4,4,4sv+(!!)+              4+(4+sqrt(!4))(!!)
110  4v,4s+!,4s!/               (sqrt(4)+!4)!/(!4)!
111  4s,4-!,4s-                 (!4-4)!-!4
112  4,4,4!+*                   4*(4+4!)
113  4,4sv+(!!),4(!!)+          (4+sqrt(!4))(!!)+4(!!)
114  4s,4-!,4sv!-               (!4-4)!-sqrt(!4)!
115  4,4sv!s*,4s(!!)-           4*!(sqrt(!4)!)-(!4)(!!)
116  4s,4-!,4-                  (!4-4)!-4
117  4,4s+,4s*                  (4+!4)*!4
118  4s,4-!,4v-                 (!4-4)!-sqrt(4)
119  4,4+(!!),4sv!s-            (4+4)(!!)-!(sqrt(!4)!)
120  4,4/,4+!                   (4/4+4)!
121  4v,4s+,4^v                 sqrt((sqrt(4)+!4)^4)
122  4v,4s,4-!+                 sqrt(4)+(!4-4)!
123  4s,4-!,4sv+                (!4-4)!+sqrt(!4)
124  4,4s,4-!+                  4+(!4-4)!
125  4s,4-,4sv^                 (!4-4)^sqrt(!4)
126  4s,4-!,4sv!+               (!4-4)!+(sqrt(!4))!
127  4(!!)s,4sv!,4^+v           sqrt(!(4(!!))+(sqrt(!4))!^4)
128  4,4^,4v/                   4^4/sqrt(4)
129  4s,4-!,4s+                 (!4-4)!+!4
130  4v,4(!!)(!!),4sv/+         sqrt(4)+(4(!!))(!!)/sqrt(!4)
131  4sv!s,4sv-,4v/             (!(sqrt(!4)!)-sqrt(!4))/sqrt(4)
132  44,4sv*                    44*sqrt(!4)
133  
134  4sv,4sv!s+,4v/
135  4!,4s-,4s*                 I quit translating these.
136  4!,4sv!*,4(!!)-            (translation program didn't take care
137  4s,4sv!s+,4v/                of subfactorial; I could have added
138  4!,4sv!*,4sv!-               that feature, but foolishly did
139                                manual conversions)
140  4!,4sv!*,4-
141  4!,4sv!*,4sv-
142  4!,4sv!*,4v-
143  4,4s+(!!),4s(!!)/
144  4,4*,4s*
145  4sv!s,4s,4-!-
146  4!,4sv!*,4v+
147  4!,4sv!*,4sv+
148  4,4!,4sv!*+
149  

The program is based on one for a preceding puzzle involving permutations of the digits 3, 1 and 4. The reference to permute, and the enclosing loop are commented out as now all three digits are 4.

DefDbl A-Z
Dim crlf$, stack(10), concatable(4), fact(15), dfact(-1 To 25), solCt(100), shortest(100) As String
Dim stackPtr, wh, pz As String, expstr As String, lvl, subfact As Variant

Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
 
 pz0 = "444"
 
 f = 1: fact(0) = f
 For i = 1 To 15
   f = f * i
   fact(i) = f
   Text1.Text = Text1.Text & f & crlf
 Next
 dfact(-1) = 1: dfact(0) = 1
 
 For i = 1 To 25
   f = 1
   If i Mod 2 = 1 Then
     For j = 1 To i Step 2: f = f * j: Next
   Else
     For j = 2 To i Step 2: f = f * j: Next
   End If
   dfact(i) = f
   Text1.Text = Text1.Text & i & Str(f) & crlf
 Next
 
 subfact = Array(1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496)

   pz = pz0
   Text1.Text = Text1.Text & pz & crlf
   h$ = pz
'   Do
     stackPtr = 1
     stack(1) = Val(Left(pz, 1)): concatable(1) = 1
     expstr = LTrim(Str(stack(1)))
     wh = 2
     addOn
    
     
 '   permute pz
 '  Loop Until pz = h
 
 For i = 1 To 100
   Text1.Text = Text1.Text & i & "  " & shortest(i) & crlf
 Next
 

 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
  
End Sub

Sub addOn()
 ReDim sstack(4)
 ReDim sconcatable(4)
 
 DoEvents
        For typ = 0 To 11
   sstackPtr = stackPtr
   sexpstr$ = expstr
   For i = 1 To stackPtr
     sstack(i) = stack(i)
     sconcatable(i) = concatable(i)
     swh = wh
   Next
          good = 1
          Select Case typ
            Case 0 ' concatenate
              If concatable(stackPtr) And wh < 4 Then
                stack(stackPtr) = 10 * stack(stackPtr) + Val(Mid(pz, wh, 1))
                expstr = expstr + Mid(pz, wh, 1)
                wh = wh + 1
              Else
                good = 0
              End If
            Case 1  ' add (+)
              If stackPtr > 1 Then
                stackPtr = stackPtr - 1
                stack(stackPtr) = stack(stackPtr) + stack(stackPtr + 1)
                expstr = expstr + "+"
                concatable(stackPtr) = 0
              Else
                good = 0
              End If
             
             Case 2   ' subtract (-)
              If stackPtr > 1 Then
                stackPtr = stackPtr - 1
                stack(stackPtr) = stack(stackPtr) - stack(stackPtr + 1)
                expstr = expstr + "-"
                concatable(stackPtr) = 0
              Else
                good = 0
              End If
            Case 3  ' multiply (*)
              If stackPtr > 1 Then
                stackPtr = stackPtr - 1
                stack(stackPtr) = stack(stackPtr) * stack(stackPtr + 1)
                expstr = expstr + "*"
                concatable(stackPtr) = 0
              Else
                good = 0
              End If
            Case 4  ' divide (/)
              If stackPtr > 1 And stack(stackPtr) <> 0 Then
                stackPtr = stackPtr - 1
                stack(stackPtr) = stack(stackPtr) / stack(stackPtr + 1)
                expstr = expstr + "/"
                concatable(stackPtr) = 0
              Else
                good = 0
              End If
            Case 5   ' comma
              If wh < 4 Then
                stackPtr = stackPtr + 1
                stack(stackPtr) = Val(Mid(pz, wh, 1))
                concatable(stackPtr) = 1
                expstr = expstr + "," + Mid(pz, wh, 1)
                wh = wh + 1
              Else
                good = 0
              End If
            Case 6  ' power (^)
              If stackPtr > 1 Then
               If stack(stackPtr - 1) <> 0 And stack(stackPtr - 1) < 1000 And stack(stackPtr) >= 0 And stack(stackPtr) < 10 And (stack(stackPtr - 1) > 0 Or stack(stackPtr) = Int(stack(stackPtr))) Then
                stackPtr = stackPtr - 1
                stack(stackPtr) = stack(stackPtr) ^ stack(stackPtr + 1)
                expstr = expstr + "^"
                concatable(stackPtr) = 0
               Else
                 good = 0
               End If
              Else
                good = 0
              End If
            Case 7  ' factorial
              If stack(stackPtr) = Int(stack(stackPtr)) And stack(stackPtr) <= 15 And stack(stackPtr) >= 0 And stack(stackPtr) <> 1 And stack(stackPtr) <> 2 Then
                stack(stackPtr) = fact(stack(stackPtr))
                expstr = expstr + "!"
                concatable(stackPtr) = 0
               Else
                good = 0
              End If
            Case 8  ' radical
              If stack(stackPtr) >= 0 And Right(expstr, 2) <> "vv" Then
                stack(stackPtr) = Sqr(stack(stackPtr))
                expstr = expstr + "v"
                concatable(stackPtr) = 0
               Else
                good = 0
              End If
             Case 9  ' double factorial
              If stack(stackPtr) = Int(stack(stackPtr)) And stack(stackPtr) <= 25 And stack(stackPtr) >= 4 Then
                stack(stackPtr) = dfact(stack(stackPtr))
                expstr = expstr + "(!!)"
                concatable(stackPtr) = 0
               Else
                good = 0
              End If
            Case 10   ' 4/9
              If wh < 4 Then
                stackPtr = stackPtr + 1
                stack(stackPtr) = 4 / 9
                concatable(stackPtr) = 0
                
                expstr = expstr + ",4,9/"
                wh = wh + 1
              Else
                good = 0
              End If
             Case 11  ' subfactorial
              If stack(stackPtr) = Int(stack(stackPtr)) And stack(stackPtr) <= 9 And stack(stackPtr) >= 4 Then
                stack(stackPtr) = subfact(stack(stackPtr))
                expstr = expstr + "s"
                concatable(stackPtr) = 0
               Else
                good = 0
              End If
             End Select
          If good Then
            If stackPtr = 1 And wh = 4 Then
            
              If stack(stackPtr) <= 100 And stack(stackPtr) > 0 And Abs(stack(stackPtr) - Int(stack(stackPtr) + 0.5)) < 0.000000001 Then
                solCt(stack(stackPtr)) = solCt(stack(stackPtr)) + 1
                If Len(expstr$) < Len(shortest(stack(stackPtr))) Or Len(shortest(stack(stackPtr))) = 0 Then
            '      Text1.Text = Text1.Text & mform(stack(stackPtr), "##0") & "    " & expstr & crlf
                  shortest(stack(stackPtr)) = expstr
                End If
                
              End If
            End If
            If Len(expstr) < 34 Then
              addOn
            End If
          End If
   wh = swh
   expstr = sexpstr
   stackPtr = sstackPtr
   For i = 1 To stackPtr
     stack(i) = sstack(i)
     concatable(i) = sconcatable(i)
   Next
   
     
        Next typ

End Sub

Edited on December 6, 2017, 7:37 pm

Edited on December 7, 2017, 9:01 am
  Posted by Charlie on 2017-12-06 19:34:47

Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (0)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information