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Does it continue? 6: Partial sums (Posted on 2017-09-25) Difficulty: 3 of 5
Before trying the problems "note your opinion as to whether the observed pattern is known to continue, known not to continue, or not known at all."

Part A. Write down the positive integers, cross out every second, and form the partial sums of the remaining.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1   4   9   16  25   36

Does the pattern of squares continue?

Part B. As before, but cross out every third, form partial sums, then cross out every second and for a second partial sums.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91
1 8 27 64 125 216

Does the pattern of cubes continue?

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Some Thoughts answers | Comment 2 of 7 |
Part A:

I'd expect the patterns to continue, based on what has been called the calculus of finite differences, but worked backwards, analogous to integration, rather than differentiation. Once the alternate numbers have been found to be the appropriate basis for the integration, such as 1,3,5,... (the odd numbers), they will continue to work, as, going in the other direction, their differences are a constant 2.

In each of the pairs of numbers below, the first member is the partial sum and the second is the square root, all of which are integers

 1 1     4 2     9 3     16 4     25 5     36 6     49 7     64 8     81 9     100 10     121 11     144 12     169 13     196 14     225 15     256 16     289 17     324 18     361 19     400 20     441 21     484 22     529 23     576 24     625 25     676 26     729 27     784 28     841 29     900 30     961 31     1024 32     1089 33     1156 34     1225 35     1296 36     1369 37     1444 38     1521 39     1600 40     1681 41     1764 42     1849 43     1936 44     2025 45     2116 46     2209 47     2304 48     2401 49     2500 50     2601 51     2704 52     2809 53     2916 54     3025 55     3136 56     3249 57     3364 58     3481 59     3600 60     3721 61     3844 62     3969 63     4096 64     4225 65     4356 66     4489 67     4624 68     4761 69     4900 70     5041 71     5184 72     5329 73     5476 74     5625 75     5776 76     5929 77     6084 78     6241 79     6400 80     6561 81     6724 82     6889 83     7056 84     7225 85     7396 86     7569 87     7744 88     7921 89     8100 90     8281 91     8464 92     8649 93     8836 94     9025 95     9216 96     9409 97     9604 98     9801 99     10000 100     10201 101     10404 102     10609 103     10816 104     11025 105     11236 106     11449 107     11664 108     11881 109     12100 110     12321 111     12544 112     12769 113     12996 114     13225 115     13456 116     13689 117     13924 118     14161 119     14400 120     14641 121     14884 122     15129 123     15376 124     15625 125     15876 126     16129 127     16384 128     16641 129     16900 130     17161 131     17424 132     17689 133     17956 134     18225 135     18496 136     18769 137     19044 138     19321 139     19600 140     19881 141     20164 142     20449 143     20736 144     21025 145     21316 146     21609 147     21904 148     22201 149     22500 150     22801 151     23104 152     23409 153     23716 154     24025 155     24336 156     24649 157     24964 158     25281 159     25600 160     25921 161     26244 162     26569 163     26896 164     27225 165     27556 166     27889 167     28224 168     28561 169     28900 170     29241 171     29584 172     29929 173     30276 174     30625 175     30976 176     31329 177     31684 178     32041 179     32400 180     32761 181     33124 182     33489 183     33856 184     34225 185     34596 186     34969 187     35344 188     35721 189     36100 190     36481 191     36864 192     37249 193     37636 194     38025 195     38416 196     38809 197     39204 198     39601 199     40000 200     40401 201     40804 202     41209 203     41616 204     42025 205     42436 206     42849 207     43264 208     43681 209     44100 210     44521 211     44944 212     45369 213     45796 214     46225 215     46656 216     47089 217     47524 218     47961 219     48400 220     48841 221     49284 222     49729 223     50176 224     50625 225     51076 226     51529 227     51984 228     52441 229     52900 230     53361 231     53824 232     54289 233     54756 234     55225 235     55696 236     56169 237     56644 238     57121 239     57600 240     58081 241     58564 242     59049 243     59536 244     60025 245     60516 246     61009 247     61504 248     62001 249     62500 250     63001 251     63504 252     64009 253     64516 254     65025 255     65536 256     66049 257     66564 258     67081 259     67600 260     68121 261     68644 262     69169 263     69696 264     70225 265     70756 266     71289 267     71824 268     72361 269     72900 270     73441 271     73984 272     74529 273     75076 274     75625 275     76176 276     76729 277     77284 278     77841 279     78400 280     78961 281     79524 282     80089 283     80656 284     81225 285     81796 286     82369 287     82944 288     83521 289     84100 290     84681 291     85264 292     85849 293     86436 294     87025 295     87616 296     88209 297     88804 298     89401 299     90000 300     90601 301     91204 302     91809 303     92416 304     93025 305     93636 306     94249 307     94864 308     95481 309     96100 310     96721 311     97344 312     97969 313     98596 314     99225 315     99856 316     100489 317     101124 318     101761 319     102400 320     103041 321     103684 322     104329 323     104976 324     105625 325     106276 326     106929 327     107584 328     108241 329     108900 330     109561 331     110224 332     110889 333     111556 334     112225 335     112896 336     113569 337     114244 338     114921 339     115600 340     116281 341     116964 342     117649 343     118336 344     119025 345     119716 346     120409 347     121104 348     121801 349     122500 350     123201 351     123904 352     124609 353     125316 354     126025 355     126736 356     127449 357     128164 358     128881 359     129600 360     130321 361     131044 362     131769 363     132496 364     133225 365     133956 366     134689 367     135424 368     136161 369     136900 370     137641 371     138384 372     139129 373     139876 374     140625 375     141376 376     142129 377     142884 378     143641 379     144400 380     145161 381     145924 382     146689 383     147456 384     148225 385     148996 386     149769 387     150544 388     151321 389     152100 390     152881 391     153664 392     154449 393     155236 394     156025 395     156816 396     157609 397     158404 398     159201 399     160000 400     160801 401     161604 402     162409 403     163216 404     164025 405     164836 406     165649 407     166464 408     167281 409     168100 410     168921 411     169744 412     170569 413     171396 414     172225 415     173056 416     173889 417     174724 418     175561 419     176400 420     177241 421     178084 422     178929 423     179776 424     180625 425     181476 426     182329 427     183184 428     184041 429     184900 430     185761 431     186624 432     187489 433     188356 434     189225 435     190096 436     190969 437     191844 438     192721 439     193600 440     194481 441     195364 442     196249 443     197136 444     198025 445     198916 446     199809 447     200704 448     201601 449     202500 450     203401 451     204304 452     205209 453     206116 454     207025 455     207936 456     208849 457     209764 458     210681 459     211600 460     212521 461     213444 462     214369 463     215296 464     216225 465     217156 466     218089 467     219024 468     219961 469     220900 470     221841 471     222784 472     223729 473     224676 474     225625 475     226576 476     227529 477     228484 478     229441 479     230400 480     231361 481     232324 482     233289 483     234256 484     235225 485     236196 486     237169 487     238144 488     239121 489     240100 490     241081 491     242064 492     243049 493     244036 494     245025 495     246016 496     247009 497     248004 498     249001 499     250000 500 
 
 Part B:
 
 This is more complicated, so it's harder to predict. I'd just guess it was similar based on the sample shown in the puzzle, through 216.
 
 The pairs below show the partial sums with their cube roots, again all still integers.

 1 1     8 2     27 3     64 4     125 5     216 6     343 7     512 8     729 9     1000 10     1331 11     1728 12     2197 13     2744 14     3375 15     4096 16     4913 17     5832 18     6859 19     8000 20     9261 21     10648 22     12167 23     13824 24     15625 25     17576 26     19683 27     21952 28     24389 29     27000 30     29791 31     32768 32     35937 33     39304 34     42875 35     46656 36     50653 37     54872 38     59319 39     64000 40     68921 41     74088 42     79507 43     85184 44     91125 45     97336 46     103823 47     110592 48     117649 49     125000 50     132651 51     140608 52     148877 53     157464 54     166375 55     175616 56     185193 57     195112 58     205379 59     216000 60     226981 61     238328 62     250047 63     262144 64     274625 65     287496 66     300763 67     314432 68     328509 69     343000 70     357911 71     373248 72     389017 73     405224 74     421875 75     438976 76     456533 77     474552 78     493039 79     512000 80     531441 81     551368 82     571787 83     592704 84     614125 85     636056 86     658503 87     681472 88     704969 89     729000 90     753571 91     778688 92     804357 93     830584 94     857375 95     884736 96     912673 97     941192 98     970299 99     1000000 100     1030301 101     1061208 102     1092727 103     1124864 104     1157625 105     1191016 106     1225043 107     1259712 108     1295029 109     1331000 110     1367631 111     1404928 112     1442897 113     1481544 114     1520875 115     1560896 116     1601613 117     1643032 118     1685159 119     1728000 120     1771561 121     1815848 122     1860867 123     1906624 124     1953125 125     2000376 126     2048383 127     2097152 128     2146689 129     2197000 130     2248091 131     2299968 132     2352637 133     2406104 134     2460375 135     2515456 136     2571353 137     2628072 138     2685619 139     2744000 140     2803221 141     2863288 142     2924207 143     2985984 144     3048625 145     3112136 146     3176523 147     3241792 148     3307949 149     3375000 150     3442951 151     3511808 152     3581577 153     3652264 154     3723875 155     3796416 156     3869893 157     3944312 158     4019679 159     4096000 160     4173281 161     4251528 162     4330747 163     4410944 164     4492125 165     4574296 166     4657463 167     4741632 168     4826809 169     4913000 170     5000211 171     5088448 172     5177717 173     5268024 174     5359375 175     5451776 176     5545233 177     5639752 178     5735339 179     5832000 180     5929741 181     6028568 182     6128487 183     6229504 184     6331625 185     6434856 186     6539203 187     6644672 188     6751269 189     6859000 190     6967871 191     7077888 192     7189057 193     7301384 194     7414875 195     7529536 196     7645373 197     7762392 198     7880599 199     8000000 200     8120601 201     8242408 202     8365427 203     8489664 204     8615125 205     8741816 206     8869743 207     8998912 208     9129329 209     9261000 210     9393931 211     9528128 212     9663597 213     9800344 214     9938375 215     10077696 216     10218313 217     10360232 218     10503459 219     10648000 220     10793861 221     10941048 222     11089567 223     11239424 224     11390625 225     11543176 226     11697083 227     11852352 228     12008989 229     12167000 230     12326391 231     12487168 232     12649337 233     12812904 234     12977875 235     13144256 236     13312053 237     13481272 238     13651919 239     13824000 240     13997521 241     14172488 242     14348907 243     14526784 244     14706125 245     14886936 246     15069223 247     15252992 248     15438249 249     15625000 250 
 
 
DefDbl A-Z
Dim crlf$, sums(3, 10000)

Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
 
 lim = 1000
 For i = 1 To lim
   sums(0, i) = i
 Next
 For i = 1 To lim / 2
   sums(1, i) = sums(1, i - 1) + sums(0, 2 * i - 1)
   Text1.Text = Text1.Text & Str(sums(1, i)) & Str(Sqr(sums(1, i))) & "    "
   DoEvents
 Next
 
 Text1.Text = Text1.Text & crlf & crlf
 
  lim = 1000
 For i = 1 To lim
   sums(0, i) = i
 Next
 src = 1
 For i = 1 To lim / 2
   sums(1, i) = sums(1, i - 1) + sums(0, src)
   src = src + 1
   If src Mod 3 = 0 Then src = src + 1
   DoEvents
 Next
 For i = 1 To lim / 4
   sums(2, i) = sums(2, i - 1) + sums(1, 2 * i - 1)
   Text1.Text = Text1.Text & Str(sums(2, i)) & Str((sums(2, i)) ^ (1 / 3)) & "    "
   DoEvents
 Next
 
 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
  
End Sub
 

  Posted by Charlie on 2017-09-25 12:32:44
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