Seeing no reason why primes should accompany primes, I'd say neither continues. I'd also suspect the parameters in the formulae were specifically chosen to get early matches on primes.
The computer says:
Each line shows n, n^4+1, 17*2^n-1
If the first formula results in a prime a * is shown.
If the second formula results in a prime ** is shown.
n=24 is the first instance where only one is a prime, the first one, 331777 (while 285212671=149*1914179); and n=36 is the first instance where only the second formula results in a prime, 1168231104511 (while 1679617=17*98801).
2 17 67 * **
3 82 135
4 257 271 * **
5 626 543
6 1297 1087 * **
7 2402 2175
8 4097 4351
9 6562 8703
10 10001 17407
11 14642 34815
12 20737 69631
13 28562 139263
14 38417 278527
15 50626 557055
16 65537 1114111 * **
17 83522 2228223
18 104977 4456447
19 130322 8912895
20 160001 17825791 * **
21 194482 35651583
22 234257 71303167
23 279842 142606335
24 331777 285212671 *
25 390626 570425343
26 456977 1140850687
27 531442 2281701375
28 614657 4563402751 *
29 707282 9126805503
30 810001 18253611007
31 923522 36507222015
32 1048577 73014444031
33 1185922 146028888063
34 1336337 292057776127 *
35 1500626 584115552255
36 1679617 1168231104511 **
37 1874162 2336462209023
38 2085137 4672924418047
39 2313442 9345848836095
40 2560001 18691697672191
41 2825762 37383395344383
42 3111697 74766790688767
43 3418802 149533581377535
44 3748097 299067162755071
45 4100626 598134325510143
46 4477457 1196268651020287 *
47 4879682 2392537302040575
48 5308417 4785074604081151 *
49 5764802 9570149208162303
50 6250001 19140298416324607
51 6765202 38280596832649215
52 7311617 76561193665298431
53 7890482 153122387330596863
54 8503057 306244774661193727 * **
55 9150626 612489549322387455
56 9834497 1224979098644774911 *
57 10556002 2449958197289549823
58 11316497 4899916394579099647
59 12117362 9799832789158199295
60 12960001 19599665578316398591 **
61 13845842 39199331156632797183
62 14776337 78398662313265594367
63 15752962 156797324626531188735
64 16777217 313594649253062377471
65 17850626 627189298506124754943
66 18974737 1254378597012249509887
67 20151122 2508757194024499019775
68 21381377 5017514388048998039551
69 22667122 10035028776097996079103
70 24010001 20070057552195992158207
71 25411682 40140115104391984316415
72 26873857 80280230208783968632831
73 28398242 160560460417567937265663
74 29986577 321120920835135874531327 *
75 31640626 642241841670271749062655
76 33362177 1284483683340543498125311
77 35153042 2568967366681086996250623
78 37015057 5137934733362173992501247
79 38950082 10275869466724347985002495
80 40960001 20551738933448695970004991 *
81 43046722 41103477866897391940009983
82 45212177 82206955733794783880019967 *
83 47458322 164413911467589567760039935
84 49787137 328827822935179135520079871
85 52200626 657655645870358271040159743
86 54700817 1315311291740716542080319487
87 57289762 2630622583481433084160638975
88 59969537 5261245166962866168321277951 *
89 62742242 10522490333925732336642555903
90 65610001 21044980667851464673285111807 *
91 68574962 42089961335702929346570223615
92 71639297 84179922671405858693140447231
93 74805202 168359845342811717386280894463
94 78074897 336719690685623434772561788927
95 81450626 673439381371246869545123577855
96 84934657 1346878762742493739090247155711 **
97 88529282 2693757525484987478180494311423
98 92236817 5387515050969974956360988622847
99 96059602 10775030101939949912721977245695
100 100000001 21550060203879899825443954491391
Part B:
n=18 is the first instance where the first formula results in a prime (5505023) while the second does not (481036337153=166609*2887217).
n=25 is the first instance where the second formula results in a prime (7881299347898369) while the first does not (704643071=11*3331*19231).
1 41 29 * **
2 83 113 * **
3 167 449 * **
4 335 1793
5 671 7169
6 1343 28673
7 2687 114689 * **
8 5375 458753
9 10751 1835009
10 21503 7340033 * **
11 43007 29360129
12 86015 117440513
13 172031 469762049 * **
14 344063 1879048193
15 688127 7516192769
16 1376255 30064771073
17 2752511 120259084289
18 5505023 481036337153 *
19 11010047 1924145348609
20 22020095 7696581394433
21 44040191 30786325577729
22 88080383 123145302310913
23 176160767 492581209243649
24 352321535 1970324836974593
25 704643071 7881299347898369 **
26 1409286143 31525197391593473 **
27 2818572287 126100789566373889 *
28 5637144575 504403158265495553
29 11274289151 2017612633061982209
30 22548578303 8070450532247928833
31 45097156607 32281802128991715329
32 90194313215 129127208515966861313
33 180388626431 516508834063867445249
34 360777252863 2066035336255469780993
35 721554505727 8264141345021879123969
36 1443109011455 33056565380087516495873
37 2886218022911 132226261520350065983489 *
38 5772436045823 528905046081400263933953
39 11544872091647 2115620184325601055735809
40 23089744183295 8462480737302404222943233
41 46179488366591 33849922949209616891772929
42 92358976733183 135399691796838467567091713
43 184717953466367 541598767187353870268366849
44 369435906932735 2166395068749415481073467393
45 738871813865471 8665580274997661924293869569
46 1477743627730943 34662321099990647697175478273 **
47 2955487255461887 138649284399962590788701913089
48 5910974510923775 554597137599850363154807652353
49 11821949021847551 2218388550399401452619230609409
50 23643898043695103 8873554201597605810476922437633
51 47287796087390207 35494216806390423241907689750529 *
52 94575592174780415 141976867225561692967630759002113
53 189151184349560831 567907468902246771870523036008449
54 378302368699121663 2271629875608987087482092144033793
55 756604737398243327 9086519502435948349928368576135169
56 1513209474796486655 36346078009743793399713474304540673
57 3026418949592973311 145384312038975173598853897218162689
58 6052837899185946623 581537248155900694395415588872650753
59 12105675798371893247 2326148992623602777581662355490603009
60 24211351596743786495 9304595970494411110326649421962412033 **
61 48422703193487572991 37218383881977644441306597687849648129
62 96845406386975145983 148873535527910577765226390751398592513
63 193690812773950291967 595494142111642311060905563005594370049
64 387381625547900583935 2381976568446569244243622252022377480193
65 774763251095801167871 9527906273786276976974489008089509920769
66 1549526502191602335743 38111625095145107907897956032358039683073
67 3099053004383204671487 152446500380580431631591824129432158732289
68 6198106008766409342975 609786001522321726526367296517728634929153
69 12396212017532818685951 2439144006089286906105469186070914539716609
70 24792424035065637371903 9756576024357147624421876744283658158866433
71 49584848070131274743807 39026304097428590497687506977134632635465729
72 99169696140262549487615 156105216389714361990750027908538530541862913
73 198339392280525098975231 624420865558857447963000111634154122167451649
74 396678784561050197950463 2497683462235429791852000446536616488669806593 *
75 793357569122100395900927 9990733848941719167408001786146465954679226369
76 1586715138244200791801855 39962935395766876669632007144585863818716905473
77 3173430276488401583603711 159851741583067506678528028578343455274867621889
78 6346860552976803167207423 639406966332270026714112114313373821099470487553
79 12693721105953606334414847 2557627865329080106856448457253495284397881950209
80 25387442211907212668829695 10230511461316320427425793829013981137591527800833
81 50774884423814425337659391 40922045845265281709703175316055924550366111203329
82 101549768847628850675318783 163688183381061126838812701264223698201464444813313
83 203099537695257701350637567 654752733524244507355250805056894792805857779253249
84 406199075390515402701275135 2619010934096978029421003220227579171223431117012993
85 812398150781030805402550271 10476043736387912117684012880910316684893724468051969
86 1624796301562061610805100543 41904174945551648470736051523641266739574897872207873
87 3249592603124123221610201087 167616699782206593882944206094565066958299591488831489 **
88 6499185206248246443220402175 670466799128826375531776824378260267833198365955325953
89 12998370412496492886440804351 2681867196515305502127107297513041071332793463821303809
90 25996740824992985772881608703 10727468786061222008508429190052164285331173855285215233 **
91 51993481649985971545763217407 42909875144244888034033716760208657141324695421140860929
92 103986963299971943091526434815 171639500576979552136134867040834628565298781684563443713
93 207973926599943886183052869631 686558002307918208544539468163338514261195126738253774849
94 415947853199887772366105739263 2746232009231672834178157872653354057044780506953015099393
95 831895706399775544732211478527 10984928036926691336712631490613416228179122027812060397569 **
96 1663791412799551089464422957055 43939712147706765346850525962453664912716488111248241590273
97 3327582825599102178928845914111 175758848590827061387402103849814659650865952444992966361089
98 6655165651198204357857691828223 703035394363308245549608415399258638603463809779971865444353
99 13310331302396408715715383656447 2812141577453232982198433661597034554413855239119887461777409
100 26620662604792817431430767312895 11248566309812931928793734646388138217655420956479549847109633
5 kill "prmtgthr.txt":open "prmtgthr.txt" for output as #2
10 for N=2 to 100
20 F1=N^4+1:F2=17*2^N-1
30 print #2,N,F1,F2,
35 Fl1=0:Fl2=0
40 if fnPrime(F1) then print #2,"* ",:Fl1=1
50 if fnPrime(F2) then print #2,"** ",:Fl2=2
55 if Fl1=1 or Fl2=2 then print N,F1,F2,Fl1,Fl2
60 print #2,
100 next N
110 for N=1 to 100
120 F1=21*2^N-1:F2=7*4^N+1
130 print #2,N,F1,F2,
135 Fl1=0:Fl2=0
140 if fnPrime(F1) then print #2,"* ",:Fl1=1
150 if fnPrime(F2) then print #2,"** ",:Fl2=2
155 if Fl1=1 or Fl2=2 then print N,F1,F2,Fl1,Fl2
160 print #2,
200 next N
799 close #2
800 end
900 '
10000 fnOddfact(N)
10010 local K=0,P
10030 while N@2=0
10040 N=N\2
10050 K=K+1
10060 wend
10070 P=pack(N,K)
10080 return(P)
10090 '
10100 fnPrime(N)
10110 local I,X,J,Y,Q,K,T,Ans
10120 if N@2=0 then Ans=0:goto *EndPrime
10125 O=fnOddfact(N-1)
10130 Q=member(O,1)
10140 K=member(O,2)
10150 I=0
10160 repeat
10170 repeat
10180 X=fnLrand(N)
10190 until X>1
10200 J=0
10210 Y=modpow(X,Q,N)
10220 loop
10230 if or{and{J=0,Y=1},Y=N-1} then goto *ProbPrime
10240 if and{J>0,Y=1} then goto *NotPrime
10250 J=J+1
10260 if J=K then goto *NotPrime
10270 Y=(Y*Y)@N
10280 endloop
10290 *ProbPrime
10300 I=I+1
10310 until I>50
10320 Ans=1
10330 goto *EndPrime
10340 *NotPrime
10350 Ans=0
10360 *EndPrime
10370 return(Ans)
10380 '
10400 fnLrand(N)
10410 local R
10415 N=int(N)
10420 R=(int(rnd*10^(alen(N)+2)))@N
10430 return(R)
10440 '
10500 fnNxprime(X)
10510 if X@2=0 then X=X+1
10520 while fnPrime(X)=0
10530 X=X+2
10540 wend
10550 return(X)
10560 '
|
|
Posted by Charlie
on 2017-09-30 15:52:22 |
computer solution
