All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Champagnat numbers (Posted on 2018-01-23)
A Champagnat number is equal to the sum of all the digits in a set of consecutive positive integers, one of which is the number itself.
Thus, 42 is a Champagnat number, since 42 is the sum of all of the digits of 39, 40, 41, 42, 43, 44.

Prove that there exist infinitely many Champagnat numbers.

 No Solution Yet Submitted by Ady TZIDON No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 a proof | Comment 1 of 2
Suppose there's a highest Champagnat number; call it c.

Start a set of consecutive integers starting at c+1. The total of all digits so far will then be sod(c+1), which is quite smaller than c+1. Keep adding consecutive integers to the sequence, and their sod's to the total of digits. With each consecutive integer that you add, you'll be adding at least one and usually more than one to the total of digits. After n new numbers have been appended to the sequence, the highest number in the sequence will be c+1+n, but the total of digits will have risen by more than n, so the average slope of the line from original total to current total will be larger than the unit slope of the identity of the highest number in the sequence itself, so at some point the total will exceed or match the lowest number in the sequence at that point, yet be lower than the highest number as the newly added sod can't exceed 9 times the length of the number.

Let's say someone claims that 975 is the highest Champagnat number (it is indeed Champagnat as the series from 973 to 1050 has total digits 975. Start at 976; the sod count then starts at 22. By the time you get to adding in sod(1056) you're only up to 972, but by adding in sod(1057) you bring the sod total up to 985, within the range 976 to 1057, and counting that as another Champagnat number.

This does not give the actual next Champagnat number, just a Champagnat number that's higher than any supposed last Champagnat number, as evidenced by the below table of Champagnat numbers through 1000 where 976 happens to be the highest number below 1000 that is not Champagnat, so before 985 come all the numbers 977 through 984 as Champagnat numbers.

` champ   series  no.  first last   1     0     1  (degenerate case as series consists of solely 1 or includes zero)  10    10    13  12    12    14  14    11    14  15    13    15  17    17    18  19    19    22  20    20    24  22    22    25  25    21    25  26    23    26  27    26    28  28    28    31  29    29    33  33    30    35  34    34    37  35    32    36  37    37    40  38    38    42  42    39    44  45    43    47  46    46    49  47    47    51  51    51    56  55    54    58  56    56    60  57    52    57  60    57    62  63    62    67  65    65    69  69    66    71  70    70    76  72    69    75  74    68    74  75    73    78  77    71    77  78    75    80  79    79    85  81    78    84  83    77    83  84    81    87  87    84    89  88    88    94  90    87    93  91    91    97  92    86    92  94    94   100  95    95   104  96    94   101  98    92    98  99    98   112 100    99   115 101    95   105 102    96   107 103   103   118 104    98   113 105   105   119 106   106   121 108   105   120 109   108   124 110   107   123 111   106   122 112   112   127 113   104   120 114   114   128 115   111   127 117   116   130 118   118   133 119   113   128 120   117   132 121   121   136 122   116   131 123   123   137 124   120   136 125   119   135 126   118   134 127   126   139 128   122   137 129   127   141 130   130   145 132   132   146 134   128   143 135   125   139 136   135   148 137   137   150 138   133   147 140   125   140 141   141   155 142   129   145 143   128   144 144   137   151 145   144   157 146   140   155 147   142   156 148   139   154 150   150   164 151   147   160 152   137   152 153   149   163 154   153   166 155   146   159 156   151   165 157   157   169 159   154   167 161   158   171 162   152   166 163   162   175 164   155   168 165   160   174 166   166   178 168   163   176 169   156   169 170   167   179 171   169   182 172   171   184 173   164   177 175   175   187 177   172   185 178   178   190 179   176   188 180   170   184 181   180   193 182   173   186 183   177   189 184   184   196 185   179   192 186   181   194 187   174   187 188   185   197 189   188   202 190   189   205 191   182   195 192   192   210 194   188   203 195   193   213 196   192   211 197   194   215 198   197   220 199   198   223 200   200   227 201   192   212 202   195   217 203   203   228 205   205   229 206   194   216 207   202   228 208   207   232 209   206   231 210   205   230 211   204   229 212   200   228 213   211   236 214   196   220 216   215   238 219   217   240 220   220   244 221   212   237 222   222   245 223   214   238 224   218   242 225   211   237 226   225   247 227   221   245 228   223   246 229   213   238 230   215   239 231   226   248 232   228   250 233   218   243 234   232   254 235   235   256 236   227   249 237   229   252 238   211   238 239   236   257 240   231   254 241   241   262 242   239   260 243   237   258 244   234   256 245   242   263 246   246   266 247   240   262 248   224   248 249   247   267 251   239   261 252   251   271 253   244   265 254   236   258 255   252   272 257   245   266 258   253   273 259   250   271 260   260   279 261   254   274 262   261   280 263   251   272 264   262   281 265   247   268 266   263   282 267   256   276 268   264   283 269   248   269 270   265   284 271   271   289 272   272   290 273   273   291 274   274   292 275   275   293 276   276   294 277   277   295 278   278   296 279   279   297 280   280   298 281   260   281 282   282   300 284   272   291 285   283   303 286   282   301 287   284   305 288   287   310 289   288   313 290   290   317 291   291   318 292   292   319 293   287   311 294   277   296 295   295   325 296   284   306 297   293   322 298   297   328 299   287   312 300   298   330 302   296   327 303   301   335 304   291   319 305   299   333 306   305   337 307   298   331 308   308   339 309   291   320 310   294   325 311   302   336 312   309   341 313   304   337 314   293   324 315   313   344 316   316   346 318   307   339 319   310   343 320   317   347 321   312   344 322   291   322 323   320   350 324   323   352 325   315   346 326   311   344 327   324   353 328   319   349 329   296   329 330   325   354 331   322   352 332   332   359 333   333   360 334   334   361 335   335   362 336   336   363 337   337   364 338   338   365 339   339   366 340   340   367 341   332   360 342   342   368 343   333   361 345   334   362 346   312   346 347   335   363 348   331   360 349   336   364 350   341   368 351   350   376 352   324   355 353   338   366 354   333   362 355   355   379 357   340   368 358   331   361 359   353   378 360   351   377 361   360   385 362   359   384 363   358   383 364   357   382 365   356   381 366   366   389 367   354   379 368   350   377 369   361   386 370   370   394 372   369   393 373   364   388 374   368   392 376   367   391 377   371   395 378   377   400 379   378   403 380   380   407 381   381   408 382   382   409 383   377   401 384   375   398 385   385   415 387   383   412 388   387   418 389   377   402 390   388   420 391   373   397 392   386   417 393   382   411 394   381   409 395   395   431 396   394   429 397   396   433 398   374   398 399   381   410 400   400   439 402   397   435 403   394   430 404   401   440 405   404   442 406   378   406 408   405   443 409   391   427 410   398   437 411   406   444 412   412   448 413   401   441 414   414   449 415   397   436 416   404   443 417   408   446 418   411   448 419   386   419 420   409   447 421   399   439 422   413   449 423   421   456 424   423   457 425   416   452 426   417   453 427   427   460 428   419   455 429   426   459 430   394   433 431   413   450 432   424   458 433   414   451 434   401   443 435   432   465 436   429   463 437   428   462 438   435   467 439   426   460 440   425   459 441   440   472 442   433   466 443   443   474 444   439   471 445   420   457 447   441   473 448   448   478 449   434   467 450   437   469 451   451   481 452   449   479 453   445   476 455   452   482 456   435   468 457   439   472 458   446   477 459   458   487 460   450   481 461   437   470 462   459   488 463   454   484 464   449   480 465   460   489 466   430   466 467   467   495 468   461   490 469   468   496 470   452   483 471   469   497 472   472   499 473   470   498 474   463   492 475   475   505 476   443   476 477   473   502 478   477   508 479   458   488 480   478   510 482   476   507 483   472   501 484   471   499 485   485   521 486   484   519 487   486   523 489   471   500 490   490   529 492   487   525 493   484   520 494   491   531 495   494   535 498   493   534 499   481   517 500   488   527 501   492   533 502   498   541 503   497   539 504   501   545 505   505   547 506   503   546 507   495   537 508   483   520 509   500   545 510   486   525 511   493   535 512   506   548 513   512   553 514   504   547 515   515   555 516   483   521 517   508   550 519   513   554 520   520   559 522   505   548 523   495   538 524   521   560 525   525   563 526   510   553 527   512   554 528   526   564 529   507   550 530   518   558 531   527   565 532   531   568 533   533   569 534   534   570 535   535   571 536   536   572 537   537   573 538   538   574 539   539   575 540   540   576 541   522   562 542   512   555 543   532   569 544   526   565 545   545   579 546   523   563 547   534   571 548   527   566 549   543   578 550   541   577 551   536   573 552   531   569 553   537   574 554   509   554 555   538   575 556   552   586 557   539   576 558   555   588 559   559   592 560   542   578 561   558   591 563   557   590 564   564   596 565   556   589 566   527   567 567   551   586 568   532   571 570   568   600 571   562   595 572   554   588 573   546   582 574   547   583 575   575   611 576   574   609 577   576   613 578   563   596 579   556   590 580   580   619 582   577   615 583   574   610 584   581   621 585   584   625 587   551   587 588   583   624 589   571   607 590   578   617 591   582   623 592   588   631 593   587   629 594   589   633 595   595   640 596   569   605 597   585   627 598   573   610 599   596   642 600   598   645 601   592   637 602   593   638 603   594   639 604   603   649 605   581   623 606   604   650 607   589   634 608   605   651 609   579   620 610   606   652 611   611   656 612   607   653 613   594   640 614   608   654 615   603   650 616   609   655 617   617   660 618   616   659 619   601   649 620   593   639 621   614   658 622   621   664 623   602   650 624   606   653 625   600   649 626   596   644 627   627   668 628   588   634 629   611   657 630   629   670 631   613   658 633   631   672 634   625   667 635   605   653 636   610   657 637   597   646 638   635   675 639   632   673 640   640   679 641   626   668 642   630   672 643   636   676 644   641   680 645   633   674 646   628   670 647   620   665 648   647   685 649   631   673 650   605   654 651   648   686 652   643   682 653   638   678 654   649   687 655   615   661 656   644   683 657   652   689 658   639   679 659   653   690 660   645   684 661   661   697 662   626   669 663   655   692 664   646   685 665   665   701 666   664   699 667   666   703 668   647   686 669   658   695 670   670   709 671   662   698 672   667   705 673   664   700 674   671   711 675   674   715 676   649   688 677   635   677 678   673   714 679   645   685 680   668   707 681   672   713 682   678   721 683   677   719 684   679   723 685   685   730 687   675   717 688   663   700 689   686   732 690   688   735 691   682   727 692   683   728 693   684   729 695   695   744 696   690   738 697   679   724 699   699   749 700   700   751 701   689   737 702   698   748 703   693   742 704   680   726 705   703   753 706   688   736 707   701   752 708   696   746 710   707   756 711   704   754 713   677   722 714   714   761 715   708   757 716   686   734 717   715   762 718   678   724 719   689   738 720   716   763 721   712   760 722   701   753 723   723   768 724   699   751 725   713   761 726   718   765 727   687   736 728   704   755 729   719   766 730   711   760 731   686   735 732   720   767 733   724   769 734   734   777 735   726   771 736   727   772 737   728   773 738   732   776 739   730   775 740   713   762 741   717   765 742   742   784 744   721   768 745   723   769 746   740   783 747   746   787 748   738   781 749   743   785 750   736   779 751   726   772 752   710   761 753   750   791 754   741   784 755   728   774 756   754   794 757   729   775 759   751   792 760   760   799 761   755   795 762   742   785 763   745   787 764   761   801 765   764   805 766   756   796 768   763   804 769   733   778 770   746   788 771   762   803 772   768   811 773   767   809 774   769   813 775   775   820 776   758   798 777   765   807 778   751   793 779   776   822 780   778   825 781   772   817 782   773   818 783   774   819 784   739   784 785   785   834 786   780   828 787   769   814 789   789   839 790   790   841 791   779   827 792   788   838 793   783   832 794   770   816 795   787   837 796   778   826 797   797   849 798   796   848 799   795   847 800   800   854 801   798   851 802   792   844 803   791   843 804   790   842 805   780   829 806   776   824 807   805   857 808   808   859 809   779   828 810   803   856 811   811   862 812   788   839 813   781   831 814   789   841 815   806   858 816   798   852 817   777   826 818   812   863 819   815   865 820   819   868 821   809   861 822   808   860 823   823   871 824   797   851 825   820   869 826   781   832 827   824   872 828   811   863 829   801   856 830   821   870 831   825   873 832   814   865 834   787   839 835   826   874 836   812   864 837   818   868 838   793   847 839   833   879 840   831   878 841   841   886 843   835   881 844   813   865 845   836   882 846   844   888 847   837   883 849   838   884 850   825   874 851   842   887 852   832   879 853   840   886 854   809   863 855   850   894 856   856   898 857   800   857 858   853   896 860   827   876 861   843   888 862   858   901 863   857   899 864   859   903 865   865   910 866   854   897 867   837   884 868   832   880 869   866   912 870   868   915 871   862   907 872   863   908 873   864   909 874   855   898 875   875   924 876   870   918 877   859   904 879   879   929 880   880   931 881   869   917 882   878   928 883   873   922 884   860   906 885   877   927 886   868   916 887   887   939 888   886   938 889   885   937 890   890   944 891   891   945 892   892   946 893   893   947 894   894   948 895   895   949 896   866   914 897   873   923 898   889   943 899   869   918 900   899   955 901   865   913 902   896   951 903   871   921 904   879   931 905   905   959 906   906   960 907   907   961 908   908   962 909   909   963 910   910   964 911   866   915 912   897   953 914   893   948 915   900   957 916   894   949 918   913   966 920   911   965 921   916   968 922   922   973 924   907   962 925   898   955 926   920   972 927   926   976 928   918   970 929   923   974 930   912   966 933   927   977 934   921   973 935   932   981 936   924   975 937   937   985 939   928   978 940   933   982 941   938   986 942   930   980 943   925   976 945   939   987 947   890   947 948   942   989 949   940   988 950   935   984 951   943   990 952   912   967 953   953   998 954   944   991 955   955  1003 956   902   960 957   945   992 958   951   997 960   960  1019 961   957  1009 962   962  1025 963   961  1023 964   963  1027 965   965  1032 966   957  1011 967   960  1021 969   967  1037 970   970  1045 971   962  1026 972   968  1039 973   972  1048 974   944   992 975   973  1050 977   977  1058 978   964  1031 979   979  1063 980   974  1053 981   975  1055 982   973  1051 983   968  1041 984   982  1068 985   976  1057 986   959  1020 987   987  1077 988   984  1072 989   983  1070 990   989  1081 991   964  1033 992   992  1086 993   978  1062 994   969  1045 995   986  1076 996   991  1085 997   961  1027 998   983  1071 999   998  10961000  1000  1099`

Consider the set of numbers under 1000 that are NOT Champagnat numbers:

2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 16 18 21 23 24 30 31 32 36 39 40 41 43 44 48 49 50 52 53 54 58 59 61 62 64 66 67 68 71 73 76 80 82 85 86 89 93 97 107 116 131 133 139 149 158 160 167 174 176 193 204 215 217 218 250 256 283 301 317 344 356 371 375 386 401 407 446 454 481 488 491 496 497 518 521 562 569 581 586 632 686 694 698 709 712 743 758 767 788 833 842 848 859 878 913 917 919 923 931 932 938 944 946 959 968 976

Is the set of non-Champagnat positive integers finite or infinite? They seem to be dwindling in frequency the higher one goes.

DefDbl A-Z
Dim crlf\$, totupto(1000000), champ(1000000), champlow(1000), champhigh(1000)

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""
crlf = Chr\$(13) + Chr\$(10)

For i = 1 To 100000
totupto(i) = totupto(i - 1) + sod(i)
high = i: tot = sod(i)
low = high
didOne = 0
For low = high - 1 To 1 Step -1
tot = tot + sod(low)
If tot >= low And tot <= high Then Exit For
DoEvents
Next
Do While tot >= low And tot <= high
'  Text1.Text = Text1.Text & Str(tot): didOne = 1
champ(tot) = champ(tot) + 1
If tot <= 1000 Then
champlow(tot) = low: champhigh(tot) = high
End If
low = low - 1: tot = tot + sod(low): If low < 1 Then Exit Do
DoEvents
Loop
If didOne Then Text1.Text = Text1.Text & crlf
DoEvents
If low > highlow Then highlow = low: Text1.Text = Text1.Text & low & crlf
If low > 1000 Then Exit For
Next
Text1.Text = Text1.Text & crlf & crlf

For i = 1 To 1000
DoEvents
If champ(i) Then Text1.Text = Text1.Text & mform(i, "###0") & mform(champlow(i), "#####0") & mform(champhigh(i), "#####0") & crlf
Next
Text1.Text = Text1.Text & crlf & crlf
For i = 1 To 1000
DoEvents
If champ(i) = 0 Then Text1.Text = Text1.Text & Str(i)
Next
Text1.Text = Text1.Text & crlf & crlf

Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"

End Sub

Function mform\$(x, t\$)
a\$ = Format\$(x, t\$)
If Len(a\$) < Len(t\$) Then a\$ = Space\$(Len(t\$) - Len(a\$)) & a\$
mform\$ = a\$
End Function

Function sod(n)
s\$ = LTrim(Str(n))
tot = 0
For i = 1 To Len(s\$)
tot = tot + Val(Mid(s\$, i, 1))
Next
sod = tot
End Function

 Posted by Charlie on 2018-01-23 15:00:21

 Search: Search body:
Forums (1)