All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Does it continue? An original. (Posted on 2017-10-20) Difficulty: 3 of 5
2!+2=4=22
3!+3=9=32
4!+1=25=52
5!+1=121=112
6!+9=729=272
7!+1=5041=712
8!+81=40401=2012

In the above examples, the number that must be added to each factorial to reach the first perfect square beyond it is itself a perfect square. (With the exception of 2! and 3!)

Make a conjecture about whether the observed pattern continues before you try to prove it or find a counterexample.

No Solution Yet Submitted by Jer    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
re(2): computer solution | Comment 6 of 7 |
(In reply to re: computer solution by Jer)

These are the values found, looking for any square which when subtracted would leave another square


 n  n! square  square     square root
        used    minus
                fact(2x)
 1   1   1   0   0   0 
 4   24   25   1   1   1 
 5   120   121   1   1   1 
 6   720   729   9   9   3 
 7   5040   5041   1   1   1 
 8   40320   40401   81   81   9 
 9   362880   363609   729   729   27 
 10   3628800   3629025   225   225   15 
 11   39916800   39917124   324   324   18 
 12   479001600   479084544   82944   82944   288 
 13   6227020800   6227103744   82944   82944   288 
 14   87178291200   87178467600   176400   176400   420 
 15   1307674368000   1307674583296   215296   215296   464 
 16   20922789888000   20922793332736   3444736   3444736   1856 
 17   355687428096000   355687529702400   101606400   101606400   10080 
 18   6402373705728000   6402375900463104   2194735104   2194735104   46848 
 19   121645100408832000   121645144609689600   44200857600   44200857600   210240 
 20   2432902008176640000   2432902168432742400   160256102400   160256102400   400320 
 21   51090942171709440000   51090942597919951104   426210511104   426210511104   652848 
 22   1124000727777607680000   1124000743711116902400   15933509222400   15933509222400   3991680 
 23   25852016738884976640000   25852017496697893313604   757812916673604   757812916673604   27528402 
 24   620448401733239439360000   620448402799862784000000   1066623344640000   1066623344640000   32659200 
 25   15511210043330985984000000   15511210069996569600000000   26665583616000000   26665583616000000   163296000 
 26   403291461126605635584000000   403291462434113725338240000   1307508089754240000   1307508089754240000   1143463200 
 27   10888869450418352160768000000   10888869452122596875481217600   1704244714713217600   1704244714713217600   1305467240 
 28   304888344611713860501504000000   304888344658506158469212160000   46792297967708160000   46792297967708160000   6840489600 
 29   8841761993739701954543616000000   8841761993829069963331076531844   89368008787460531844   89368008787460531844   9453465438 

At 30 however, the machine became bogged down, having tried many successive squares without finding one which would leave a perfect square difference.  This is not to say it would not eventually find one, but at the sizes of these numbers, going through thousands of possible squares is not practical. But it's just that up through 29, the valid squares were found quite quickly.

But see OEIS A138196.         


    4   kill "factsq2.txt"
    5   open "factsq2.txt" for output as #2
   10   for B=1 to 29 
   20     F=!(B)
   30     Sq1=(-int(-sqrt(F)))^2
   40     sr= -int(-sqrt(F))
   50     good=0
   60     repeat
   65        prevSq=sq
   70        sq=sr*sr
   80        sq2=sq-F
   90        sr2=int(sqrt(sq2))
  100        if sr2*sr2=sq2 then
  110          :print b,f,sq,sq-f,sq2,sr2
  120          :print #2, b,f,sq,sq-f,sq2,sr2
  130          :good=1
  140        inc sr
  150     until good=1 or sq-prevSq>2*f+2
  180   next
  190   close #2


  Posted by Charlie on 2017-10-20 14:21:05
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (4)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information