One day on the board, Ms. Math wrote the digits 1 to 9. She then wrote a
certain number of fives and also a number of eights. The number of fives and the
number of eights were not necessarily the same. The mean (average) of all the
digits on the board is 6.4.
Determine the smallest number of digits that can be on the board
If there are a added digits (5's and 8's combined) and e 8's, the total will be 45 + 5*a + 3*e. The desired total for this situation is 6.4 * (9+a).
Setting the total equal to the desired total:
45 + 5*a + 3*e = 6.4 * (9+a)
solves for e as
e = 4.2 + 7*a/15
A table from a graphing calculator shows:
a e
1 4.666666666666667
2 5.133333333333334
3 5.6
4 6.066666666666666
5 6.533333333333333
6 7
7 7.466666666666667
8 7.933333333333334
9 8.4
10 8.866666666666667
11 9.333333333333334
12 9.800000000000001
13 10.26666666666667
14 10.73333333333333
15 11.2
16 11.66666666666667
17 12.13333333333333
18 12.6
19 13.06666666666667
20 13.53333333333334
21 14
22 14.46666666666667
23 14.93333333333333
24 15.4
25 15.86666666666667
26 16.33333333333333
27 16.8
28 17.26666666666667
29 17.73333333333333
30 18.2
The first instance where e, the number of eights, is an integer for integral a, the combined number of eights and fives, has e exceed a, which is impossible.
So it's the next integral e which gives us the answer: there are 21 added digits of which 14 are 8's. Together with the 9 digits already on the board, from 1 to 9, there are 30 digits on the board altogether.
|
|
Posted by Charlie
on 2018-04-30 12:09:09 |
Using the table function of a graphing calculator.
