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3 equal products (Posted on 2018-11-21) Difficulty: 3 of 5
Lets take a number 12 as an example . It can be partitoned into three integer summands in 12 ways:
12=1+1+10
12=1+2+9
12=1+3+8
12=1+4+7
12=1+5+6
12=2+2+8
12=2+3+7
12=2+4+6
12=2+5+5
12=3+3+6
12=3+4+5
12=4+4+4

Multiplying the 3 members of each partitions results in 12 distinct numbers: 10,18,...60,64.

On the other hand the same treatment applied to number 13 produces a pair of equal results: 13=1+6+6=2+2+9 and 1*6*6=2*2*9=36 (a well known problem of children's ages).

Find the smallest number which has 3 distinct partitions into 3 parts, each of them with the same product.

Bonus: list all numbers below 1000 boasting this feature.

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Solution computer solution and partial investigation of the bonus | Comment 1 of 10
The lowest is 39: 4+15+20 =  5+10+24 = 6+8+25 = 39 and 4*15*20 =  5*10*24 = 6*8*25 = 1200. 

The below list shows, on the first line of each grouping, the number, the size of the group of summands/factors, and the product when multiplying the constituent addends. The next lines show the sets of addends that multiply to produce the given total.

Included are some that involve more than three sets of three addends, such as 225, which has four sets which add up to it with each producing 240240 when multiplied instead of added:

 24 91 110
 28 65 132
 33 52 140
 40 42 143
 
or  185 which has 5 sets that add up to it and multiply to 83160:

 11 84 90
 12 63 110
 15 44 126
 18 35 132
 22 28 135

I only went up to 250 (only showing 233, as cut off by limit of size of text box in VB5) and it seems 102 is the last number that does not occur. I don't know if the list of non-members is finite, and if so if 102 is the highest such.


39 3 1200
 4 15 20
 5 10 24
 6 8 25

45 3 1680
 4 20 21
 5 12 28
 7 8 30

49 3 3024
 7 18 24
 8 14 27
 9 12 28

49 3 3600
 9 20 20
 10 15 24
 12 12 25

53 3 1872
 3 24 26
 4 13 36
 6 8 39

62 3 4680
 6 26 30
 8 15 39
 9 13 40

64 3 1872
 2 26 36
 3 13 48
 6 6 52

65 3 2880
 3 30 32
 4 16 45
 5 12 48

65 3 5040
 6 24 35
 7 18 40
 8 15 42

65 3 7560
 10 27 28
 12 18 35
 14 15 36

70 3 2970
 3 22 45
 5 11 54
 6 9 55

70 3 7560
 8 27 35
 9 21 40
 10 18 42

70 3 8190
 9 26 35
 10 21 39
 13 15 42

71 3 5400
 5 30 36
 6 20 45
 9 12 50

71 3 7920
 8 30 33
 9 22 40
 12 15 44

74 3 5400
 5 24 45
 6 18 50
 10 10 54

75 3 10560
 10 32 33
 11 24 40
 15 16 44

76 3 1386
 1 33 42
 2 11 63
 3 7 66

77 3 3960
 3 30 44
 4 18 55
 6 11 60

77 3 6160
 5 28 44
 8 14 55
 10 11 56

77 3 9504
 8 33 36
 9 24 44
 11 18 48

78 3 6600
 5 33 40
 6 22 50
 8 15 55

78 3 9600
 8 30 40
 10 20 48
 12 16 50

79 3 5400
 4 30 45
 5 20 54
 9 10 60

81 3 8400
 6 35 40
 7 24 50
 10 15 56

81 3 8736
 7 26 48
 8 21 52
 12 13 56

82 3 8568
 6 34 42
 7 24 51
 9 17 56

83 3 11232
 8 36 39
 9 26 48
 13 16 54

84 3 3264
 2 34 48
 3 17 64
 4 12 68

84 3 13200
 10 30 44
 11 25 48
 12 22 50

85 3 12960
 9 36 40
 10 27 48
 15 16 54

87 3 8400
 5 40 42
 6 25 56
 7 20 60

87 3 16800
 12 35 40
 14 25 48
 16 21 50

88 3 14850
 10 33 45
 11 27 50
 15 18 55

89 3 10080
 6 35 48
 8 21 60
 10 16 63

89 3 15400
 10 35 44
 11 28 50
 14 20 55

89 3 20160
 15 32 42
 16 28 45
 20 21 48

90 3 6720
 4 30 56
 5 21 64
 8 12 70

90 3 10560
 6 40 44
 8 22 60
 11 15 64

90 3 13440
 8 40 42
 10 24 56
 14 16 60

91 3 12096
 7 36 48
 8 27 56
 12 16 63

91 3 13680
 8 38 45
 10 24 57
 12 19 60

91 3 18720
 12 39 40
 13 30 48
 15 24 52

91 3 21600
 15 36 40
 16 30 45
 18 25 48

91 3 23760
 18 33 40
 20 27 44
 22 24 45

91 3 25200
 20 35 36
 21 30 40
 24 25 42

92 3 15120
 9 35 48
 10 28 54
 14 18 60

92 3 22050
 15 35 42
 18 25 49
 21 21 50

93 3 14112
 8 36 49
 9 28 56
 14 16 63

93 3 17160
 10 39 44
 11 30 52
 12 26 55

93 3 18480
 11 40 42
 14 24 55
 15 22 56

94 3 9450
 5 35 54
 6 25 63
 9 15 70

94 3 14400
 8 36 50
 10 24 60
 15 15 64

94 3 22950
 15 34 45
 17 27 50
 18 25 51

95 3 4320
 2 45 48
 3 20 72
 6 9 80

95 3 9520
 5 34 56
 7 20 68
 8 17 70

95 3 15120
 8 42 45
 9 30 56
 12 20 63

95 3 24480
 16 34 45
 17 30 48
 20 24 51

95 3 27720
 20 33 42
 21 30 44
 22 28 45

97 3 8208
 4 36 57
 6 19 72
 9 12 76

97 3 15120
 8 35 54
 9 28 60
 10 24 63

97 3 19800
 11 36 50
 12 30 55
 15 22 60

98 3 12096
 6 36 56
 7 27 64
 12 14 72

98 3 16632
 9 33 56
 11 24 63
 14 18 66

98 3 24192
 14 36 48
 16 28 54
 18 24 56

98 3 28800
 18 40 40
 20 30 48
 24 24 50

99 3 26400
 15 40 44
 16 33 50
 20 24 55

100 3 13230
 6 45 49
 7 30 63
 9 21 70

100 3 20160
 10 42 48
 12 28 60
 15 21 64

100 3 28080
 16 39 45
 18 30 52
 20 26 54

101 3 7200
 3 48 50
 4 25 72
 6 15 80

101 3 15120
 7 40 54
 8 30 63
 14 15 72

101 3 17280
 8 45 48
 9 32 60
 10 27 64

101 3 19800
 10 36 55
 11 30 60
 15 20 66

101 3 22176
 11 42 48
 12 33 56
 16 22 63

101 3 22680
 12 35 54
 14 27 60
 18 20 63

103 3 7200
 3 40 60
 4 24 75
 5 18 80

103 3 15120
 7 36 60
 9 24 70
 10 21 72

103 3 19800
 9 44 50
 10 33 60
 12 25 66

104 3 18144
 8 42 54
 9 32 63
 14 18 72

104 3 25200
 12 42 50
 14 30 60
 16 25 63

105 3 5280
 2 48 55
 3 22 80
 5 12 88

105 3 6720
 3 32 70
 4 21 80
 5 16 84

105 3 10080
 4 45 56
 5 28 72
 7 18 80

105 3 12320
 5 44 56
 8 20 77
 11 14 80

105 3 22440
 10 44 51
 11 34 60
 15 22 68

105 3 23760
 11 40 54
 12 33 60
 15 24 66

105 3 24960
 13 32 60
 15 26 64
 16 24 65

105 3 28560
 14 40 51
 15 34 56
 17 28 60

105 3 30240
 15 42 48
 16 35 54
 21 24 60

106 3 12600
 5 45 56
 6 30 70
 7 24 75

106 3 14976
 6 48 52
 8 26 72
 12 16 78

106 3 19008
 8 44 54
 9 33 64
 12 22 72

107 3 10080
 4 40 63
 6 21 80
 8 15 84

107 3 12960
 5 48 54
 9 18 80
 10 16 81

107 3 17325
 7 45 55
 11 21 75
 15 15 77

107 3 30240
 14 45 48
 15 36 56
 20 24 63

107 3 37800
 20 42 45
 21 36 50
 25 28 54

108 3 14742
 6 39 63
 9 21 78
 13 14 81

108 3 15600
 6 50 52
 10 20 78
 13 15 80

108 3 17556
 7 44 57
 11 21 76
 12 19 77

109 3 7920
 3 40 66
 6 15 88
 8 11 90

109 3 21600
 9 40 60
 12 25 72
 16 18 75

109 3 43200
 24 40 45
 25 36 48
 27 32 50

110 3 8190
 3 42 65
 7 13 90
 9 10 91

111 3 18480
 7 44 60
 8 33 70
 10 24 77

111 3 23100
 10 35 66
 11 30 70
 14 22 75

112 3 25200
 10 42 60
 12 30 70
 16 21 75

112 3 33264
 14 44 54
 16 33 63
 18 28 66

112 3 44550
 22 45 45
 25 33 54
 27 30 55

112 3 46800
 25 39 48
 26 36 50
 30 30 52

113 3 17136
 6 51 56
 7 34 72
 12 17 84

113 3 30240
 12 45 56
 16 27 70
 20 21 72

113 3 34272
 14 48 51
 16 34 63
 21 24 68

114 3 33600
 14 40 60
 15 35 64
 20 24 70

114 3 46200
 22 42 50
 24 35 55
 25 33 56

115 3 12240
 4 51 60
 6 24 85
 8 17 90

115 3 20160
 7 48 60
 8 35 72
 15 16 84

115 3 37440
 15 48 52
 16 39 60
 18 32 65

116 3 30096
 11 48 57
 12 38 66
 18 22 76

116 3 35910
 14 45 57
 15 38 63
 19 27 70

116 3 36400
 14 50 52
 16 35 65
 20 26 70

116 3 43200
 18 48 50
 20 36 60
 25 27 64

117 3 10560
 4 33 80
 5 24 88
 10 11 96

117 3 18144
 6 48 63
 8 28 81
 9 24 84

117 3 32400
 12 45 60
 15 30 72
 18 24 75

117 3 38640
 15 46 56
 20 28 69
 23 24 70

117 3 40800
 16 50 51
 17 40 60
 24 25 68

118 4 37800
 14 50 54
 15 40 63
 18 30 70
 21 25 72

118 3 44352
 18 44 56
 21 33 64
 24 28 66

119 3 9504
 3 44 72
 4 27 88
 8 12 99

119 3 20944
 7 44 68
 8 34 77
 14 17 88

119 3 24640
 8 55 56
 10 32 77
 11 28 80

119 3 28800
 10 45 64
 12 32 75
 15 24 80

119 3 31824
 12 39 68
 13 34 72
 17 24 78

119 3 32760
 12 42 65
 13 36 70
 20 21 78

119 3 33264
 12 44 63
 14 33 72
 18 24 77

119 3 44200
 17 50 52
 20 34 65
 25 26 68

120 3 19110
 6 49 65
 7 35 78
 14 15 91

120 3 31920
 12 38 70
 14 30 76
 19 21 80

120 3 44880
 17 48 55
 20 34 66
 22 30 68

121 3 19656
 6 52 63
 7 36 78
 12 18 91

121 3 22176
 7 48 66
 8 36 77
 12 21 88

121 3 36036
 13 42 66
 18 26 77
 21 22 78

122 3 19800
 6 50 66
 9 25 88
 10 22 90

122 3 37674
 13 46 63
 14 39 69
 21 23 78

123 3 3360
 1 42 80
 2 16 105
 5 6 112

123 3 13200
 4 44 75
 5 30 88
 11 12 100

123 3 25872
 8 49 66
 11 28 84
 14 21 88

123 3 26400
 8 55 60
 10 33 80
 15 20 88

123 3 31920
 10 56 57
 12 35 76
 19 20 84

123 3 36960
 12 55 56
 16 30 77
 21 22 80

123 3 58800
 24 49 50
 25 42 56
 28 35 60

124 3 18720
 6 40 78
 8 26 90
 13 15 96

124 3 25200
 9 35 80
 10 30 84
 14 20 90

124 3 37440
 12 52 60
 16 30 78
 18 26 80

124 3 40950
 14 45 65
 15 39 70
 21 25 78

124 3 55440
 21 48 55
 22 42 60
 28 30 66

125 3 10395
 3 45 77
 5 21 99
 9 11 105

125 3 17640
 6 35 84
 7 28 90
 12 15 98

125 3 27360
 8 57 60
 9 40 76
 16 19 90

125 3 32760
 10 52 63
 12 35 78
 15 26 84

125 3 37440
 12 48 65
 13 40 72
 15 32 78

125 3 55440
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142 3 60480
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 20 22 112

154 3 56160
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 29 35 90

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155 4 28080
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155 3 47880
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 20 21 114

155 3 60480
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155 3 65520
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156 3 28350
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 15 15 126

156 3 51408
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156 3 52800
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 16 30 110

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164 3 80784
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164 3 117450
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165 3 73920
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167 3 47520
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167 4 50400
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167 3 51408
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167 3 52920
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167 3 91800
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169 3 49140
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169 4 118800
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169 3 133920
 27 62 80
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170 3 103680
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170 3 107730
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171 3 27600
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171 3 91200
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171 3 109200
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173 3 158400
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173 3 166320
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 40 52 81

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174 4 67200
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 21 25 128

174 3 134400
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 32 42 100

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 3 72 100
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175 3 49140
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175 3 55440
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 15 28 132

175 3 61920
 9 80 86
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 16 30 129

175 3 73080
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 20 29 126

175 3 84240
 13 72 90
 15 52 108
 18 40 117

175 4 90720
 14 80 81
 16 54 105
 18 45 112
 27 28 120

175 3 94185
 15 69 91
 21 39 115
 23 35 117

175 4 110880
 18 77 80
 20 56 99
 22 48 105
 30 33 112

175 3 166320
 33 70 72
 36 55 84
 42 45 88

175 3 171360
 35 68 72
 40 51 84
 42 48 85

175 3 177840
 38 65 72
 39 60 76
 40 57 78

176 3 25200
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 12 14 150

176 3 63360
 12 44 120
 15 33 128
 20 24 132

176 3 72576
 12 56 108
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 21 27 128

176 3 77220
 12 65 99
 13 55 108
 15 44 117

176 3 86346
 13 81 82
 18 41 117
 26 27 123

176 3 91630
 14 77 85
 17 49 110
 22 35 119

176 3 118800
 20 66 90
 22 54 100
 30 36 110

177 3 15288
 2 84 91
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 7 14 156

177 3 17160
 3 44 130
 4 30 143
 10 11 156

177 3 29400
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 7 30 140
 10 20 147

177 3 46200
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 10 35 132
 15 22 140

177 3 57120
 8 84 85
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 20 21 136

177 3 98175
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 25 33 119

177 3 137280
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 33 40 104

177 3 148200
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 38 39 100

177 3 152880
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 39 40 98

178 3 22050
 3 70 105
 6 25 147
 7 21 150

178 3 70200
 10 78 90
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 18 30 130

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 20 32 126

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182 3 172800
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182 3 201600
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183 3 39000
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183 3 73920
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183 3 85800
 13 60 110
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183 3 110400
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 23 40 120

183 3 114240
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 20 51 112
 24 40 119

183 4 151200
 24 75 84
 27 56 100
 30 48 105
 35 40 108

184 3 39690
 5 81 98
 7 42 135
 10 2
  Posted by Charlie on 2018-11-21 12:10:34
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