Lets take a number 12 as an example .
It can be partitoned into three integer summands in 12 ways:
12=1+1+10
12=1+2+9
12=1+3+8
12=1+4+7
12=1+5+6
12=2+2+8
12=2+3+7
12=2+4+6
12=2+5+5
12=3+3+6
12=3+4+5
12=4+4+4
Multiplying the 3 members of each partitions results in 12 distinct numbers: 10,18,...60,64.
On the other hand the same treatment applied to number 13 produces a pair of equal results: 13=1+6+6=2+2+9 and 1*6*6=2*2*9=36 (a well known problem of children's ages).
Find the smallest number which has 3 distinct partitions into 3 parts, each of them with the same product.
Bonus: list all numbers below 1000 boasting this feature.
The lowest is 39: 4+15+20 = 5+10+24 = 6+8+25 = 39 and 4*15*20 = 5*10*24 = 6*8*25 = 1200.
The below list shows, on the first line of each grouping, the number, the size of the group of summands/factors, and the product when multiplying the constituent addends. The next lines show the sets of addends that multiply to produce the given total.
Included are some that involve more than three sets of three addends, such as 225, which has four sets which add up to it with each producing 240240 when multiplied instead of added:
24 91 110
28 65 132
33 52 140
40 42 143
or 185 which has 5 sets that add up to it and multiply to 83160:
11 84 90
12 63 110
15 44 126
18 35 132
22 28 135
I only went up to 250 (only showing 233, as cut off by limit of size of text box in VB5) and it seems 102 is the last number that does not occur. I don't know if the list of non-members is finite, and if so if 102 is the highest such.
39 3 1200
4 15 20
5 10 24
6 8 25
45 3 1680
4 20 21
5 12 28
7 8 30
49 3 3024
7 18 24
8 14 27
9 12 28
49 3 3600
9 20 20
10 15 24
12 12 25
53 3 1872
3 24 26
4 13 36
6 8 39
62 3 4680
6 26 30
8 15 39
9 13 40
64 3 1872
2 26 36
3 13 48
6 6 52
65 3 2880
3 30 32
4 16 45
5 12 48
65 3 5040
6 24 35
7 18 40
8 15 42
65 3 7560
10 27 28
12 18 35
14 15 36
70 3 2970
3 22 45
5 11 54
6 9 55
70 3 7560
8 27 35
9 21 40
10 18 42
70 3 8190
9 26 35
10 21 39
13 15 42
71 3 5400
5 30 36
6 20 45
9 12 50
71 3 7920
8 30 33
9 22 40
12 15 44
74 3 5400
5 24 45
6 18 50
10 10 54
75 3 10560
10 32 33
11 24 40
15 16 44
76 3 1386
1 33 42
2 11 63
3 7 66
77 3 3960
3 30 44
4 18 55
6 11 60
77 3 6160
5 28 44
8 14 55
10 11 56
77 3 9504
8 33 36
9 24 44
11 18 48
78 3 6600
5 33 40
6 22 50
8 15 55
78 3 9600
8 30 40
10 20 48
12 16 50
79 3 5400
4 30 45
5 20 54
9 10 60
81 3 8400
6 35 40
7 24 50
10 15 56
81 3 8736
7 26 48
8 21 52
12 13 56
82 3 8568
6 34 42
7 24 51
9 17 56
83 3 11232
8 36 39
9 26 48
13 16 54
84 3 3264
2 34 48
3 17 64
4 12 68
84 3 13200
10 30 44
11 25 48
12 22 50
85 3 12960
9 36 40
10 27 48
15 16 54
87 3 8400
5 40 42
6 25 56
7 20 60
87 3 16800
12 35 40
14 25 48
16 21 50
88 3 14850
10 33 45
11 27 50
15 18 55
89 3 10080
6 35 48
8 21 60
10 16 63
89 3 15400
10 35 44
11 28 50
14 20 55
89 3 20160
15 32 42
16 28 45
20 21 48
90 3 6720
4 30 56
5 21 64
8 12 70
90 3 10560
6 40 44
8 22 60
11 15 64
90 3 13440
8 40 42
10 24 56
14 16 60
91 3 12096
7 36 48
8 27 56
12 16 63
91 3 13680
8 38 45
10 24 57
12 19 60
91 3 18720
12 39 40
13 30 48
15 24 52
91 3 21600
15 36 40
16 30 45
18 25 48
91 3 23760
18 33 40
20 27 44
22 24 45
91 3 25200
20 35 36
21 30 40
24 25 42
92 3 15120
9 35 48
10 28 54
14 18 60
92 3 22050
15 35 42
18 25 49
21 21 50
93 3 14112
8 36 49
9 28 56
14 16 63
93 3 17160
10 39 44
11 30 52
12 26 55
93 3 18480
11 40 42
14 24 55
15 22 56
94 3 9450
5 35 54
6 25 63
9 15 70
94 3 14400
8 36 50
10 24 60
15 15 64
94 3 22950
15 34 45
17 27 50
18 25 51
95 3 4320
2 45 48
3 20 72
6 9 80
95 3 9520
5 34 56
7 20 68
8 17 70
95 3 15120
8 42 45
9 30 56
12 20 63
95 3 24480
16 34 45
17 30 48
20 24 51
95 3 27720
20 33 42
21 30 44
22 28 45
97 3 8208
4 36 57
6 19 72
9 12 76
97 3 15120
8 35 54
9 28 60
10 24 63
97 3 19800
11 36 50
12 30 55
15 22 60
98 3 12096
6 36 56
7 27 64
12 14 72
98 3 16632
9 33 56
11 24 63
14 18 66
98 3 24192
14 36 48
16 28 54
18 24 56
98 3 28800
18 40 40
20 30 48
24 24 50
99 3 26400
15 40 44
16 33 50
20 24 55
100 3 13230
6 45 49
7 30 63
9 21 70
100 3 20160
10 42 48
12 28 60
15 21 64
100 3 28080
16 39 45
18 30 52
20 26 54
101 3 7200
3 48 50
4 25 72
6 15 80
101 3 15120
7 40 54
8 30 63
14 15 72
101 3 17280
8 45 48
9 32 60
10 27 64
101 3 19800
10 36 55
11 30 60
15 20 66
101 3 22176
11 42 48
12 33 56
16 22 63
101 3 22680
12 35 54
14 27 60
18 20 63
103 3 7200
3 40 60
4 24 75
5 18 80
103 3 15120
7 36 60
9 24 70
10 21 72
103 3 19800
9 44 50
10 33 60
12 25 66
104 3 18144
8 42 54
9 32 63
14 18 72
104 3 25200
12 42 50
14 30 60
16 25 63
105 3 5280
2 48 55
3 22 80
5 12 88
105 3 6720
3 32 70
4 21 80
5 16 84
105 3 10080
4 45 56
5 28 72
7 18 80
105 3 12320
5 44 56
8 20 77
11 14 80
105 3 22440
10 44 51
11 34 60
15 22 68
105 3 23760
11 40 54
12 33 60
15 24 66
105 3 24960
13 32 60
15 26 64
16 24 65
105 3 28560
14 40 51
15 34 56
17 28 60
105 3 30240
15 42 48
16 35 54
21 24 60
106 3 12600
5 45 56
6 30 70
7 24 75
106 3 14976
6 48 52
8 26 72
12 16 78
106 3 19008
8 44 54
9 33 64
12 22 72
107 3 10080
4 40 63
6 21 80
8 15 84
107 3 12960
5 48 54
9 18 80
10 16 81
107 3 17325
7 45 55
11 21 75
15 15 77
107 3 30240
14 45 48
15 36 56
20 24 63
107 3 37800
20 42 45
21 36 50
25 28 54
108 3 14742
6 39 63
9 21 78
13 14 81
108 3 15600
6 50 52
10 20 78
13 15 80
108 3 17556
7 44 57
11 21 76
12 19 77
109 3 7920
3 40 66
6 15 88
8 11 90
109 3 21600
9 40 60
12 25 72
16 18 75
109 3 43200
24 40 45
25 36 48
27 32 50
110 3 8190
3 42 65
7 13 90
9 10 91
111 3 18480
7 44 60
8 33 70
10 24 77
111 3 23100
10 35 66
11 30 70
14 22 75
112 3 25200
10 42 60
12 30 70
16 21 75
112 3 33264
14 44 54
16 33 63
18 28 66
112 3 44550
22 45 45
25 33 54
27 30 55
112 3 46800
25 39 48
26 36 50
30 30 52
113 3 17136
6 51 56
7 34 72
12 17 84
113 3 30240
12 45 56
16 27 70
20 21 72
113 3 34272
14 48 51
16 34 63
21 24 68
114 3 33600
14 40 60
15 35 64
20 24 70
114 3 46200
22 42 50
24 35 55
25 33 56
115 3 12240
4 51 60
6 24 85
8 17 90
115 3 20160
7 48 60
8 35 72
15 16 84
115 3 37440
15 48 52
16 39 60
18 32 65
116 3 30096
11 48 57
12 38 66
18 22 76
116 3 35910
14 45 57
15 38 63
19 27 70
116 3 36400
14 50 52
16 35 65
20 26 70
116 3 43200
18 48 50
20 36 60
25 27 64
117 3 10560
4 33 80
5 24 88
10 11 96
117 3 18144
6 48 63
8 28 81
9 24 84
117 3 32400
12 45 60
15 30 72
18 24 75
117 3 38640
15 46 56
20 28 69
23 24 70
117 3 40800
16 50 51
17 40 60
24 25 68
118 4 37800
14 50 54
15 40 63
18 30 70
21 25 72
118 3 44352
18 44 56
21 33 64
24 28 66
119 3 9504
3 44 72
4 27 88
8 12 99
119 3 20944
7 44 68
8 34 77
14 17 88
119 3 24640
8 55 56
10 32 77
11 28 80
119 3 28800
10 45 64
12 32 75
15 24 80
119 3 31824
12 39 68
13 34 72
17 24 78
119 3 32760
12 42 65
13 36 70
20 21 78
119 3 33264
12 44 63
14 33 72
18 24 77
119 3 44200
17 50 52
20 34 65
25 26 68
120 3 19110
6 49 65
7 35 78
14 15 91
120 3 31920
12 38 70
14 30 76
19 21 80
120 3 44880
17 48 55
20 34 66
22 30 68
121 3 19656
6 52 63
7 36 78
12 18 91
121 3 22176
7 48 66
8 36 77
12 21 88
121 3 36036
13 42 66
18 26 77
21 22 78
122 3 19800
6 50 66
9 25 88
10 22 90
122 3 37674
13 46 63
14 39 69
21 23 78
123 3 3360
1 42 80
2 16 105
5 6 112
123 3 13200
4 44 75
5 30 88
11 12 100
123 3 25872
8 49 66
11 28 84
14 21 88
123 3 26400
8 55 60
10 33 80
15 20 88
123 3 31920
10 56 57
12 35 76
19 20 84
123 3 36960
12 55 56
16 30 77
21 22 80
123 3 58800
24 49 50
25 42 56
28 35 60
124 3 18720
6 40 78
8 26 90
13 15 96
124 3 25200
9 35 80
10 30 84
14 20 90
124 3 37440
12 52 60
16 30 78
18 26 80
124 3 40950
14 45 65
15 39 70
21 25 78
124 3 55440
21 48 55
22 42 60
28 30 66
125 3 10395
3 45 77
5 21 99
9 11 105
125 3 17640
6 35 84
7 28 90
12 15 98
125 3 27360
8 57 60
9 40 76
16 19 90
125 3 32760
10 52 63
12 35 78
15 26 84
125 3 37440
12 48 65
13 40 72
15 32 78
125 3 55440
21 44 60
22 40 63
24 35 66
126 3 27720
8 55 63
9 40 77
14 22 90
126 3 28350
9 42 75
10 35 81
15 21 90
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7 42 135
10 2
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Posted by Charlie
on 2018-11-21 12:10:34 |
computer solution and partial investigation of the bonus
