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 3 equal products (Posted on 2018-11-21)
Lets take a number 12 as an example . It can be partitoned into three integer summands in 12 ways:
12=1+1+10
12=1+2+9
12=1+3+8
12=1+4+7
12=1+5+6
12=2+2+8
12=2+3+7
12=2+4+6
12=2+5+5
12=3+3+6
12=3+4+5
12=4+4+4

Multiplying the 3 members of each partitions results in 12 distinct numbers: 10,18,...60,64.

On the other hand the same treatment applied to number 13 produces a pair of equal results: 13=1+6+6=2+2+9 and 1*6*6=2*2*9=36 (a well known problem of children's ages).

Find the smallest number which has 3 distinct partitions into 3 parts, each of them with the same product.

Bonus: list all numbers below 1000 boasting this feature.

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 computer solution and partial investigation of the bonus | Comment 1 of 10
The lowest is 39: 4+15+20 =  5+10+24 = 6+8+25 = 39 and 4*15*20 =  5*10*24 = 6*8*25 = 1200.

The below list shows, on the first line of each grouping, the number, the size of the group of summands/factors, and the product when multiplying the constituent addends. The next lines show the sets of addends that multiply to produce the given total.

Included are some that involve more than three sets of three addends, such as 225, which has four sets which add up to it with each producing 240240 when multiplied instead of added:

24 91 110
28 65 132
33 52 140
40 42 143

or  185 which has 5 sets that add up to it and multiply to 83160:

11 84 90
12 63 110
15 44 126
18 35 132
22 28 135

I only went up to 250 (only showing 233, as cut off by limit of size of text box in VB5) and it seems 102 is the last number that does not occur. I don't know if the list of non-members is finite, and if so if 102 is the highest such.

39 3 1200
4 15 20
5 10 24
6 8 25

45 3 1680
4 20 21
5 12 28
7 8 30

49 3 3024
7 18 24
8 14 27
9 12 28

49 3 3600
9 20 20
10 15 24
12 12 25

53 3 1872
3 24 26
4 13 36
6 8 39

62 3 4680
6 26 30
8 15 39
9 13 40

64 3 1872
2 26 36
3 13 48
6 6 52

65 3 2880
3 30 32
4 16 45
5 12 48

65 3 5040
6 24 35
7 18 40
8 15 42

65 3 7560
10 27 28
12 18 35
14 15 36

70 3 2970
3 22 45
5 11 54
6 9 55

70 3 7560
8 27 35
9 21 40
10 18 42

70 3 8190
9 26 35
10 21 39
13 15 42

71 3 5400
5 30 36
6 20 45
9 12 50

71 3 7920
8 30 33
9 22 40
12 15 44

74 3 5400
5 24 45
6 18 50
10 10 54

75 3 10560
10 32 33
11 24 40
15 16 44

76 3 1386
1 33 42
2 11 63
3 7 66

77 3 3960
3 30 44
4 18 55
6 11 60

77 3 6160
5 28 44
8 14 55
10 11 56

77 3 9504
8 33 36
9 24 44
11 18 48

78 3 6600
5 33 40
6 22 50
8 15 55

78 3 9600
8 30 40
10 20 48
12 16 50

79 3 5400
4 30 45
5 20 54
9 10 60

81 3 8400
6 35 40
7 24 50
10 15 56

81 3 8736
7 26 48
8 21 52
12 13 56

82 3 8568
6 34 42
7 24 51
9 17 56

83 3 11232
8 36 39
9 26 48
13 16 54

84 3 3264
2 34 48
3 17 64
4 12 68

84 3 13200
10 30 44
11 25 48
12 22 50

85 3 12960
9 36 40
10 27 48
15 16 54

87 3 8400
5 40 42
6 25 56
7 20 60

87 3 16800
12 35 40
14 25 48
16 21 50

88 3 14850
10 33 45
11 27 50
15 18 55

89 3 10080
6 35 48
8 21 60
10 16 63

89 3 15400
10 35 44
11 28 50
14 20 55

89 3 20160
15 32 42
16 28 45
20 21 48

90 3 6720
4 30 56
5 21 64
8 12 70

90 3 10560
6 40 44
8 22 60
11 15 64

90 3 13440
8 40 42
10 24 56
14 16 60

91 3 12096
7 36 48
8 27 56
12 16 63

91 3 13680
8 38 45
10 24 57
12 19 60

91 3 18720
12 39 40
13 30 48
15 24 52

91 3 21600
15 36 40
16 30 45
18 25 48

91 3 23760
18 33 40
20 27 44
22 24 45

91 3 25200
20 35 36
21 30 40
24 25 42

92 3 15120
9 35 48
10 28 54
14 18 60

92 3 22050
15 35 42
18 25 49
21 21 50

93 3 14112
8 36 49
9 28 56
14 16 63

93 3 17160
10 39 44
11 30 52
12 26 55

93 3 18480
11 40 42
14 24 55
15 22 56

94 3 9450
5 35 54
6 25 63
9 15 70

94 3 14400
8 36 50
10 24 60
15 15 64

94 3 22950
15 34 45
17 27 50
18 25 51

95 3 4320
2 45 48
3 20 72
6 9 80

95 3 9520
5 34 56
7 20 68
8 17 70

95 3 15120
8 42 45
9 30 56
12 20 63

95 3 24480
16 34 45
17 30 48
20 24 51

95 3 27720
20 33 42
21 30 44
22 28 45

97 3 8208
4 36 57
6 19 72
9 12 76

97 3 15120
8 35 54
9 28 60
10 24 63

97 3 19800
11 36 50
12 30 55
15 22 60

98 3 12096
6 36 56
7 27 64
12 14 72

98 3 16632
9 33 56
11 24 63
14 18 66

98 3 24192
14 36 48
16 28 54
18 24 56

98 3 28800
18 40 40
20 30 48
24 24 50

99 3 26400
15 40 44
16 33 50
20 24 55

100 3 13230
6 45 49
7 30 63
9 21 70

100 3 20160
10 42 48
12 28 60
15 21 64

100 3 28080
16 39 45
18 30 52
20 26 54

101 3 7200
3 48 50
4 25 72
6 15 80

101 3 15120
7 40 54
8 30 63
14 15 72

101 3 17280
8 45 48
9 32 60
10 27 64

101 3 19800
10 36 55
11 30 60
15 20 66

101 3 22176
11 42 48
12 33 56
16 22 63

101 3 22680
12 35 54
14 27 60
18 20 63

103 3 7200
3 40 60
4 24 75
5 18 80

103 3 15120
7 36 60
9 24 70
10 21 72

103 3 19800
9 44 50
10 33 60
12 25 66

104 3 18144
8 42 54
9 32 63
14 18 72

104 3 25200
12 42 50
14 30 60
16 25 63

105 3 5280
2 48 55
3 22 80
5 12 88

105 3 6720
3 32 70
4 21 80
5 16 84

105 3 10080
4 45 56
5 28 72
7 18 80

105 3 12320
5 44 56
8 20 77
11 14 80

105 3 22440
10 44 51
11 34 60
15 22 68

105 3 23760
11 40 54
12 33 60
15 24 66

105 3 24960
13 32 60
15 26 64
16 24 65

105 3 28560
14 40 51
15 34 56
17 28 60

105 3 30240
15 42 48
16 35 54
21 24 60

106 3 12600
5 45 56
6 30 70
7 24 75

106 3 14976
6 48 52
8 26 72
12 16 78

106 3 19008
8 44 54
9 33 64
12 22 72

107 3 10080
4 40 63
6 21 80
8 15 84

107 3 12960
5 48 54
9 18 80
10 16 81

107 3 17325
7 45 55
11 21 75
15 15 77

107 3 30240
14 45 48
15 36 56
20 24 63

107 3 37800
20 42 45
21 36 50
25 28 54

108 3 14742
6 39 63
9 21 78
13 14 81

108 3 15600
6 50 52
10 20 78
13 15 80

108 3 17556
7 44 57
11 21 76
12 19 77

109 3 7920
3 40 66
6 15 88
8 11 90

109 3 21600
9 40 60
12 25 72
16 18 75

109 3 43200
24 40 45
25 36 48
27 32 50

110 3 8190
3 42 65
7 13 90
9 10 91

111 3 18480
7 44 60
8 33 70
10 24 77

111 3 23100
10 35 66
11 30 70
14 22 75

112 3 25200
10 42 60
12 30 70
16 21 75

112 3 33264
14 44 54
16 33 63
18 28 66

112 3 44550
22 45 45
25 33 54
27 30 55

112 3 46800
25 39 48
26 36 50
30 30 52

113 3 17136
6 51 56
7 34 72
12 17 84

113 3 30240
12 45 56
16 27 70
20 21 72

113 3 34272
14 48 51
16 34 63
21 24 68

114 3 33600
14 40 60
15 35 64
20 24 70

114 3 46200
22 42 50
24 35 55
25 33 56

115 3 12240
4 51 60
6 24 85
8 17 90

115 3 20160
7 48 60
8 35 72
15 16 84

115 3 37440
15 48 52
16 39 60
18 32 65

116 3 30096
11 48 57
12 38 66
18 22 76

116 3 35910
14 45 57
15 38 63
19 27 70

116 3 36400
14 50 52
16 35 65
20 26 70

116 3 43200
18 48 50
20 36 60
25 27 64

117 3 10560
4 33 80
5 24 88
10 11 96

117 3 18144
6 48 63
8 28 81
9 24 84

117 3 32400
12 45 60
15 30 72
18 24 75

117 3 38640
15 46 56
20 28 69
23 24 70

117 3 40800
16 50 51
17 40 60
24 25 68

118 4 37800
14 50 54
15 40 63
18 30 70
21 25 72

118 3 44352
18 44 56
21 33 64
24 28 66

119 3 9504
3 44 72
4 27 88
8 12 99

119 3 20944
7 44 68
8 34 77
14 17 88

119 3 24640
8 55 56
10 32 77
11 28 80

119 3 28800
10 45 64
12 32 75
15 24 80

119 3 31824
12 39 68
13 34 72
17 24 78

119 3 32760
12 42 65
13 36 70
20 21 78

119 3 33264
12 44 63
14 33 72
18 24 77

119 3 44200
17 50 52
20 34 65
25 26 68

120 3 19110
6 49 65
7 35 78
14 15 91

120 3 31920
12 38 70
14 30 76
19 21 80

120 3 44880
17 48 55
20 34 66
22 30 68

121 3 19656
6 52 63
7 36 78
12 18 91

121 3 22176
7 48 66
8 36 77
12 21 88

121 3 36036
13 42 66
18 26 77
21 22 78

122 3 19800
6 50 66
9 25 88
10 22 90

122 3 37674
13 46 63
14 39 69
21 23 78

123 3 3360
1 42 80
2 16 105
5 6 112

123 3 13200
4 44 75
5 30 88
11 12 100

123 3 25872
8 49 66
11 28 84
14 21 88

123 3 26400
8 55 60
10 33 80
15 20 88

123 3 31920
10 56 57
12 35 76
19 20 84

123 3 36960
12 55 56
16 30 77
21 22 80

123 3 58800
24 49 50
25 42 56
28 35 60

124 3 18720
6 40 78
8 26 90
13 15 96

124 3 25200
9 35 80
10 30 84
14 20 90

124 3 37440
12 52 60
16 30 78
18 26 80

124 3 40950
14 45 65
15 39 70
21 25 78

124 3 55440
21 48 55
22 42 60
28 30 66

125 3 10395
3 45 77
5 21 99
9 11 105

125 3 17640
6 35 84
7 28 90
12 15 98

125 3 27360
8 57 60
9 40 76
16 19 90

125 3 32760
10 52 63
12 35 78
15 26 84

125 3 37440
12 48 65
13 40 72
15 32 78

125 3 55440
21 44 60
22 40 63
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175 3 84240
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175 4 90720
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175 3 94185
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23 35 117

175 4 110880
18 77 80
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20 24 132

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176 3 77220
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176 3 86346
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26 27 123

176 3 91630
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177 3 17160
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10 11 156

177 3 29400
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10 20 147

177 3 46200
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15 22 140

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20 21 136

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177 3 137280
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177 3 148200
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177 3 152880
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178 3 70200
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10 2
 Posted by Charlie on 2018-11-21 12:10:34

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