All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Logic > Weights and Scales
Half a dozen of weights (Posted on 2019-01-23) Difficulty: 4 of 5
d3: Select six weights from a set of weights (1, 2, …, 26) grams in such a way that any two subsets of the six add up to distinct total weights.

Bonus-d4: Prove that no similar subset of 7 exists.

Source: Moscow Math Olympiad

No Solution Yet Submitted by Ady TZIDON    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
solns via computer Comment 1 of 1
I believe the complete set of solutions are:

           1           6          12          22          24          26

           1          12          18          22          24          26

           3           6          12          22          24          26

           3           6          12          23          24          25

           3           6          12          24          25          26

           3           6          13          24          25          26

           3          12          18          22          24          26

           3          12          18          23          24          25

           3          12          19          24          25          26

           3          13          19          24          25          26

           5           6          12          22          24          26

           5          12          18          22          24          26

           6           7          12          22          24          26

           6           9          12          22          24          26

           6           9          12          23          24          25

           6          11          12          22          24          26

           6          12          13          22          24          26

           6          12          15          22          24          26

           6          12          15          23          24          25

           6          12          17          22          24          26

           6          12          19          22          24          26

           6          12          21          22          24          26

           6          12          21          23          24          25

           6          12          22          23          24          26

           6          12          22          24          25          26

           6          13          22          24          25          26

           7          12          18          22          24          26

           8          13          16          19          25          26

           9          12          18          22          24          26

           9          12          18          23          24          25

           9          13          18          20          23          26

           9          15          18          21          25          26

          11          12          18          22          24          26

          11          13          18          22          23          26

          11          17          20          22          23          24

          11          17          21          22          23          25

          11          18          19          20          22          25

          11          18          21          23          24          25

          11          18          22          23          24          26

          11          19          22          24          25          26

          12          13          18          22          24          26

          12          15          18          22          24          26

          12          15          18          23          24          25

          12          17          18          22          24          26

          12          18          19          22          24          26

          12          18          21          22          24          26

          12          18          21          23          24          25

          12          18          22          23          24          26

          12          18          22          24          25          26

          12          19          20          21          23          26

          12          19          22          24          25          26

          13          16          19          24          25          26

          13          19          22          24          25          26

I didn't want to resort to a program, (just as the Olympiad youth had no access to such a resource) so I did the logical thing - experimented. As I added another weight I scratched out all the sums covered by the 2,3,4 weights I had selected. The list of sums rapidly filled-in for most sets of selected weights. (There are 63 possible subsets: 6 singletons, 15 pairs, 20, 15, 6, & 1 full sum... from binomial coefficients: 6 chose k<6. After trying to strategize, I got feed-up, threw up my hands and just programmed it. Clearly large weights help for unique sums. 

My guess for showing that 7 is impossible is to show how the list of sums always completely fills. (It may be wise to start adding the heaviest weights first). While building the list of weights, all sums come back to exclude many of the remaining possibilities. In dealing with sums of sums, I catch a whiff of the Fibonacci sequence as possibly being part of an erudite proof....   

Edited on January 23, 2019, 12:55 pm
  Posted by Steven Lord on 2019-01-23 11:54:08

Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (5)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2019 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information