All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Average Of Digits of powers (Posted on 2020-08-20) Difficulty: 3 of 5
Let AOD(i) be the sum of digits of i divided by the number of digits of i, or the Average Of Digits.

N is the smallest integer > 1 such that the AOD(N^k) is the same for k in {1,2,3,4}

M has the same requirements as N, except AOD(M) must be an integer.

L has the same requirements as M, except that L is the smallest such integer with AOD(L) equal to some integer other than AOD(M).

Find:

1. N, AOD(N)

2. M, AOD(M)

3. L, AOD(L)

No Solution Yet Submitted by Larry    
Rating: 3.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solution | Comment 2 of 7 |
    4   kill "aod.txt"
    5   N=1:open "aod.txt" for output as #2
   10   repeat
   20    N=N+1
   30    A=fnAod(N):if A=fnAod(N*N) then
   40     :if A=fnAod(N*N*N) then
   50      :if A=fnAod(N*N*N*N) then
   60        :print N,A:print #2,N,A,N*N,N*N*N,N*N*N*N
   70   until 0
  999   end
 1000   fnAod(X)
 1010     local T,I,Xs$
 1015     Xs$=cutspc(str(X)):T=0
 1020     for I=1 to len(Xs$)
 1030       T=T+val(mid(Xs$,I,1))
 1040     next
 1050    return(T/len(Xs$))

finds that M = N as the first such average is in fact an integer: 801 and its powers to 4 each have an average digit of 3.

The findings are shown below, with the number, the average of its digits, and the number's square, cube and fourth power given, each of whose digits average the same as the number itself. The program was stopped and the file closed manually when an integral average was noticed, as it has an infinite loop.

The next one with integral average, L, is 571,050, whose average is 3 and whose line on the below table is

 571050   3.0   326098102500   186218321432625000   106339972454100506250000 

The integral average that caught my eye, to stop the program was in fact the seventh. All have average equal to 3.

 801   3.0   641601   513922401   411651843201 
 7092   4.5   50296464   356702522688   2529734290903296 
 7362   4.5   54199044   399013361928   2937536370513936 
 8010   2.25   64160100   513922401000   4116518432010000 
 8064   4.5   65028096   524386566144   4228653269385216 
 8118   4.5   65901924   534991819032   4343063586901776 
 8532   4.5   72795024   621087144768   5299115519160576 
 9261   4.5   85766121   794280046581   7355827511386641 
 57105   3.6   3260981025   186218321432625   10633997245410050625 
 57366   5.4   3290857956   188783357503896   10829746086568497936 
 58005   3.6   3364580025   195162464350125   11320398744629000625 
 59004   3.6   3481472016   205420774832064   12120647398191104256 
 60291   3.6   3635004681   219158067222171   13213259030891911761 
 63621   3.6   4047631641   257514372632061   16383321901224352881 
 64566   5.4   4168768356   269160697673496   17378629605986942736 
 68382   5.4   4676097924   319760928238968   21865891794837109776 
 70920   3.6   5029646400   356702522688000   25297342909032960000 
 71505   3.6   5112965025   365602564112625   26142411346873250625 
 73620   3.6   5419904400   399013361928000   29375363705139360000 
 75006   3.6   5625900036   421976258100216   31650751215064801296 
 75051   3.6   5632652601   422736210357651   31726775323552065201 
 76275   5.4   5817875625   443758463296875   33847676787969140625 
 80064   3.6   6410244096   513229783302144   41091229370302857216 
 80100   1.8   6416010000   513922401000000   41165184320100000000 
 80640   3.6   6502809600   524386566144000   42286532693852160000 
 81180   3.6   6590192400   534991819032000   43430635869017760000 
 83772   5.4   7017747984   587890784115648   49248786766936064256 
 85320   3.6   7279502400   621087144768000   52991155191605760000 
 85608   5.4   7328729664   627397889075712   53710278487993552896 
 86832   5.4   7539796224   654695585722368   56848527099444658176 
 87228   5.4   7608723984   663693775676352   57892680664696832256 
 87372   5.4   7633866384   666986173702848   58275915968765235456 
 89253   5.4   7966098009   710998145597277   63458717488993764081 
 90135   3.6   8124318225   732285423210375   66004546621067150625 
 91359   5.4   8346466881   762524867781279   69663509395629868161 
 91701   3.6   8409073401   771120439945101   70712515463405706801 
 92610   3.6   8576612100   794280046581000   73558275113866410000 
 93942   5.4   8825099364   829047484452888   77882378784473204496 
 94536   5.4   8937055296   844873459462656   79870957363761647616 
 96273   5.4   9268490529   892305388698417   85904916686162699841 
 98172   5.4   9637741584   946156366784448   92886062839962829056 
 99414   5.4   9883143396   982522817569944   97676523385898412816 
 99513   5.4   9902837169   985461035198697   98066183995727934561 
 564228   4.5   318353235984   179623809632780352   101348782861484392448256 
 564309   4.5   318444647481   179701180575355629   101406993509298359645361 
 564552   4.5   318718960704   179933426703364608   101581775912237896175616 
 564705   4.5   318891737025   180079758356702625   101691939942821755850625 
 565308   4.5   319573134864   180657249723698112   102126988526804332298496 
 566406   4.5   320815756836   181711969566451416   102922749834255480730896 
 566424   4.5   320836147776   181729294167873024   102935833719743309746176 
 567036   4.5   321529825296   182318986016542656   103381428554876281487616 
 568413   4.5   323093338569   183650453856020997   104389305427662462967761 
 569214   4.5   324004577796   184427941745572344   104978966432764216217616 
 570519   4.5   325491929361   185699330047108359   105944996079146213868321 
 570834   4.5   325851455556   186007089780853704   106179171087963843269136 
 570906   4.5   325933660836   186077482573237416   106232751265956680218896 
 571050   3.0   326098102500   186218321432625000   106339972454100506250000 
 571095   4.5   326149499025   186262348145682375   106373495714258475950625 
 571572   4.5   326694551184   186729458009341248   106729329773315195801856 
 571635   4.5   326766573225   186791210085472875   106776393377209286900625 
 573660   4.5   329085795600   188783357503896000   108297460865684979360000 
 574146   4.5   329643629316   189263571197264136   108664922348624414627856 
 574362   4.5   329891707044   189477260641205928   108828538376404319217936 
 576612   4.5   332481398544   191712764177252928   110543880377774165319936 
 578124   4.5   334227359376   193224857911890624   111707927755453855109376 
 578322   4.5   334456335684   193423456965442248   111861040479168491747856 
 579222   4.5   335498125284   194327895123249048   112558992069078560080656 
 580050   3.0   336458002500   195162464350125000   113203987446290006250000 
 580806   4.5   337335609636   195926546090246616   113795313528491776052496 
 581355   4.5   337973636025   196482663171313875   114226178647959177800625 
 581445   4.5   338078288025   196573930180696125   114296928833914858400625 
 582156   4.5   338905608336   197295933326452416   114857011361594232688896 
 582624   4.5   339450725376   197772139421466624   115226794958292570341376 
 583317   4.5   340258722489   198478697226116013   115775998229846314355121 
 584712   4.5   341888122944   199906088142832128   116887488610171659227136 
 587106   4.5   344693455236   202371595729787016   118813578082532335815696 
 589221   4.5   347181386841   204566563935840861   120534915368840087959281 
 590040   3.0   348147201600   205420774832064000   121206473981911042560000 
 590094   4.5   348210928836   205477179840550584   121250850960829856314896 
 590292   4.5   348444645264   205684086542177088   121413670813154797629696 
 590517   4.5   348710327289   205919376339718413   121598892358001498089521 
 592029   4.5   350498336841   207505179861640389   122849084128307097859281 
 592092   4.5   350572936464   207571431096842688   122901383780991780823296 
 592533   4.5   351095356089   208035584629483437   123267949067261709375921 
 593352   4.5   352066595904   208899418812830208   123950887951430429577216 
 594108   4.5   352964315664   209698923650507712   124583808132155835760896 
 595026   4.5   354055940676   210672490156677576   125355609127967231336976 
 595044   4.5   354077361936   210691609755845184   125370778235557141668096 
 596214   4.5   355471133796   211936866565048344   126359726962213733369616 
 602910   3.0   363500468100   219158067222171000   132132590308919117610000 
 602937   4.5   363533025969   219187512078670953   132156260970177628388961 
 603396   4.5   364086732816   219688478234243136   132559149012629371289856 
 603558   4.5   364282259364   219865471897217112   132701564487340565684496 
 604665   4.5   365619762225   221077473525779625   133677810529465536950625 
 605736   4.5   366916101696   222254291776928256   134627425683789414076416 
 608337   4.5   370073905569   225129649492128753   136954695583093129213761 
 608364   4.5   370106756496   225159626808932544   136979011203989438198016 
 608472   4.5   370238174784   225279562687170048   137076306067387733446656 
 609048   4.5   370939466304   225919940073518592   137596087661896351420416 
 609462   4.5   371443929444   226380960126799128   137970592720799250149136 
 611298   4.5   373685244804   228433042778195592   139640662184225408998416 
 611397   4.5   373806291609   228544045270867773   139731143646472743808881 
 611478   4.5   373905344484   228634892234387352   139805206633698709226256 
 612396   4.5   375028860816   229666174248275136   140646646444946700185856 
 613458   4.5   376330717764   230863089458067912   141624809132767425159696 
 613746   4.5   376684152516   231188391870084936   141890950756697149130256 
 613782   4.5   376728343524   231229076144847768   141924244814336952738576 
 614448   4.5   377546344704   231982596410683392   142541242399351588847616 
 614691   4.5   377845025481   232257936557941371   142766863280737539281361 
 616842   4.5   380494052964   234704712618419688   144775724340971237185296 
 617337   4.5   381104971569   235270199833491753   145240999354608298321761 
 617409   4.5   381193873281   235352528108548929   145308769026971085704961 
 617463   4.5   381260556369   235414286917271847   145359611842799426464161 
 617526   4.5   381338360676   235486352514807576   145418945323059063176976 
 617823   4.5   381705259329   235826288434420767   145698904999419141530241 
 618426   4.5   382450717476   236517467405812776   146268551297907171810576 
 618642   4.5   382717924164   236765382040665288   146473009476401255098896 
 619425   4.5   383687330625   237665524772390625   147215967682138062890625 
 620289   4.5   384758443521   238661430173197569   148039059860702546877441 
 621297   4.5   386009962209   239826831490565073   149003690924593608159681 
 621945   4.5   386815583025   240578017784483625   149626295270970668150625 
 621981   4.5   386860364361   240619796285619141   149660941513525678938321 
 623916   4.5   389271175056   242872514456239296   151532047729478996603136 
 623961   4.5   389327329521   242925069855252681   151575769511953318089441 
 624537   4.5   390046464369   243598448717622153   152136244366757586568161 
 624816   4.5   390395033856   243925063473770496   152408282459427386228736 
 625284   4.5   390980080656   244473588752906304   152865423469772265390336 
 625662   4.5   391452938244   244917228247617528   153235402859860877803536 
 626283   4.5   392230396089   245647229153807187   153844683616133826495921 
 627246   4.5   393437544516   246782126047482936   154793101434779481674256 
 628443   4.5   394940604249   248197658156054307   155978080884565236854001 
 629136   4.5   395812106496   249019645432467456   156667223648800845398016 
 630369   4.5   397365076161   250486625694533409   157899003752437330497921 
 630738   4.5   397830424644   250926766379107272   158269046772425362526736 
 631278   4.5   398511913284   251571803594096952   158811745029274335664656 
 632826   4.5   400468746276   253427034830855976   160375216743871263868176 
 633861   4.5   401779767321   254672525093856381   161426981428516899517041 
 635904   4.5   404373897216   257142978735243264   163518248749656132550656 
 636174   4.5   404717358276   257470660683876024   163796140089904145692176 
 636210   3.0   404763164100   257514372632061000   163833219012243528810000 
 636462   4.5   405083877444   257820494805763128   164092947765065611973136 
 636633   4.5   405301576689   258028358672248137   164269368066589348202721 
 637308   4.5   406161486864   258849964870322112   164967153411575244554496 
 638118   4.5   407194581924   259838192228179032   165807427548261147541776 
 638442   4.5   407608187364   260234186357046888   166144434406165729268496 
 638712   4.5   407953018944   260564488635760128   166425665665523622875136 
 639126   4.5   408482043876   261071494774292376   166857580169114389103376 
 639135   4.5   408493548225   261082523944785375   166866978941450400650625 
 640917   4.5   410774600889   263272424877975213   168735772735517239590321 
 641088   4.5   410993823744   263483208476393472   168915923155714138177536 
 641457   4.5   411467082849   263938440563070993   169305160268265829956801 
 641781   4.5   411882851961   264338588614382541   169647483739527041545521 
 641808   4.5   411917508864   264371952528986112   169676034108723518570496 
 642645   4.5   412992596025   265407626872486125   170562884371468845800625 
 642933   4.5   413362842489   265764612409980237   170868839550585823715121 
 642951   4.5   413385988401   265786934628411351   170887975406271706536801 
 643653   4.5   414289184409   266658476412406077   171635528318274408679281 
 643734   4.5   414393462756   266759161353770904   171721941974908359115536 
 644085   4.5   414845487225   267195755639314125   172096778270947638200625 
 644805   4.5   415773488025   268092823945960125   172867593344474818400625 
 645174   4.5   416249490276   268553348639328024   173263638155029818556176 
 645453   4.5   416609575209   268901900147374677   173563538155823427393681 
 645624   4.5   416830349376   269115677485530624   173747540160918223589376 
 645660   4.5   416876835600   269160697673496000   173786296059869427360000 
 646281   4.5   417679130961   269938086436606041   174455856440336188783521 
 648009   4.5   419915664081   272109129565464729   176329164940587233574561 
 650259   4.5   422836767081   274953413325323979   178790931595511845260561 
 650268   4.5   422848471824   274964830076048832   178800830123892121886976 
 652068   4.5   425192676624   277254538260858432   180788812254681436037376 
 653616   4.5   427213875456   279233824420048896   182511695382134679207936 
 653805   4.5   427460978025   279476124737635125   182722887734089532900625 
 654435   4.5   428285169225   280284804721762875   183428186178086887100625 
 655812   4.5   430089379344   282057776046347328   184976874224507133870336 
 656037   4.5   430384545369   282348185990242653   185230856892480819346161 
 656316   4.5   430750691856   282708571076162496   185546158534422664724736 
 657243   4.5   431968361049   283908181520927907   186596664947359220380401 
 657342   4.5   432098504964   284036495450045688   186709117992123932641296 
 657621   4.5   432465379641   284398315424894061   187026304588034257288881 
 659133   4.5   434456311689   286364492092505637   188752286766409518032721 
 659304   4.5   434681764416   286587426006526464   188948236315806923821056 
 660744   4.5   436582633536   288469355613110784   190604395905229271863296 
 660843   4.5   436713470649   288599040084097107   190718655446294984481201 
 661275   4.5   437284625625   289165390810171875   191217843807996406640625 
 661293   4.5   437308431849   289189004822720757   191238664566231477558801 
 662067   4.5   438332712489   290205623959454763   192135566837964336575121 
 662733   4.5   439215029289   291082294005786837   192909841953337127845521 
 663714   4.5   440516273796   292376818146238344   194054587479112436249616 
 664803   4.5   441963028809   293818347441309627   195331318834024963958481 
 665217   4.5   442513657089   294367607427773313   195818336710281079953921 
 665343   4.5   442681307649   294534909275108607   195966740141828585907201 
 665352   4.5   442693283904   294546861832094208   195977343613707545481216 
 665505   4.5   442896905025   294750104778662625   196157668480723870250625 
 665523   4.5   442920863529   294774021858410667   196178891349275042333841 
 666252   4.5   443891727504   295743751232995008   197039865746485390070016 
 668115   4.5   446377653225   298231605784420875   199253009298658352900625 
 669024   4.5   447593112576   299450534548045824   200339594425471809355776 
 670158   4.5   449111744964   300975828781584312   201701359464608979361296 
 670428   4.5   449473703184   301339755878242752   202026609853938531737856 
 670545   4.5   449630597025   301497548682128625   202167673781057938850625 
 671148   4.5   450439637904   302311662099993792   202895867395086633513216 
 672129   4.5   451757392641   303639244558402689   204084741805794640954881 
 672426   4.5   452156725476   304041938284924776   204445704393178827426576 
 674244   4.5   454604971536   306514674428318784   206665680145247370199296 
 674415   4.5   454835592225   306747945930423375   206875415954666480450625 
 675243   4.5   455953109049   307879145213573907   207893237651449285684401 
 675306   4.5   456038193636   307965328391552616   207970834054785830900496 
 675414   4.5   456184071396   308113108397857944   208103906995430825388816 
 675513   4.5   456317813169   308248614927230697   208225946615338389822561 
 675621   4.5   456463735641   308396485537508061   208359141955336733680881 
 676107   4.5   457120675449   309062488515797043   208959311922949991351601 
 676341   4.5   457437148281   309383498305519821   209248744627453581254961 
 680184   4.5   462650273856   314687313872469504   214045275899031797108736 
 680373   4.5   462907419129   314949709475055117   214283278684671675118641 
 680517   4.5   463103387289   315149727807748413   214464747318545526769521 
 681264   4.5   464120637696   316188682119327744   215407966335341696188416 
 681372   4.5   464267802384   316339081045990848   215544592330468876083456 
 683532   4.5   467215995024   319357083510744768   218290786006266392760576 
 683604   4.5   467314428816   319458012796332864   218382775379624331161856 
 683820   4.5   467609792400   319760928238968000   218658917948371097760000 
 684162   4.5   468077642244   320240935872939528   219096679168702053355536 
 684306   4.5   468274701636   320443187977724616   219281196192284821076496 
 687042   4.5   472026709764   324302174729678088   222809214730627492935696 
 688014   4.5   473363264196   325680552852546744   224072779890292095526416 
 690066   4.5   476191084356   328603276817207496   226757948820143107934736 
 690309   4.5   476526515481   328950542375173629   227077519956463732661361 
 690381   4.5   476625925161   329053482838576341   227172272535579172875921 
 690732   4.5   477110695824   329555625147903168   227634616069661451038976 
 690831   4.5   477247470561   329697347335126191   227765148156872561654721 
 690921   4.5   477371828241   329826220940099961   227883862398154805154081 
 692361   4.5   479363754321   331892768305441881   229789608956724046171041 
 693216   4.5   480548422656   333123855359901696   230926786517169614094336 
 693342   4.5   480723128964   333305535682157688   231094726720938575713296 
 694215   4.5   481934466225   334566135470388375   232260829735575665750625 
 694521   4.5   482359419441   335008746349582761   232670609523458568752481 
 695232   4.5   483347533824   336038672635527168   233624838453742824062976 
 696213   4.5   484712541369   337463172564135597   234946247760394536394161 
 697023   4.5   485841062529   338642394927151167   236041538039307687875841 
 699111   4.5   488756190321   341694828971504631   238882613577097574083041 
 702549   4.5   493575097401   346760691103975149   243616376774406636954801 
 702864   4.5   494017802496   347227328733548544   244053589182976863830016 
 704574   4.5   496424521476   349767810794431224   246437305522675585218576 
 704637   4.5   496513301769   349861643418602853   246525458833554058529361 
 706239   4.5   498773525121   352253315607929919   248775029361628818064641 
 706365   4.5   498951513225   352441885639177125   248952612549517349900625 
 706428   4.5   499040519184   352536195886114752   249041439787436272025856 
 706626   4.5   499320303876   352832709046682376   249320765862820980623376 
 706725   4.5   499460225625   352981027954828125   249460516981375906640625 
 707328   4.5   500312899584   353885322636951552   250312997490149667373056 
 707643   4.5   500758615449   354358328912176707   250759190946399461471601 
 708192   4.5   501535908864   355183718370213888   251538267880038513770496 
 709200   3.0   502964640000   356702522688000000   252973429090329600000000 
 709641   4.5   503590348881   357368358770261721   253603239486087297952161 
 710892   4.5   505367435664   359261667074052288   255396245029607179120896 
 711648   4.5   506442875904   360409059751329792   256484386553914343817216 
 711684   4.5   506494115856   360463758348861504   256536289396751150612736 
 712197   4.5   507224566809   361243814807669373   257276761174577704442481 


  Posted by Charlie on 2020-08-20 21:38:52
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (14)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2024 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information