All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Just Math
Reciprocal Equation #6 (Posted on 2021-02-28) Difficulty: 4 of 5
x, y, and z are each nonzero integers.

Which triplets (x,y,z) satisfy the equaiton 1/x + 2/y + 3/z = 1?

No Solution Yet Submitted by Brian Smith    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solution | Comment 2 of 3 |
clc
max=300;
   for a=-1:2:1
       for b=-1:2:1
   for x=1:max
       for y=1:max
           g1=gcd(x,y); 
           if (1-a/x-2*b/y) ~=0
            z0=3/(1-a/x-2*b/y);
            for z=floor(z0):ceil(z0)
               if z~=0
               g=gcd(g1,abs(z));
               if a*g/x+2*b*g/y+3*g/z==g
                  disp([a*x b*y z]) 
               end
               end
            end
           end
       end
   end
            fprintf('\n')
       end
  end
    
  
If both x and y are negative:

     x     y     z
    
    -1    -2     1
    -3   -12     2
    -4    -8     2
    -6    -6     2
   -10    -5     2

If x is negative and y is positive, the list could go on forever, limited here by the 300 limit imposed by the program:

    -1     2     3
    -1     4     2
    -2     1    -6
    -2     2     6
    -2     4     3
    -3     2     9
    -3     6     3
    -4     1    -4
    -4     2    12
    -4     4     4
    -4     8     3
    -5     2    15
    -5    10     3
    -6     2    18
    -6     3     6
    -6    12     3
    -7     2    21
    -7    14     3
    -8     2    24
    -8    16     3
    -9     2    27
    -9    18     3
   -10     2    30
   -10     4     5
   -10    20     3
   -11     2    33
   -11    22     3
   -12     2    36
   -12     6     4
   -12    24     3
   -13     2    39
   -13    26     3
 
   . . .
  
  -144     2   432
  -144   288     3
  -145     2   435
  -145   290     3
  -146     2   438
  -146   292     3
  -147     2   441
  -147   294     3
  -148     2   444
  -148   296     3
  -149     2   447
  -149   298     3
  -150     2   450
  -150   300     3
  -151     2   453
  -152     2   456
  -153     2   459
  -154     2   462
  -155     2   465
  -156     2   468
  -157     2   471
  -158     2   474
  -159     2   477
  -160     2   480
  -161     2   483
  -162     2   486
  -163     2   489
  -164     2   492
  -165     2   495
  
  . . .
  
  -289     2   867
  -290     2   870
  -291     2   873
  -292     2   876
  -293     2   879
  -294     2   882
  -295     2   885
  -296     2   888
  -297     2   891
  -298     2   894
  -299     2   897
  -300     2   900
  
  
Likewise with x positive and y negative:

     1    -2     3
     1    -4     6
     1    -6     9
     1    -8    12
     1   -10    15
     1   -12    18
     1   -14    21
     1   -16    24
     1   -18    27
     1   -20    30
     1   -22    33
     1   -24    36
     1   -26    39
   . . .
     1  -286   429
     1  -288   432
     1  -290   435
     1  -292   438
     1  -294   441
     1  -296   444
     1  -298   447
     1  -300   450
     2    -2     2
     2    -4     3
     2    -8     4
     2   -20     5
     3    -6     3
     3   -24     4
     4    -8     3
     5   -10     3
     6    -3     2
     6   -12     3
     7   -14     3
     8   -16     3
     9   -18     3
    10   -20     3
    11   -22     3
    12   -24     3
    13   -26     3
    14   -28     3
    . . .
   144  -288     3
   145  -290     3
   146  -292     3
   147  -294     3
   148  -296     3
   149  -298     3
   150  -300     3
   
With x and y positive:  

Note, only negative z values have fallen into the ellipses that prevent the list from being too large. The list with only positive x, y and z seems to be finite.

     1     2    -3
     1     4    -6
     1     6    -9
     1     8   -12
     1    10   -15
   .  .  .
     1   266  -399
     1   272  -408
     1   274  -411
     1   276  -414
     1   278  -417
     1   280  -420
     1   284  -426
     1   286  -429
     1   288  -432
     1   290  -435
     1   292  -438
     1   294  -441
     1   296  -444
     1   298  -447
     2     1    -2
     2     2    -6
     2     5    30
     2     7    14
     2     8    12
     2    10    10
     2    12     9
     2    16     8
     2    28     7
     3     2    -9
     3     6     9
     3    12     6
     3    30     5
     4     2   -12
     4     3    36
     4     4    12
     4     8     6
     5     2   -15
     5     4    10
     5    10     5
     5    40     4
     6     2   -18
     6     3    18
     6     4     9
     6     6     6
     6    24     4
     7     2   -21
     8     2   -24
     8     4     8
     8    16     4
     9     2   -27
    10     2   -30
    10     5     6
    12     3    12
    12    12     4
    13     2   -39
    14     2   -42
    14     4     7
    15     2   -45
    15     6     5
    16     2   -48
    17     2   -51
    18     2   -54
    19     2   -57
    20     2   -60
    20    10     4
    21     2   -63
    22     2   -66
    23     2   -69
    24     2   -72
    25     2   -75
    26     2   -78
    27     2   -81
    28     2   -84
    29     2   -87
    30     2   -90
    30     3    10
    31     2   -93
    32     2   -96
    33     2   -99
    36     9     4
    37     2  -111
    38     2  -114
    41     2  -123
    43     2  -129
    44     2  -132
    46     2  -138
    .  .  .
   288     2  -864
   289     2  -867
   291     2  -873
   293     2  -879
   295     2  -885
   297     2  -891
   298     2  -894
   299     2  -897
   300     2  -900
   
   
Separated out, the solutions with all of x, y and z positive are:

     2     5    30
     2     7    14
     2     8    12
     2    10    10
     2    12     9
     2    16     8
     2    28     7
     3     6     9
     3    12     6
     3    30     5
     4     3    36
     4     4    12
     4     8     6
     5     4    10
     5    10     5
     5    40     4
     6     3    18
     6     4     9
     6     6     6
     6    24     4
     8     4     8
     8    16     4
    10     5     6
    12     3    12
    12    12     4
    14     4     7
    15     6     5
    20    10     4
    30     3    10
    36     9     4

  Posted by Charlie on 2021-02-28 09:41:41
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (9)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2024 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information