All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Arithmetic Derivative (Posted on 2022-06-10) Difficulty: 4 of 5
Consider the following (simplified) definition of the "Arithmetic Derivative" for n in positive integers:
D(0) = D(1) = 0
D(prime) = 1
D(ab) = D(a)*b + D(b)*a

Examples:
D(7) = 1 because 7 is prime.
D(30) = D(5*6) = D(5)*6 + 5*D(6) = 1*6 + 5*D(2*3)
= 6 + 5*[D(2)*3+2*D(3)] = 6 + 5*5 = 31, so ...
D(30) = 31
D(58) = 31 (More than one integer can have the same Arithmetic Derivative.)

(1). Find n and D(n) (n up to 5 digits) such that D(n) is the largest.
(2). Find n and D(n) (n up to 5 digits and not prime) such that the ratio D(n)/n is the largest.
(3). Which 4-digit Palindrome is the Arithmetic Derivative of the most 4-digit positive integers, and list them.
(4). For what set of n is n = D(n)

No Solution Yet Submitted by Larry    
Rating: 5.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
part (3) expanded to 5-digit n | Comment 2 of 7 |
(In reply to computer solution by Charlie)

In case anyone is interested in the palindromic D values for all n's up to 99999 (in addition to those below 9999 that were asked for). The numbers below are for palindromic D values other than 1, thus excluding the primes. Each line has n, D(n) and the number of times that D value appears on the list.

In this case 636  is the palindromic D value that occurs the most times for n<=99999: 29 times.
        
           n         D(n)       number of occurrences of this D
           4           4           1
           6           5           1
           9           6           1
          10           7           1
          14           9           1
          15           8           1
          24          44           4
          57          22           3
          62          33           1
          75          55           2
          85          22           3
          96         272           9
          98          77           1
         106          55           2
         114         101           2
         121          22           3
         123          44           4
         130         101           2
         136         212           7
         138         121           1
         153         111           2
         174         151           4
         182         131           2
         186         161           1
         194          99           1
         196         252          17
         218         111           2
         222         191           4
         230         171           1
         231         131           2
         255         151           4
         259          44           4
         268         272           9
         273         151           4
         278         141           1
         286         191           4
         298         151           4
         305          66           6
         357         191           4
         358         181           1
         364         444          22
         396         696          21
         403          44           4
         413          66           6
         415          88           4
         455         191           4
         495         474          24
         531         363           2
         532         636          29
         546         575           2
         550         545           2
         574         383           3
         576        2112           7
         597         202           9
         615         343           2
         622         313           1
         652         656          11
         662         333           1
         687         232           7
         689          66           6
         692         696          21
         717         242           8
         726         737           2
         741         343           2
         807         272           9
         826         545           2
         844         848           8
         870         929           1
         893          66           6
         902         555           2
         985         202           9
         986         585           1
         989          66           6
        1006         505           1
        1010         717           1
        1014        1001           2
        1015         383           3
        1046         525           1
        1073          66           6
        1126         565           1
        1135         232           7
        1184        2992           3
        1186         595           1
        1194        1001           2
        1203         404          11
        1207          88           4
        1209         535           1
        1258         737           2
        1263         424          12
        1285         262           9
        1293         434          13
        1309         383           3
        1314        1551           5
        1325         555           2
        1331         363           2
        1335         727           2
        1370         969           2
        1383         464          12
        1385         282          16
        1473         494          13
        1677         727           2
        1695         919           1
        1711          88           4
        1730        1221           2
        1814         909           1
        1839         616          19
        1874         939           2
        1894         949           1
        1927          88           4
        1929         646          14
        1934         969           2
        1936        4224           5
        1954         979           1
        1959         656          11
        1986        1661           2
        1994         999           3
        2019         676          12
        2045         414          21
        2049         686          10
        2055        1111           5
        2095         424          12
        2101         202           9
        2118        1771           1
        2135         767           3
        2162        1221           2
        2195         444          22
        2218        1111           5
        2245         454          12
        2261         575           2
        2289        1111           5
        2303         707           1
        2313        1551           5
        2321         222          11
        2337         959           1
        2382        1991          16
        2385        2112           7
        2395         484          14
        2587         212           7
        2613        1111           5
        2635         767           3
        2651         252          17
        2703        1111           5
        2751        1331           2
        2761         262           9
        2779         404          11
        2830        1991          16
        2834        1661           2
        2878        1441           1
        2977         242           8
        2981         282          16
        3005         606          27
        3090        3223           4
        3091         292           8
        3098        1551           5
        3107         252          17
        3155         636          29
        3199         464          12
        3205         646          14
        3245         999           3
        3269         474          24
        3305         666          22
        3324        4444           2
        3406        1991          16
        3409         494          13
        3455         696          21
        3497         282          16
        3502        1991          16
        3667         212           7
        3758        1881           1
        3887         767           3
        4072        6116           3
        4115         828          14
        4117         202           9
        4123         939           2
        4137        1991          16
        4193         606          27
        4235        2222           3
        4237         242           8
        4265         858          14
        4315         868           8
        4333         626          12
        4380        6776           4
        4408        6996           3
        4415         888          12
        4427         252          17
        4491        3003           5
        4577         222          11
        4613         666          22
        4650        5885           3
        4763         444          22
        4873         454          12
        4908        6556           3
        4947        1991          16
        4997         282          16
        5017         202           9
        5082        5885           3
        5093         474          24
        5213         414          21
        5217        1991          16
        5267         252          17
        5324        6776           4
        5423         999           3
        5473         434          13
        5497         262           9
        5597         222          11
        5603         444          22
        5611         212           7
        5677         818           7
        5690        3993           1
        5705        1991          16
        5747         828          14
        5760       25152           2
        5921         222          11
        5929        2772           5
        5964        8888           2
        5993         474          24
        5997        2002           4
        6002        3003           5
        6015        3223           4
        6076        8008           1
        6167         888          12
        6187         292           8
        6332        6336           3
        6442        3223           4
        6462        7557           2
        6467         252          17
        6492        8668           3
        6494        3663           2
        6541         242           8
        6643        1551           5
        6662        3333           1
        6749         414          21
        6757         262           9
        6772        6776           4
        6955        1991          16
        7421         222          11
        7471         272           9
        7505        1991          16
        7623        7557           2
        7627         292           8
        7647        2552           3
        7697         222          11
        7705        1991          16
        7709         606          27
        7710        7997           4
        7761        3223           4
        7762        3883           1
        7769         474          24
        7781         282          16
        7831         232           7
        7897         202           9
        7939         484          14
        7955        1991          16
        7969         626          12
        7977        2662           3
        8177        1331           2
        8349        4664           3
        8359         656          11
        8444        8448           2
        8489         666          22
        8557         242           8
        8637        2882           2
        8651         252          17
        8672       21712           1
        8730       12021           2
        8749         686          10
        8767         808           6
        8879         696          21
        8884        8888           2
        9010        7007           7
        9097         838           5
        9211         212           7
        9223         424          12
        9301         202           9
        9427         868           8
        9487         232           7
        9617         222          11
        9647         888          12
        9683         444          22
        9757         898           7
        9821        1991          16
        9847         272           9
        9881         282          16
        9913         454          12
        9922        7007           7
        9985        2002           4
       10005        6116           3
       10006        5005           1
       10057         202           9
       10143       10101           3
       10147         212           7
       10183         616          19
       10201         202           9
       10207         232           7
       10226        5115           4
       10277         282          16
       10291         292           8
       10310        7227           2
       10339        3003           5
       10406        7337           1
       10455        6446           1
       10523         636          29
       10547         252          17
       10603         484          14
       10666        5335           2
       10721         222          11
       10877         222          11
       10886        5445           1
       10944       40704           2
       11026        5885           3
       11041         242           8
       11152       23232           2
       11153         606          27
       11203         676          12
       11227         212           7
       11339        1551           5
       11374        7997           4
       11387         252          17
       11495        4994           2
       11533         626          12
       11537         222          11
       11560       21012           1
       11563         404          11
       11570        9119           5
       11651         252          17
       11723         636          29
       11744       29392           2
       11754       13731           4
       11873         414          21
       11994       10001           1
       12003        4004           1
       12032       48384           4
       12137         282          16
       12185        2442           3
       12234       10201           1
       12293         666          22
       12317         222          11
       12333        4114           2
       12360       25252           2
       12367         232           7
       12418        7997           4
       12470        9449           1
       12478        7007           7
       12594       10501           2
       12642       14441           3
       12667         292           8
       12705       10901           2
       12725        5115           4
       12789       12621           3
       12851         252          17
       12863         696          21
       12871         272           9
       12877         242           8
       12909        5335           2
       13039        1991          16
       13067         252          17
       13074       10901           2
       13157         282          16
       13231         232           7
       13285        2662           3
       13323        4444           2
       13326       11111          12
       13423         464          12
       13561         262           9
       13579         404          11
       13622       10801           2
       13630       10301           2
       13639         616          19
       13667         252          17
       13686       11411           2
       13733         474          24
       13747         292           8
       13787         828          14
       13835        2772           5
       13930       11811           2
       13935        7447           2
       13957         838           5
       14046       11711           8
       14053        1991          16
       14065        3443           3
       14088       25852           3
       14099         636          29
       14270        9999           3
       14286       11911           4
       14317         242           8
       14353         494          13
       14355       14241           2
       14402        7997           4
       14507         252          17
       14527         272           9
       14538       12121           2
       14559        5555           1
       14689         434          13
       14730       15251           8
       14789         666          22
       14808       27172           1
       14857         262           9
       14977         898           7
       14981         282          16
       15018       12521           2
       15019         676          12
       15247         272           9
       15251         252          17
       15258       12721           1
       15293         414          21
       15347         252          17
       15371         828          14
       15397         262           9
       15479         696          21
       15703         424          12
       15707         252          17
       15751         848           8
       15851        3003           5
       15941         858          14
       15972       25652           3
       15984       48384           4
       16072       29092           2
       16169        1991          16
       16268       21112           1
       16321         878           4
       16328       25852           3
       16517         282          16
       16696       25052           3
       16733         606          27
       16803       11211           2
       16837         262           9
       16909         494          13
       16920       40404           2
       17023         616          19
       17096       25652           3
       17161         262           9
       17177         282          16
       17184       48784           1
       17243         444          22
       17249         414          21
       17322       14441           3
       17560       29892           1
       17562       14641           2
       17603         636          29
       17660       21212           1
       17753         474          24
       17767         272           9
       17820       46764           2
       17893         646          14
       17895        9559           2
       18014        9009           1
       18057        7447           2
       18103         464          12
       18163         484          14
       18271        3443           3
       18281         282          16
       18294       15251           8
       18339        6116           3
       18376       27572           1
       18421        3003           5
       18437         282          16
       18454        9229           1
       18460       23832           1
       18533         474          24
       18534       15451           2
       18654       15551           8
       18659         444          22
       18674        9339           2
       18763         676          12
       18766       11111          12
       18802       13431           3
       18857         282          16
       18930       19591          10
       19014       15851           8
       19035       29592           1
       19082       13331           4
       19106       10101           3
       19114       10601           1
       19214       11111          12
       19291         292           8
       19328       67776           3
       19506       16261           1
       19522       10301           2
       19565        8668           3
       19626       16361           1
       19659        6556           3
       19774        9889           1
       19781         282          16
       19922       12821           4
       19986       16661           3
       20041        5775           2
       20133       13431           3
       20144       40304           1
       20198       10101           3
       20226       16861           1
       20227         292           8
       20346       16961           4
       20478       17071           3
       20583       13731           4
       20598       17171           3
       20649        6886           1
       20798       10401           1
       20942       11111          12
       20998       10501           2
       21053         606          27
       21095        4224           5
       21104       42224           1
       21198       17671           7
       21253         454          12
       21280       61616           1
       21460       27072           1
       21533         414          21
       21558       17971           1
       21598       10801           2
       21886       11711           8
       21902       11511           3
       21908       21912           1
       22034       12021           2
       22163         636          29
       22178       12821           4
       22305       11911           4
       22313         474          24
       22366       11711           8
       22402       12221           1
       22572       48384           4
       22579         404          11
       22586       12321           1
       22678       14441           3
       22742       11811           2
       22745        4554           2
       22753         434          13
       22843         484          14
       22882       12821           4
       22903         656          11
       22924       25052           3
       22930       16061           4
       22954       12521           2
       23013       15351           3
       23024       46064           1
       23056       48384           4
       23062       13331           4
       23138       12621           3
       23228       23232           2
       23249         414          21
       23262       19391           8
       23289       11111          12
       23363         444          22
       23428       23432           2
       23461         838           5
       23502       19591          10
       23582       13631          10
       23596       25052           3
       23702       15251           8
       23709       11311           2
       23818       11911           4
       23913       15951           3
       23930       16761           2
       24041         858          14
       24163         404          11
       24209         606          27
       24238       12121           2
       24331         868           8
       24338       12821           4
       24383         696          21
       24397         818           7
       24405       13031           7
       24466       14141           1
       24589         434          13
       24698       12921           2
       24707         828          14
       24911         888          12
       24962       16061           4
       25063         424          12
       25148       25152           2
       25238       12621           3
       25289        8228           2
       25330       19391           8
       25348       25352           2
       25499         636          29
       25637         858          14
       25838       12921           2
       26120       44444           2
       26220       42724           1
       26343       17571           3
       26359         656          11
       26413    &n
  Posted by Charlie on 2022-06-10 11:07:23
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (12)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2024 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information