You are given 21 3x1 rectangular pieces to cover an 8x8 chessboard. Since the board has 64 squares, which square on the chessboard must you cut out so that the 21 given pieces exactly cover the remaining 63 squares? Or it is impossible, no matter which square you remove?

There are 178 basic arrangements of the tiles, so that together with rotations and reflections there are 8 times this, or 1424. The "basic" ones considered, have the empty square in the third column of the third row, and have the piece that is covering the outer corner nearest this empty space placed horizontally. The reflection about the main diagonal would place that piece vertically. Rotations of 0, 90, 180 and 270 degrees clockwise constitute the four possible rotations for each of the two reflections (that is original plus its reflection).

aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd 
eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd 
gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm 
nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq nooopqqq nooopqrs nopppqqq nopppqrs nopqqqrs 
rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq nrrrpsss ntttpqrs norrrsss notttqrs noptttrs 
tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq ntttpuuu nuuupqrs notttuuu nouuuqrs nopuuurs 

aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd 
eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd 
gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmno ghlllmno ghlllmno ghlllmno ghlmmmno ghlmnnno ghlmnooo 
nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pppqrmno pqqqrmno pqrrrmno pqrstmno pqlrrrno pqlmrrro pqlmnrrr 
nopqttts nopqrttt nopqrstu sssqrmno psssrmno pqsssmno pqrstmno pqlsssno pqlmssso pqlmnsss 
nopquuus nopqruuu nopqrstu tttqruuu ptttruuu pqtttuuu pqrstuuu pqtttuuu pqtttuuu pqtttuuu 

aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd 
eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd 
gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh iiicd 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjkkklm ghjklllm ghjklmmm 
ghlmnooo ghlmnopq ghnnnklm ghnnnklm ghnnnklm ghnnnklm ghnopklm ghjnnnlm ghjknnnm ghjklnnn 
pqlmnrst rslmnopq ooopqklm opppqklm opqqqklm opqrsklm qrnopklm opjqqqlm opjkqqqm opjklqqq 
pqlmnrst rslmnopq rrrpqsss orrrqsss oprrrsss opqrsttt qrnopsss oprrrsss oprrrsss oprrrsss 
pquuurst rstttuuu tttpquuu otttquuu optttuuu opqrsuuu qrtttuuu optttuuu optttuuu optttuuu 

aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabbbcd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd 
eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefffcd eeefghcd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd 
gh iiicd gh iiicd gh iiicd gh ijkcd ij fghcd gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid 
ghjklmmm ghjklmmm ghjklmno ghlijkmn ijkfghlm ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghjklnnn ghjklnop ghjklmno ghlijkmn ijknnnlm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm 
opjklqrs qrjklnop pqjklmno oplqqqmn opkqqqlm nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq 
optttqrs qrsssnop pqrrrsss oprrrsss oprrrsss rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq 
opuuuqrs qrtttuuu pqtttuuu optttuuu optttuuu tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq 

aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd 
eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd 
gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmno ghlllmno 
nooopqqq nooopqrs nopppqqq nopppqrs nopqqqrs nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pppqrmno pqqqrmno 
nrrrpsss ntttpqrs norrrsss notttqrs noptttrs nopqttts nopqrttt nopqrstu sssqrmno psssrmno 
ntttpuuu nuuupqrs notttuuu nouuuqrs nopuuurs nopquuus nopqruuu nopqrstu tttqruuu ptttruuu 

aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd 
eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd 
gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm 
ghlllmno ghlllmno ghlmmmno ghlmnnno ghlmnooo ghlmnooo ghlmnopq ghnnnklm ghnnnklm ghnnnklm 
pqrrrmno pqrstmno pqlrrrno pqlmrrro pqlmnrrr pqlmnrst rslmnopq ooopqklm opppqklm opqqqklm 
pqsssmno pqrstmno pqlsssno pqlmssso pqlmnsss pqlmnrst rslmnopq rrrpqsss orrrqsss oprrrsss 
pqtttuuu pqrstuuu pqtttuuu pqtttuuu pqtttuuu pquuurst rstttuuu tttpquuu otttquuu optttuuu 

aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd aaabcccd 
eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfffd eeebfghd 
gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh biiid gh bijkd ij bfghd 
ghjjjklm ghjjjklm ghjkkklm ghjklllm ghjklmmm ghjklmmm ghjklmmm ghjklmno ghlmijkn ijklfghm 
ghnnnklm ghnopklm ghjnnnlm ghjknnnm ghjklnnn ghjklnnn ghjklnop ghjklmno ghlmijkn ijklnnnm 
opqrsklm qrnopklm opjqqqlm opjkqqqm opjklqqq opjklqrs qrjklnop pqjklmno oplmqqqn opklqqqm 
opqrsttt qrnopsss oprrrsss oprrrsss oprrrsss optttqrs qrsssnop pqrrrsss oprrrsss oprrrsss 
opqrsuuu qrtttuuu optttuuu optttuuu optttuuu opuuuqrs qrtttuuu pqtttuuu optttuuu optttuuu 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff 
gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm 
nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq nooopqqq nooopqrs nopppqqq nopppqrs nopqqqrs 
rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq nrrrpsss ntttpqrs norrrsss notttqrs noptttrs 
tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq ntttpuuu nuuupqrs notttuuu nouuuqrs nopuuurs 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff 
gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjkkk 
ghlllmmm ghlllmmm ghlllmmm ghlllmno ghlllmno ghlllmno ghlllmno ghlmmmno ghlmnnno ghlmnooo 
nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pppqrmno pqqqrmno pqrrrmno pqrstmno pqlrrrno pqlmrrro pqlmnrrr 
nopqttts nopqrttt nopqrstu sssqrmno psssrmno pqsssmno pqrstmno pqlsssno pqlmssso pqlmnsss 
nopquuus nopqruuu nopqrstu tttqruuu ptttruuu pqtttuuu pqrstuuu pqtttuuu pqtttuuu pqtttuuu 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff 
gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii gh bciii 
ghjjjkkk ghjjjkkk ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjjjklm ghjkkklm ghjklllm ghjklmmm 
ghlmnooo ghlmnopq ghnnnklm ghnnnklm ghnnnklm ghnnnklm ghnopklm ghjnnnlm ghjknnnm ghjklnnn 
pqlmnrst rslmnopq ooopqklm opppqklm opqqqklm opqrsklm qrnopklm opjqqqlm opjkqqqm opjklqqq 
pqlmnrst rslmnopq rrrpqsss orrrqsss oprrrsss opqrsttt qrnopsss oprrrsss oprrrsss oprrrsss 
pquuurst rstttuuu tttpquuu otttquuu optttuuu opqrsuuu qrtttuuu optttuuu optttuuu optttuuu 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff 
gh bciii gh bciii gh bciii gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk 
ghjklmmm ghjklmmm ghjklmno ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk 
ghjklnnn ghjklnop ghjklmno ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk 
opjklqrs qrjklnop pqjklmno nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq nooopqqq nooopqrs 
optttqrs qrsssnop pqrrrsss rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq nrrrpsss ntttpqrs 
opuuuqrs qrtttuuu pqtttuuu tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq ntttpuuu nuuupqrs 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff eeebcfff 
gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk gh bcijk 
ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlllijk ghlmnijk ghlmnijk 
ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmmmijk ghmnoijk ghmnoijk ghlmnijk ghlmnijk 
nopppqqq nopppqrs nopqqqrs nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pqmnorrr pqmnorst oplmnqqq oplmnqrs 
norrrsss notttqrs noptttrs nopqttts nopqrttt nopqrstu pqmnosss pqmnorst oprrrsss optttqrs 
notttuuu nouuuqrs nopuuurs nopquuus nopqruuu nopqrstu pqtttuuu pquuurst optttuuu opuuuqrs 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh 
ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh 
ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh 
ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm 
nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq nooopqqq nooopqrs nopppqqq nopppqrs nopqqqrs 
rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq nrrrpsss ntttpqrs norrrsss notttqrs noptttrs 
tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq ntttpuuu nuuupqrs notttuuu nouuuqrs nopuuurs 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd 
eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh 
ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh 
ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh ijkkkfgh 
ijlllmmm ijlllmmm ijlllmmm ijlllmno ijlllmno ijlllmno ijlllmno ijlmmmno ijlmnnno ijlmnooo 
nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pppqrmno pqqqrmno pqrrrmno pqrstmno pqlrrrno pqlmrrro pqlmnrrr 
nopqttts nopqrttt nopqrstu sssqrmno psssrmno pqsssmno pqrstmno pqlsssno pqlmssso pqlmnsss 
nopquuus nopqruuu nopqrstu tttqruuu ptttruuu pqtttuuu pqrstuuu pqtttuuu pqtttuuu pqtttuuu 

aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcddd aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef 
eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh eeebcfgh gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef 
ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh ij bcfgh hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef 
ijkkkfgh ijkkkfgh ijklmfgh ijklmfgh ijklmfgh hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk 
ijlmnooo ijlmnopq ijklmnnn ijklmnnn ijklmnop hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm 
pqlmnrst rslmnopq opklmqqq opklmqrs qrklmnop nnnooopq nnnopppq nnnopqqq nnnopqrs nooopppq 
pqlmnrst rslmnopq oprrrsss optttqrs qrsssnop rrrssspq rrrosssq rrropsss tttopqrs nrrrsssq 
pquuurst rstttuuu optttuuu opuuuqrs qrtttuuu tttuuupq tttouuuq tttopuuu uuuopqrs ntttuuuq 

aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef 
gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef 
hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef 
hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk 
hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmmm hilllmno hilllmno 
nooopqqq nooopqrs nopppqqq nopppqrs nopqqqrs nopqrrrs nopqrsss nopqrstu pppqrmno pqqqrmno 
nrrrpsss ntttpqrs norrrsss notttqrs noptttrs nopqttts nopqrttt nopqrstu sssqrmno psssrmno 
ntttpuuu nuuupqrs notttuuu nouuuqrs nopuuurs nopquuus nopqruuu nopqrstu tttqruuu ptttruuu 

aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef 
gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef 
hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef 
hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjkkk hijjjklm hijjjklm hijjjklm 
hilllmno hilllmno hilmmmno hilmnnno hilmnooo hilmnooo hilmnopq hinnnklm hinnnklm hinnnklm 
pqrrrmno pqrstmno pqlrrrno pqlmrrro pqlmnrrr pqlmnrst rslmnopq ooopqklm opppqklm opqqqklm 
pqsssmno pqrstmno pqlsssno pqlmssso pqlmnsss pqlmnrst rslmnopq rrrpqsss orrrqsss oprrrsss 
pqtttuuu pqrstuuu pqtttuuu pqtttuuu pqtttuuu pquuurst rstttuuu tttpquuu otttquuu optttuuu 

aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef aaabcdef   
gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef gggbcdef   
hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef hi bcdef   
hijjjklm hijjjklm hijkkklm hijklllm hijklmmm hijklmmm hijklmmm hijklmno   
hinnnklm hinopklm hijnnnlm hijknnnm hijklnnn hijklnnn hijklnop hijklmno   
opqrsklm qrnopklm opjqqqlm opjkqqqm opjklqqq opjklqrs qrjklnop pqjklmno   
opqrsttt qrnopsss oprrrsss oprrrsss oprrrsss optttqrs qrsssnop pqrrrsss   
opqrsuuu qrtttuuu optttuuu optttuuu optttuuu opuuuqrs qrtttuuu pqtttuuu   

 

Posted by Charlie on 2005-11-13 19:18:14