All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > General
Circumferential distances (Posted on 2006-05-21) Difficulty: 3 of 5
Place six points around a circle of circumference 27 such that every integral distance from 1 to 26 is represented as the circumferential distance between two of these points.

See The Solution Submitted by Jer    
Rating: 3.5000 (2 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solution Comment 2 of 2 |

There are 28 distinct solutions, that is, not rotations or reflections of one another:

We assume that one point is located at 0, and since at least one distance of 1 is required, another at 1.  All the solutions that satisfy this convention are:

0  1  2  5  13  22                      0  1  5  16  19  26
0  1  2  6  9  16                       0  1  5  17  19  25
0  1  2  6  10  13                      0  1  5  18  20  21
0  1  2  6  17  20                      0  1  6  8  11  15
0  1  2  7  16  24                      0  1  6  9  11  13
0  1  2  9  12  23                      0  1  6  14  18  25
0  1  2  13  20  23                     0  1  6  15  23  26
0  1  2  16  19  23                     0  1  6  16  20  25
0  1  3  5  11  18                      0  1  7  8  10  23
0  1  3  5  13  21                      0  1  7  8  12  25
0  1  3  5  14  20                      0  1  7  9  23  24
0  1  3  7  11  16                      0  1  7  15  23  25
0  1  3  7  12  20                      0  1  8  10  22  24
0  1  3  8  12  22                      0  1  8  11  13  17
0  1  3  8  14  18                      0  1  8  11  22  26
0  1  3  8  17  23                      0  1  8  12  14  17
0  1  3  9  11  23                      0  1  8  14  23  25
0  1  3  10  14  22                     0  1  8  16  21  25
0  1  3  13  19  23                     0  1  9  17  22  24
0  1  3  16  20  21                     0  1  10  13  21  23
0  1  4  5  11  13                      0  1  10  14  20  25
0  1  4  5  19  21                      0  1  10  17  23  25
0  1  4  6  11  19                      0  1  11  14  16  20
0  1  4  6  18  20                      0  1  11  15  17  20
0  1  4  8  10  15                      0  1  11  16  18  24
0  1  4  9  11  15                      0  1  12  17  21  25
0  1  4  10  12  17                     0  1  12  19  22  26
0  1  4  12  21  26                     0  1  13  17  19  24
0  1  5  7  15  18                      0  1  13  17  20  22
0  1  5  8  15  26                      0  1  13  18  20  24
0  1  5  9  12  26                      0  1  15  17  19  22
0  1  5  9  15  25                      0  1  15  17  23  24
0  1  5  11  20  25                     0  1  15  18  22  26

from
DEFINT A-Z
DIM tk(27)
CLS

p(1) = 0: p(2) = 1
FOR p3 = 2 TO 23
p(3) = p3
tk(p3) = 1

FOR p4 = p3 + 1 TO 24
p(4) = p4
IF tk(p4) = 0 THEN
tk(p4) = 1

FOR p5 = p4 + 1 TO 25
p(5) = p5
IF tk(p5) = 0 THEN
tk(p5) = 1

FOR p6 = p5 + 1 TO 26
p(6) = p6
IF tk(p6) = 0 THEN
  tk(p6) = 1

  REDIM dist(26)
  FOR a = 1 TO 5
  FOR b = a + 1 TO 6
    d = (p(b) - p(a)) MOD 27: IF d < 0 THEN d = d + 27
    dist(d) = 1
    d = (p(a) - p(b)) MOD 27: IF d < 0 THEN d = d + 27
    dist(d) = 1
  NEXT
  NEXT

  good = 1
  FOR d = 1 TO 26
    IF dist(d) = 0 THEN good = 0: EXIT FOR
  NEXT
  IF good THEN
   rw = ct MOD 33 + 1: cl = ct \ 33
   LOCATE rw, cl * 40 + 1
   FOR i = 1 TO 6
     PRINT p(i);
   NEXT
   ct = ct + 1
  END IF

  tk(p6) = 0
END IF
NEXT p6
END IF

tk(p5) = 0
NEXT
END IF

tk(p4) = 0
NEXT

tk(p3) = 0
NEXT

However, some of these are rotations and reflections of others.  To get a better handle on that, the following is a list of the spacing between successive points for each of the presented solutions:

1  1  3  8  9  5                        1  4  11  3  7  1
1  1  4  3  7  11                       1  4  12  2  6  2
1  1  4  4  3  14                       1  4  13  2  1  6
1  1  4  11  3  7                       1  5  2  3  4  12
1  1  5  9  8  3                        1  5  3  2  2  14
1  1  7  3  11  4                       1  5  8  4  7  2
1  1  11  7  3  4                       1  5  9  8  3  1
1  1  14  3  4  4                       1  5  10  4  5  2
1  2  2  6  7  9                        1  6  1  2  13  4
1  2  2  8  8  6                        1  6  1  4  13  2
1  2  2  9  6  7                        1  6  2  14  1  3
1  2  4  4  5  11                       1  6  8  8  2  2
1  2  4  5  8  7                        1  7  2  12  2  3
1  2  5  4  10  5                       1  7  3  2  4  10
1  2  5  6  4  9                        1  7  3  11  4  1
1  2  5  9  6  4                        1  7  4  2  3  10
1  2  6  2  12  4                       1  7  6  9  2  2
1  2  7  4  8  5                        1  7  8  5  4  2
1  2  10  6  4  4                       1  8  8  5  2  3
1  2  13  4  1  6                       1  9  3  8  2  4
1  3  1  6  2  14                       1  9  4  6  5  2
1  3  1  14  2  6                       1  9  7  6  2  2
1  3  2  5  8  8                        1  10  3  2  4  7
1  3  2  12  2  7                       1  10  4  2  3  7
1  3  4  2  5  12                       1  10  5  2  6  3
1  3  5  2  4  12                       1  11  5  4  4  2
1  3  6  2  5  10                       1  11  7  3  4  1
1  3  8  9  5  1                        1  12  4  2  5  3
1  4  2  8  3  9                        1  12  4  3  2  5
1  4  3  7  11  1                       1  12  5  2  4  3
1  4  4  3  14  1                       1  14  2  2  3  5
1  4  4  6  10  2                       1  14  2  6  1  3
1  4  6  9  5  2                        1  14  3  4  4  1

So for example 1 1 3 8 9 5 is the same as 1 3 8 9 5 1, and both 1 1 5 9 8 3 and 1 5 9 8 3 1 are the reversal of the first two.

If the rotations and reflections are eliminated, this becomes

1  1  3  8  9  5
1  1  4  3  7  11
1  1  4  4  3  14
1  1  4  11  3  7
1  2  2  6  7  9
1  2  2  8  8  6
1  2  2  9  6  7
1  2  4  4  5  11
1  2  4  5  8  7
1  2  5  4  10  5
1  2  5  6  4  9
1  2  5  9  6  4
1  2  6  2  12  4
1  2  7  4  8  5
1  2  10  6  4  4
1  2  13  4  1  6
1  3  1  6  2  14
1  3  2  5  8  8
1  3  2  12  2  7
1  3  4  2  5  12
1  3  5  2  4  12
1  3  6  2  5  10
1  4  2  8  3  9
1  4  13  2  1  6
1  5  2  3  4  12
1  5  3  2  2  14
1  7  3  2  4  10
1  7  4  2  3  10

for 28 unique solutions.

In terms of positions, this is:

0  1  2  5  13  22
0  1  2  6  9  16
0  1  2  6  10  13
0  1  2  6  17  20
0  1  3  5  11  18
0  1  3  5  13  21
0  1  3  5  14  20
0  1  3  7  11  16
0  1  3  7  12  20
0  1  3  8  12  22
0  1  3  8  14  18
0  1  3  8  17  23
0  1  3  9  11  23
0  1  3  10  14  22
0  1  3  13  19  23
0  1  3  16  20  21
0  1  4  5  11  13
0  1  4  6  11  19
0  1  4  6  18  20
0  1  4  8  10  15
0  1  4  9  11  15
0  1  4  10  12  17
0  1  5  7  15  18
0  1  5  18  20  21
0  1  6  8  11  15
0  1  6  9  11  13
0  1  8  11  13  17
0  1  8  12  14  17

The solution presented in Leming's comment 1 was the reversal of the spacing
1  2  5  9  6  4
or positioning
0  1  3  8  17  23

(Leming's spacing was 1 4 6 9 5 2)


  Posted by Charlie on 2006-05-21 20:05:35
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (1)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information