All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Just Math
A Constant Puzzle (Posted on 2006-12-02) Difficulty: 2 of 5
Determine a positive integer constant c such that the equation xy2 - y2+ x+ y = c has precisely three solutions in positive integers.

See The Solution Submitted by K Sengupta    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution extreme analysis | Comment 2 of 4 |

Within the positive integers, for a given value of y, the left side is increasing monotonically with x and for a given value of x, the left side is increasing monotonically with y. So, we can find solutions for a sought c under a given value by merely proceeding up to that value. This program does that, and categorizes by number of solutions, which includes 3:

DIM ct(1000)
CLS

y = 1
DO
x = 1
DO
  value = y * y * (x - 1) + x + y
  IF value <= 1000 THEN
    ct(value) = ct(value) + 1
    IF x > bigx THEN bigx = x
  ELSE
    EXIT DO
  END IF
  x = x + 1
LOOP
IF x = 1 THEN EXIT DO
y = y + 1
LOOP
FOR num = 0 TO 1000
 PRINT num,
 FOR i = 1 TO 1000
  IF ct(i) = num THEN PRINT i; : tCt = tCt + 1
 NEXT
 PRINT : PRINT
NEXT
PRINT tCt, bigx

END

0             1
1             2  3  5  7  9  11  15  17  19  21  25  27  29  31  35  37  41
45  47  49  51  55  57  59  61  65  67  69  71  75  77  79  85  87  89  91  95
97  99  101  105  109  111  115  117  119  121  125  127  129  131  135  137
145  147  149  151  157  159  161  165  167  169  171  177  179  181  185  187
189  191  195  197  199  201  205  207  211  215  217  219  221  225  227  231
235  237  239  241  245  247  249  251  255  257  259  261  265  267  271  275
279  281  285  287  289  291  295  297  299  301  305  307  309  315  317  319
321  325  327  329  331  335  337  339  341  347  349  351  355  357  359  361
365  367  369  371  375  381  385  387  389  391  395  397  401  405  407  411
417  419  421  425  427  429  431  435  437  439  441  445  449  455  457  459
461  465  467  469  471  475  477  479  485  487  489  491  495  497  499  501
505  507  509  511  517  519  521  527  535  537  539  541  545  547  551  555
557  559  561  565  567  569  571  575  577  579  581  585  587  589  591  595
597  601  605  607  609  611  615  619  621  625  627  629  631  635  637  639
641  645  647  649  655  657  661  665  667  671  675  677  679  681  687  689
691  695  697  699  701  705  707  709  711  715  717  721  725  727  729  731
735  737  739  741  745  749  751  755  757  759  761  765  767  769  771  775
777  779  781  785  791  795  797  799  801  805  807  809  811  815  817  825
827  829  831  835  837  839  841  845  847  849  851  857  859  861  865  867
869  871  875  877  879  881  885  887  891  897  899  901  905  907  909  911
915  917  921  925  927  929  931  935  937  939  941  945  947  949  951  955
959  961  965  967  971  975  977  979  981  985  987  989  995  997  999
2             4  6  10  12  13  16  20  23  26  30  33  36  39  40  42  43  46
50  52  53  60  62  63  66  70  72  76  80  81  82  83  86  93  96  100  102
103  106  107  113  116  120  122  123  126  130  132  133  139  140  141  142
143  146  150  152  153  155  156  160  163  166  170  172  173  175  176  180
182  183  186  190  193  196  200  202  203  206  209  210  216  220  222  223
229  230  232  233  236  246  250  252  253  262  263  269  270  272  273  276
277  280  282  283  286  290  293  296  300  302  306  310  311  312  313  316
320  322  323  326  330  332  333  336  342  343  345  346  350  352  353  356
360  363  366  372  373  376  377  379  380  383  386  390  392  393  399  400
402  403  406  409  410  412  415  416  423  426  432  433  436  440  442  443
446  447  450  451  452  453  456  460  462  463  466  470  472  473  476  480
481  482  483  486  490  492  493  496  503  506  510  512  513  515  520  522
523  525  529  530  531  533  536  540  542  543  546  549  550  553  556  560
563  570  572  573  576  580  582  586  590  592  596  599  603  610  612  613
616  620  623  626  632  633  640  642  643  646  650  651  653  659  660  662
663  669  670  672  676  680  683  685  686  690  692  693  696  700  703  706
712  713  716  719  720  722  723  726  730  732  733  740  742  743  746  747
750  752  756  762  763  766  772  773  776  780  782  783  787  789  790  792
793  796  800  802  806  810  813  816  819  820  822  826  832  833  836  840
842  843  846  850  852  853  855  856  860  862  863  870  873  876  880  882
886  889  892  893  895  896  900  902  903  910  913  919  922  926  930  933
936  943  946  950  952  953  956  957  960  962  963  966  969  970  972  973
976  980  982  983  986  990  991  992  996
3             8  14  18  22  24  28  32  34  38  48  54  56  64  68  73  78
88  90  92  94  98  104  110  112  114  128  136  138  144  148  154  162  164
168  178  194  198  212  213  218  224  226  228  234  238  240  242  243  244
248  254  260  264  268  278  284  288  292  298  304  324  340  348  362  364
368  370  374  382  384  388  394  398  404  413  418  420  424  428  430  434
438  444  454  478  484  494  502  504  514  516  518  526  528  532  534  538
544  548  552  562  564  566  568  574  583  588  593  600  602  606  614  617
618  622  624  628  630  636  638  644  648  652  654  656  664  666  673  674
678  682  684  688  698  702  710  714  728  736  753  754  760  764  768  770
774  778  786  794  798  803  812  818  821  823  824  828  830  834  844  848
866  868  874  878  883  884  890  894  898  904  912  914  916  918  923  924
928  934  938  940  942  944  948  954  964  978  993  998  1000
4             44  74  84  108  118  124  134  174  184  188  192  204  208
214  256  258  266  274  294  303  314  318  328  334  338  354  358  378  396
408  414  422  458  468  474  488  498  500  524  554  558  578  584  594  598
604  608  634  658  668  704  718  724  734  738  748  784  788  804  808  814
854  872  888  906  908  920  932  958  968  974  984  988
5             58  308  344  448  508  694  708  744  758  838  858  864
6             158  464
7             994

 

So, for example, when looking for c=1, there are zero solutions. Only c=994 (among the numbers less than or equal to 1000) has 7 solutions.  There are 190 values of c that are under or equal 1000 that have 3 solutions, and in fact this is the set that includes 1000: (500,1),(6,14),(1,999).

The lowest c that has 3 solutions is 8: (4, 1), (2, 2), (1, 7).

Values of c under 50 for given x and y (value of 8 highlighted):

    x 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
   y 
   1  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
   2  3  8 13 18 23 28 33 38 43 48
   3  4 14 24 34 44
   4  5 22 39
   5  6 32
   6  7 44
   7  8
   8  9
   9 10
  10 11
  11 12
  12 13
  13 14
  14 15
  15 16
  16 17
  17 18
  18 19
  19 20
  20 21
  21 22
  22 23
  23 24
  24 25
  25 26
  26 27
  27 28
  28 29
  29 30
  30 31
  31 32
  32 33
  33 34
  34 35
  35 36
  36 37
  37 38
  38 39
  39 40
  40 41
  41 42
  42 43
  43 44
  44 45
  45 46
  46 47
  47 48
  48 49
 

  Posted by Charlie on 2006-12-02 14:17:02
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (2)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information