Two different integers from 1 to N are chosen. Sam is given the sum and Pat is given the product. Sam and Pat take turns stating whether they can determine the numbers

Sam: I don't know the numbers.
Pat: I don't know the numbers.
Sam: I don't know the numbers.
Pat: I don't know the numbers.
.
.
.
.
Sam and Pat continue like this until one of them realizes that it is impossible for either of them to determine the numbers. What is the smallest possible N for which this can happen?

(In reply to re: computer solution -- more by Charlie)

I see they are assured two different numbers from 1 - N.  In that case, it requires N to be at least 12 to have ambiguous number pairs:

 3 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 3 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 3 Sam says  2  3  5  6 in turn 1 

 4 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 4 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 4 Sam says  2  4  6  8 in turn 1 
 4 Sam says  3  4  7  12 in turn 1 
 4 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 4 Pat says  2  3  5  6 in turn 2 

 5 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 5 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 5 Sam says  3  5  8  15 in turn 1 
 5 Sam says  4  5  9  20 in turn 1 
 5 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 5 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 5 Pat says  2  3  5  6 in turn 2 
 5 Pat says  2  4  6  8 in turn 2 
 5 Pat says  2  5  7  10 in turn 2 
 5 Pat says  3  4  7  12 in turn 2 

 6 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 6 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 6 Sam says  4  6  10  24 in turn 1 
 6 Sam says  5  6  11  30 in turn 1 
 6 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 6 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 6 Pat says  2  4  6  8 in turn 2 
 6 Pat says  2  5  7  10 in turn 2 
 6 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 6 Pat says  3  6  9  18 in turn 2 
 6 Pat says  4  5  9  20 in turn 2 
 6 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 6 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 6 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 6 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 

 7 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 7 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 7 Sam says  5  7  12  35 in turn 1 
 7 Sam says  6  7  13  42 in turn 1 
 7 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 7 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 7 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 7 Pat says  2  4  6  8 in turn 2 
 7 Pat says  2  5  7  10 in turn 2 
 7 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 7 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 7 Pat says  3  6  9  18 in turn 2 
 7 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 7 Pat says  4  5  9  20 in turn 2 
 7 Pat says  4  6  10  24 in turn 2 
 7 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 7 Pat says  5  6  11  30 in turn 2 
 7 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 7 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 7 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 7 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 

 8 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 8 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 8 Sam says  6  8  14  48 in turn 1 
 8 Sam says  7  8  15  56 in turn 1 
 8 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 8 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 8 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 8 Pat says  2  5  7  10 in turn 2 
 8 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 8 Pat says  2  8  10  16 in turn 2 
 8 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 8 Pat says  3  6  9  18 in turn 2 
 8 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 8 Pat says  4  5  9  20 in turn 2 
 8 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 8 Pat says  4  8  12  32 in turn 2 
 8 Pat says  5  6  11  30 in turn 2 
 8 Pat says  5  7  12  35 in turn 2 
 8 Pat says  5  8  13  40 in turn 2 
 8 Pat says  6  7  13  42 in turn 2 
 8 Sam says  1  8  9  8 in turn 3 
 8 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 8 Sam says  2  4  6  8 in turn 3 
 8 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 8 Sam says  3  8  11  24 in turn 3 
 8 Sam says  4  6  10  24 in turn 3 
 8 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 8 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 

 9 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 9 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 9 Sam says  7  9  16  63 in turn 1 
 9 Sam says  8  9  17  72 in turn 1 
 9 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 9 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 9 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 9 Pat says  1  9  10  9 in turn 2 
 9 Pat says  2  5  7  10 in turn 2 
 9 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 9 Pat says  2  8  10  16 in turn 2 
 9 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 9 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 9 Pat says  3  9  12  27 in turn 2 
 9 Pat says  4  5  9  20 in turn 2 
 9 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 9 Pat says  4  8  12  32 in turn 2 
 9 Pat says  4  9  13  36 in turn 2 
 9 Pat says  5  6  11  30 in turn 2 
 9 Pat says  5  7  12  35 in turn 2 
 9 Pat says  5  8  13  40 in turn 2 
 9 Pat says  5  9  14  45 in turn 2 
 9 Pat says  6  7  13  42 in turn 2 
 9 Pat says  6  8  14  48 in turn 2 
 9 Pat says  6  9  15  54 in turn 2 
 9 Pat says  7  8  15  56 in turn 2 
 9 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 9 Sam says  2  4  6  8 in turn 3 
 9 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 9 Sam says  4  6  10  24 in turn 3 
 9 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 9 Pat says  1  8  9  8 in turn 4 
 9 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 
 9 Pat says  3  8  11  24 in turn 4 
 9 Sam says  2  9  11  18 in turn 5 
 9 Sam says  3  6  9  18 in turn 5 

 10 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 10 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 10 Sam says  8  10  18  80 in turn 1 
 10 Sam says  9  10  19  90 in turn 1 
 10 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 10 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 10 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 10 Pat says  1  9  10  9 in turn 2 
 10 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 10 Pat says  2  8  10  16 in turn 2 
 10 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 10 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 10 Pat says  3  9  12  27 in turn 2 
 10 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 10 Pat says  4  8  12  32 in turn 2 
 10 Pat says  4  9  13  36 in turn 2 
 10 Pat says  5  7  12  35 in turn 2 
 10 Pat says  5  9  14  45 in turn 2 
 10 Pat says  5  10  15  50 in turn 2 
 10 Pat says  6  7  13  42 in turn 2 
 10 Pat says  6  8  14  48 in turn 2 
 10 Pat says  6  9  15  54 in turn 2 
 10 Pat says  6  10  16  60 in turn 2 
 10 Pat says  7  8  15  56 in turn 2 
 10 Pat says  7  9  16  63 in turn 2 
 10 Pat says  7  10  17  70 in turn 2 
 10 Pat says  8  9  17  72 in turn 2 
 10 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 10 Sam says  2  4  6  8 in turn 3 
 10 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 10 Sam says  2  10  12  20 in turn 3 
 10 Sam says  4  6  10  24 in turn 3 
 10 Sam says  4  10  14  40 in turn 3 
 10 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 10 Pat says  1  8  9  8 in turn 4 
 10 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 
 10 Pat says  3  8  11  24 in turn 4 
 10 Pat says  4  5  9  20 in turn 4 
 10 Pat says  5  8  13  40 in turn 4 
 10 Sam says  2  5  7  10 in turn 5 
 10 Sam says  3  6  9  18 in turn 5 
 10 Sam says  3  10  13  30 in turn 5 
 10 Pat says  1  10  11  10 in turn 6 
 10 Pat says  2  9  11  18 in turn 6 
 10 Pat says  5  6  11  30 in turn 6 

 11 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 11 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 11 Sam says  9  11  20  99 in turn 1 
 11 Sam says  10  11  21  110 in turn 1 
 11 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 11 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 11 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 11 Pat says  1  9  10  9 in turn 2 
 11 Pat says  1  11  12  11 in turn 2 
 11 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 11 Pat says  2  8  10  16 in turn 2 
 11 Pat says  2  11  13  22 in turn 2 
 11 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 11 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 11 Pat says  3  9  12  27 in turn 2 
 11 Pat says  3  11  14  33 in turn 2 
 11 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 11 Pat says  4  8  12  32 in turn 2 
 11 Pat says  4  9  13  36 in turn 2 
 11 Pat says  4  11  15  44 in turn 2 
 11 Pat says  5  7  12  35 in turn 2 
 11 Pat says  5  9  14  45 in turn 2 
 11 Pat says  5  10  15  50 in turn 2 
 11 Pat says  5  11  16  55 in turn 2 
 11 Pat says  6  7  13  42 in turn 2 
 11 Pat says  6  8  14  48 in turn 2 
 11 Pat says  6  9  15  54 in turn 2 
 11 Pat says  6  10  16  60 in turn 2 
 11 Pat says  6  11  17  66 in turn 2 
 11 Pat says  7  8  15  56 in turn 2 
 11 Pat says  7  9  16  63 in turn 2 
 11 Pat says  7  10  17  70 in turn 2 
 11 Pat says  7  11  18  77 in turn 2 
 11 Pat says  8  9  17  72 in turn 2 
 11 Pat says  8  10  18  80 in turn 2 
 11 Pat says  8  11  19  88 in turn 2 
 11 Pat says  9  10  19  90 in turn 2 
 11 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 11 Sam says  2  4  6  8 in turn 3 
 11 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 11 Sam says  2  10  12  20 in turn 3 
 11 Sam says  4  6  10  24 in turn 3 
 11 Sam says  4  10  14  40 in turn 3 
 11 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 11 Pat says  1  8  9  8 in turn 4 
 11 Pat says  3  4  7  12 in turn 4 
 11 Pat says  3  8  11  24 in turn 4 
 11 Pat says  4  5  9  20 in turn 4 
 11 Pat says  5  8  13  40 in turn 4 
 11 Sam says  2  5  7  10 in turn 5 
 11 Sam says  3  6  9  18 in turn 5 
 11 Sam says  3  10  13  30 in turn 5 
 11 Pat says  1  10  11  10 in turn 6 
 11 Pat says  2  9  11  18 in turn 6 
 11 Pat says  5  6  11  30 in turn 6 

 12 Sam says  1  2  3  2 in turn 1 
 12 Sam says  1  3  4  3 in turn 1 
 12 Sam says  10  12  22  120 in turn 1 
 12 Sam says  11  12  23  132 in turn 1 
 12 Pat says  1  4  5  4 in turn 2 
 12 Pat says  1  5  6  5 in turn 2 
 12 Pat says  1  7  8  7 in turn 2 
 12 Pat says  1  9  10  9 in turn 2 
 12 Pat says  1  11  12  11 in turn 2 
 12 Pat says  2  7  9  14 in turn 2 
 12 Pat says  2  8  10  16 in turn 2 
 12 Pat says  2  11  13  22 in turn 2 
 12 Pat says  3  5  8  15 in turn 2 
 12 Pat says  3  7  10  21 in turn 2 
 12 Pat says  3  9  12  27 in turn 2 
 12 Pat says  3  11  14  33 in turn 2 
 12 Pat says  4  7  11  28 in turn 2 
 12 Pat says  4  8  12  32 in turn 2 
 12 Pat says  4  11  15  44 in turn 2 
 12 Pat says  5  7  12  35 in turn 2 
 12 Pat says  5  9  14  45 in turn 2 
 12 Pat says  5  10  15  50 in turn 2 
 12 Pat says  5  11  16  55 in turn 2 
 12 Pat says  6  7  13  42 in turn 2 
 12 Pat says  6  9  15  54 in turn 2 
 12 Pat says  6  11  17  66 in turn 2 
 12 Pat says  7  8  15  56 in turn 2 
 12 Pat says  7  9  16  63 in turn 2 
 12 Pat says  7  10  17  70 in turn 2 
 12 Pat says  7  11  18  77 in turn 2 
 12 Pat says  7  12  19  84 in turn 2 
 12 Pat says  8  10  18  80 in turn 2 
 12 Pat says  8  11  19  88 in turn 2 
 12 Pat says  8  12  20  96 in turn 2 
 12 Pat says  9  10  19  90 in turn 2 
 12 Pat says  9  11  20  99 in turn 2 
 12 Pat says  9  12  21  108 in turn 2 
 12 Pat says  10  11  21  110 in turn 2 
 12 Sam says  2  3  5  6 in turn 3 
 12 Sam says  2  4  6  8 in turn 3 
 12 Sam says  2  6  8  12 in turn 3 
 12 Sam says  2  10  12  20 in turn 3 
 12 Sam says  3  12  15  36 in turn 3 
 12 Sam says  4  6  10  24 in turn 3 
 12 Sam says  6  12  18  72 in turn 3 
 12 Pat says  1  6  7  6 in turn 4 
 12 Pat says  1  8  9  8 in turn 4 
 12 Pat says  4  5  9  20 in turn 4 
 12 Pat says  4  9  13  36 in turn 4 
 12 Pat says  8  9  17  72 in turn 4 
 12 Sam says  3  6  9  18 in turn 5 
 12 Sam says  5  12  17  60 in turn 5 
 12 Pat says  2  9  11  18 in turn 6 
 12 Pat says  6  10  16  60 in turn 6 
 12 Sam says  4  12  16  48 in turn 7 
 12 Pat says  6  8  14  48 in turn 8 
 12 
 1  10  11  10 
 1  12  13  12 
 2  5  7  10 
 2  12  14  24 
 3  4  7  12 
 3  8  11  24 
 3  10  13  30 
 4  10  14  40 
 5  6  11  30 
 5  8  13  40 

Posted by Charlie on 2007-03-14 09:40:21