All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Appropriate Area (Posted on 2007-03-21) Difficulty: 3 of 5
Consider a triangle with sides of length 5, 6, 7. If you square the area of that triangle, you get 216, a perfect cube.

Are there other triangles (not geometrically similar to the first triangle) with integral sides whose area squared is a perfect cube? Find one such triangle, or prove no others exist.

No Solution Yet Submitted by Gamer    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer list | Comment 2 of 4 |
                area^2 cube root
 2   3   3          8   2
 5   6   7        216   6
 3  10  11        216   6
 7  12  13       1728  12
 6  14  16       1728  12
 9  20  21       8000  20
10  16  24       3375  15
18  18  18      19683  27
16  24  24      32768  32
14  20  30      13824  24
 7  27  30       8000  20
18  24  30      46656  36
11  30  31      27000  30
12  39  45      46656  36
13  42  43      74088  42
21  31  46      74088  42
30  32  38     216000  60
25  30  45     125000  50
18  45  45     157464  54
10  51  59      27000  30
14  51  61      74088  42
15  56  57     175616  56
40  48  56     884736  96
24  54  66     373248  72
30  57  63     729000  90
39  45  66     729000  90
30  50  70     421875  75
17  72  73     373248  72
 9  73  80      46656  36
40  66  74    1728000 120
60  60  72    2985984 144
46  60  86    1728000 120
24  80  88     884736  96
46  51  95     216000  60
48  70  78    2744000 140
35  66  95     592704  84
55  70  75    3375000 150
51  65  84    2744000 140
19  90  91     729000  90
20  84  96     512000  80
10  94  96     216000  60
54  81  81    4251528 162
60  60  96    2985984 144
12 102 102     373248  72
33  78 105     729000  90
21 110 111    1331000 110
33  97 112    2299968 132
13 110 119     287496  66

But the above has some that are geometrically similar to others preceding. The following list prevents this:

 2   3   3          8   2
 5   6   7        216   6
 3  10  11        216   6
 7  12  13       1728  12
 6  14  16       1728  12
 9  20  21       8000  20
10  16  24       3375  15
18  18  18      19683  27
14  20  30      13824  24
 7  27  30       8000  20
18  24  30      46656  36
11  30  31      27000  30
12  39  45      46656  36
13  42  43      74088  42
21  31  46      74088  42
30  32  38     216000  60
25  30  45     125000  50
18  45  45     157464  54
10  51  59      27000  30
14  51  61      74088  42
15  56  57     175616  56
24  54  66     373248  72
30  57  63     729000  90
39  45  66     729000  90
30  50  70     421875  75
17  72  73     373248  72
 9  73  80      46656  36
40  66  74    1728000 120
60  60  72    2985984 144
46  60  86    1728000 120
46  51  95     216000  60
48  70  78    2744000 140
35  66  95     592704  84
55  70  75    3375000 150
51  65  84    2744000 140
19  90  91     729000  90
20  84  96     512000  80
10  94  96     216000  60
60  60  96    2985984 144
12 102 102     373248  72
33  78 105     729000  90
21 110 111    1331000 110
33  97 112    2299968 132
13 110 119     287496  66
35 105 110    3375000 150
17 109 124     216000  60
20 112 124     884736  96
11 123 130     287496  66

The program uses Heron's formula. It first does the first table, and then the second above.

DEFDBL A-Z
CLS
FOR t = 7 TO 1000
  s = t / 2
  FOR big = INT(t / 3) TO t / 2
  FOR mid = INT((t - big) / 2) TO big
   little = t - big - mid
   IF little > 0 AND little <= mid AND mid <= big AND big < s THEN
     sqAr = s * (s - big) * (s - mid) * (s - little)
     cuRt = INT(sqAr ^ (1 / 3) + .5)
     IF cuRt * cuRt * cuRt = sqAr THEN
       PRINT USING "### ### ### ########## ###"; little; mid; big; sqAr; cuRt
       ct = ct + 1
       IF ct > 47 THEN GOTO nextPhase
     END IF
   END IF
  NEXT
  NEXT
NEXT

nextPhase:
ct = 0

DIM sol(100, 3)
FOR t = 7 TO 1000
  s = t / 2
  FOR big = INT(t / 3) TO t / 2
  FOR mid = INT((t - big) / 2) TO big
   little = t - big - mid
   IF little > 0 AND little <= mid AND mid <= big AND big < s THEN
     sqAr = s * (s - big) * (s - mid) * (s - little)
     cuRt = INT(sqAr ^ (1 / 3) + .5)
     IF cuRt * cuRt * cuRt = sqAr THEN
       good = 1
       FOR i = 1 TO ct
         IF sol(i, 1) * mid = sol(i, 2) * little AND sol(i, 3) * mid = sol(i, 2) * big THEN good = 0: EXIT FOR
       NEXT
       IF good THEN
         PRINT USING "### ### ### ########## ###"; little; mid; big; sqAr; cuRt
         ct = ct + 1
         sol(ct, 1) = little
         sol(ct, 2) = mid
         sol(ct, 3) = big
         IF ct > 47 THEN END
       END IF
     END IF
   END IF
  NEXT
  NEXT
NEXT

 


  Posted by Charlie on 2007-03-21 15:57:32
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (6)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information