Minimize the bases P and Q such that each of the following alphanumeric equations has at least one solution:

(A) (GO)_{Base P} + (GO)_{Base P} = (GIG)_{Base P}

(B) (GO)_{Base Q}*(GO)_{Base Q} = (GIG)_{Base Q}

Note: Solve each of the alphanumeric equations separately and remember G, O and I must be distinct and G can't be zero.

 1  2  +  1  2  =  1  0  1  base  3
 
 1  3  *  1  3  =  1  7  1  base  8

So P and Q are 3 and 8 respectively.

 
 Further solutions for the multiplication version:

 
 1  4  *  1  4  =  1  9  1  base  15
 1  8  *  1  8  =  1  19  1  base  21
 1  5  *  1  5  =  1  11  1  base  24
 1  7  *  1  7  =  1  16  1  base  24
 1  11  *  1  11  =  1  26  1  base  30
 1  10  *  1  10  =  1  23  1  base  33
 1  6   *  1  6   =  1  13  1  base  35
 1  14  *  1  14  =  1  33  1  base  39
 1  9   *  1  9   =  1  20  1  base  40
 1  11  *  1  11  =  1  25  1  base  40
 1  13  *  1  13  =  1  30  1  base  42
 1  7   *  1  7   =  1  15  1  base  48
 1  17  *  1  17  =  1  40  1  base  48
 1  16  *  1  16  =  1  37  1  base  51
 1  21  *  1  21  =  1  50  1  base  55
 1  13  *  1  13  =  1  29  1  base  56
 1  15  *  1  15  =  1  34  1  base  56
 1  20  *  1  20  =  1  47  1  base  57
 1  11  *  1  11  =  1  24  1  base  60
 1  19  *  1  19  =  1  44  1  base  60
 1  8   *  1  8   =  1  17  1  base  63
 1  14  *  1  14  =  1  31  1  base  65
 1  23  *  1  23  =  1  54  1  base  66
 1  22  *  1  22  =  1  51  1  base  69
 1  17  *  1  17  =  1  38  1  base  72
 1  19  *  1  19  =  1  43  1  base  72
 1  26  *  1  26  =  1  61  1  base  75
 1  25  *  1  25  =  1  58  1  base  78
 1  9   *  1  9   =  1  19  1  base  80
 1  31  *  1  31  =  1  74  1  base  80
 1  13  *  1  13  =  1  28  1  base  84
 1  29  *  1  29  =  1  68  1  base  84
 1  16  *  1  16  =  1  35  1  base  85
 1  28  *  1  28  =  1  65  1  base  87
 1  21  *  1  21  =  1  47  1  base  88
 1  23  *  1  23  =  1  52  1  base  88
 1  19  *  1  19  =  1  42  1  base  90
 1  27  *  1  27  =  1  62  1  base  91
 1  32  *  1  32  =  1  75  1  base  93
 1  39  *  1  39  =  1  94  1  base  95
 1  17  *  1  17  =  1  37  1  base  96
 1  31  *  1  31  =  1  72  1  base  96
 1  10  *  1  10  =  1  21  1  base  99
 

Bases were checked up to 100.  The additive case has a unique solution, as GIG is of the order of magnitude of the base multiplied by whatever GO comes out to be, while GO+GO is just twice GO.

Base 24 has the first multiple solutions to the multiplicative version.

 

CLS
flag = 0
FOR b = 3 TO 100
 FOR g = 1 TO b - 1
  FOR o = 0 TO b - 1
  IF o <> g THEN
  FOR i = 0 TO b - 1
  IF i <> o AND i <> g THEN
   go = b * g + o: gig = g * (b * b + 1) + i * b
   IF 2 * go = gig THEN
     PRINT g; o; " + "; g; o; " = "; g; i; g; " base "; b
     flag = 1
   END IF
  END IF
  NEXT
  END IF
  NEXT
 NEXT
 'IF flag THEN EXIT FOR
NEXT

flag = 0
FOR b = 3 TO 100
 FOR g = 1 TO b - 1
  FOR o = 0 TO b - 1
  IF o <> g THEN
  FOR i = 0 TO b - 1
  IF i <> o AND i <> g THEN
   go = b * g + o: gig = g * (b * b + 1) + i * b
   IF go * go = gig THEN
     PRINT g; o; " * "; g; o; " = "; g; i; g; " base "; b
     flag = 1
   END IF
  END IF
  NEXT
  END IF
  NEXT
 NEXT
 'IF flag THEN EXIT FOR
NEXT

Initially, I had the program exit after finding any solution(s) in a given base, hence the flags. The IF flag ... statements were commented out (with apostrophe) to check further bases for solutions.

Posted by Charlie on 2007-05-25 16:32:14