All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 The Irrational Units Digit (Posted on 2007-05-21)
Let n be a positive integer. Find a formula for the units digit of (11+sqrt(111))^n.

 See The Solution Submitted by Brian Smith Rating: 3.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 well, it looks like | Comment 2 of 4 |

The integer parts for n=1 to 44 are:

`1       212       4633       99874       2150955       46322316       997581437       21483568478       462662692159       99637435427110      2145757310182311      46210286469740712      995168729232473513      21431609178417011114      461543714632849510315      9939645630138519116716      214056766716718925465517      4609852411466431169075118      99276185385094296464998319      2137977554357410210539212720      46042744342012081667212697521      991560599980691694573287219122      21353905756155096463940191846323      459870320635605205260951348428724      9903607996421763551101527746969525      213280672714922746071624096949043126      4593138719764082778064714855409254327      98916245107660593656707485849513164728      2130226005170892232666917540135197081529      45875809662683023182105111024479204147130      987965552527317587679643267137190520422331      21276484058974156697131100766773399407820732      458202993772158271460087784197642881767833533      9867701022397740405150620244680409404814131134      212507392555028706198712767540992578088232550335      4576485625986654132320174683455032623892974796736      98557609846156103849056715360600791944763120025537      2122502560355567743356045991098667096545858892595138      45709480229360929315342444650564668204561264436838339      984383539442384767503973322401436029534889228684492740      21199343065438855591933988646325945967721950386690457541      456541712045230975347508016995156450994534016220345139142      9831924234340692901725836487430182462202528852980688486343      211736916035042934084493322553512449658510294603371695308744      45598929104275376208415947313029720678652011927443704119295`

and the last digits follow the sequence of 1, 3, 7, 5, 1, 3, 7, 5, ....

The units digits continue the pattern beyond 44:

1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7
5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1
3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5
1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7
5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1
3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7  5  1  3  7

10   point 244
20   A=11+sqrt(111)
30   T=A
40   for I=1 to 44
50     print I,int(T)
55     T=T*A
60   next
70   for I=45 to 300
80       print int(T)@10;
90       T=T*A
100   next

which stopped with and overflow at i = 195.

From the fractional parts it looks as though they are asymptotically approaching the next integer in each case, but as it's asymptotic, they would never get there.

`1       0.5356537528527388484014046618996674767477006597243483304401291278262       0.7843825627602546648309025617926844884494145139356632696828408121733       0.8998788521982141422658097404423839784101127093411086286212065895404       0.9535091207581644815387886718056026405283344661477571328381368481585       0.9784121346974771711952533752994183075222311618395706362269447640646       0.9899757557628529509076875385311763602057408989929826686114163278437       0.9953452798079932080165920946916968493039881594499123471817115718958       0.9978385981473210672881506979055670826303305179682449518834913032539       0.99899636116113140017339440700550732482738980080226546961969295262710      0.99953396407168013093316997506549031989927043796739081279833192525311      0.99978359796564887879579538138571378951005162725994318536637282930812      0.99989951452747402417579863983080017022843142004484195007688299224913      0.99995333994793974390961626242046584992497496838709104802769753640114      0.99997833357993412425357137494224699606513510406758355584051587833315      0.99998993927915329448240762452477541418322260561592774821437395931316      0.99999532834203123607725399012258915137954628287457490231106832155317      0.99999783073315424887551153744920718851779216708137036869976348102818      0.99999899270908111448871392265666663359596484704439908828411336708519      0.99999953226824202999659092395459405393330496416307625525285926559120      0.99999978281051351503786110043440285057306074114368673272177017215721      0.99999989914887703086703497001092217327428666353034556735035113153822      0.99999995317015952869615833589625930630369918623073515449002317226523      0.99999997825473932264513368960848300593851546177271772527699847445124      0.99999998990266981123135781242403306761034829669243841119373471527825      0.99999999531134262063853497724389742804250790950646779349217899159426      0.99999999782283954173419137512541274083169104221790734489059066229127      0.99999999898904371176686048032010601787212383372928365267120465445728      0.99999999953056624152901681578820498486981391986516690986059577514729      0.99999999978202019596976514413944948841466789974083549022106050866130      0.99999999989878189604466501318583889642455459564671168625737343906531      0.99999999995299975328497884869396083719352210681930219545161057282432      0.99999999997817561182288453940874945401194039355753143736169821147933      0.99999999998986592725367138005287961632746759007266966744125492429634      0.99999999999529428135192496707585701908488304602341831009062621971435      0.99999999999781491720563547514005825659275111178850614758122759076036      0.99999999999898536500473078232271145419169399911295214588074479958637      0.99999999999952885804772245969906942628975686259988573356410968328238      0.99999999999978122700258629015241283645771098606796467960296503633839      0.99999999999989841357967378636238813917207306749636561562413396662940      0.99999999999995282872696039844841069720849762424039674770129690245841      0.99999999999997809619639090224115394686621705832507229318719218779242      0.99999999999998982905099586482127985897179904074762297310525910684943      0.99999999999999527715800000365661742871740831319698247644377847276444      0.999999999999997806966041432232784842064992482857384750710535332310`

So it looks like:

d = (2^n - 1) mod 10

 Posted by Charlie on 2007-05-21 14:56:05

 Search: Search body:
Forums (0)