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 Any triangle, Trigonometric function - second episode! (Posted on 2007-11-18)
Prove that in any triangle cos(A)+cos(B)+cos(C)>1

 See The Solution Submitted by Chesca Ciprian Rating: 3.0000 (1 votes)

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 computer exploration of all angles | Comment 2 of 12 |

The sums of the cosints of triangles.

Playing with Geometer's Sketchpad verifies it is true for all triangles, as does this table:

The row and column are identified each with one of the angles of a given triangle.  The remaining angle is of course 180 - a - b

a \\ b 2   10   18   26   34   42   50   58   66   74   82   90   98  106  114  122  130  138  146  154  162  170  178
1  1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00
3  1.00 1.01 1.02 1.02 1.03 1.03 1.04 1.04 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.02 1.01 1.01
5  1.00 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.07 1.08 1.08 1.08 1.08 1.08 1.08 1.07 1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01
7  1.00 1.02 1.04 1.05 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.10 1.09 1.08 1.07 1.05 1.04 1.02 1.01
9  1.01 1.03 1.05 1.07 1.09 1.10 1.12 1.13 1.14 1.14 1.14 1.14 1.14 1.13 1.13 1.11 1.10 1.08 1.06 1.05 1.02 1.00
11  1.01 1.03 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.15 1.16 1.17 1.17 1.17 1.17 1.16 1.15 1.13 1.12 1.10 1.07 1.05 1.02
13  1.01 1.04 1.07 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.19 1.20 1.20 1.20 1.19 1.18 1.17 1.15 1.13 1.11 1.08 1.05 1.02
15  1.01 1.04 1.08 1.11 1.14 1.16 1.19 1.20 1.22 1.22 1.23 1.22 1.22 1.21 1.19 1.17 1.14 1.11 1.08 1.05 1.01
17  1.01 1.05 1.09 1.12 1.16 1.18 1.21 1.23 1.24 1.25 1.25 1.25 1.24 1.23 1.21 1.18 1.15 1.12 1.08 1.05 1.01
19  1.01 1.06 1.10 1.14 1.17 1.20 1.23 1.25 1.27 1.27 1.28 1.27 1.26 1.24 1.22 1.19 1.16 1.12 1.08 1.04
21  1.01 1.06 1.11 1.15 1.19 1.22 1.25 1.27 1.29 1.30 1.30 1.29 1.28 1.26 1.23 1.20 1.17 1.12 1.08 1.03
23  1.01 1.07 1.12 1.16 1.20 1.24 1.27 1.29 1.31 1.32 1.32 1.31 1.30 1.27 1.25 1.21 1.17 1.12 1.07 1.02
25  1.01 1.07 1.13 1.18 1.22 1.26 1.29 1.31 1.33 1.34 1.34 1.33 1.31 1.29 1.25 1.22 1.17 1.12 1.06 1.01
27  1.02 1.08 1.13 1.19 1.24 1.28 1.31 1.33 1.35 1.36 1.36 1.34 1.33 1.30 1.26 1.22 1.17 1.11 1.05
29  1.02 1.08 1.14 1.20 1.25 1.29 1.33 1.35 1.37 1.38 1.37 1.36 1.34 1.31 1.27 1.22 1.17 1.11 1.04
31  1.02 1.09 1.15 1.21 1.26 1.31 1.34 1.37 1.39 1.39 1.39 1.37 1.35 1.31 1.27 1.22 1.16 1.10 1.03
33  1.02 1.09 1.16 1.22 1.28 1.32 1.36 1.39 1.40 1.41 1.40 1.38 1.36 1.32 1.27 1.22 1.15 1.08 1.01
35  1.02 1.10 1.17 1.23 1.29 1.34 1.37 1.40 1.42 1.42 1.41 1.39 1.36 1.32 1.27 1.21 1.14 1.07
37  1.02 1.10 1.18 1.24 1.30 1.35 1.39 1.42 1.43 1.43 1.42 1.40 1.37 1.32 1.27 1.20 1.13 1.05
39  1.02 1.11 1.18 1.25 1.31 1.36 1.40 1.43 1.44 1.44 1.43 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19 1.12 1.03
41  1.02 1.11 1.19 1.26 1.32 1.38 1.41 1.44 1.45 1.45 1.44 1.41 1.37 1.32 1.25 1.18 1.10 1.01
43  1.02 1.11 1.20 1.27 1.34 1.39 1.43 1.45 1.46 1.46 1.44 1.41 1.37 1.31 1.25 1.17 1.08
45  1.02 1.12 1.20 1.28 1.35 1.40 1.44 1.46 1.47 1.47 1.45 1.41 1.37 1.31 1.23 1.15 1.06
47  1.03 1.12 1.21 1.29 1.35 1.41 1.45 1.47 1.48 1.47 1.45 1.41 1.36 1.30 1.22 1.13 1.04
49  1.03 1.13 1.22 1.30 1.36 1.42 1.46 1.48 1.49 1.48 1.45 1.41 1.36 1.29 1.21 1.11 1.01
51  1.03 1.13 1.22 1.30 1.37 1.42 1.46 1.48 1.49 1.48 1.45 1.41 1.35 1.27 1.19 1.09
53  1.03 1.13 1.23 1.31 1.38 1.43 1.47 1.49 1.49 1.48 1.45 1.40 1.34 1.26 1.17 1.07
55  1.03 1.14 1.23 1.32 1.39 1.44 1.48 1.49 1.50 1.48 1.44 1.39 1.33 1.24 1.15 1.04
57  1.03 1.14 1.24 1.32 1.39 1.44 1.48 1.50 1.50 1.48 1.44 1.38 1.31 1.23 1.13 1.01
59  1.03 1.14 1.24 1.33 1.40 1.45 1.48 1.50 1.50 1.47 1.43 1.37 1.30 1.21 1.10
61  1.03 1.14 1.25 1.33 1.40 1.45 1.49 1.50 1.49 1.47 1.42 1.36 1.28 1.18 1.07
63  1.03 1.15 1.25 1.34 1.40 1.46 1.49 1.50 1.49 1.46 1.41 1.34 1.26 1.16 1.05
65  1.03 1.15 1.25 1.34 1.41 1.46 1.49 1.50 1.49 1.45 1.40 1.33 1.24 1.13 1.02
67  1.03 1.15 1.25 1.34 1.41 1.46 1.49 1.49 1.48 1.44 1.39 1.31 1.22 1.11
69  1.03 1.15 1.26 1.34 1.41 1.46 1.49 1.49 1.47 1.43 1.37 1.29 1.19 1.08
71  1.03 1.15 1.26 1.35 1.41 1.46 1.48 1.48 1.46 1.42 1.36 1.27 1.17 1.05
73  1.03 1.16 1.26 1.35 1.41 1.46 1.48 1.48 1.45 1.41 1.34 1.25 1.14 1.02
75  1.03 1.16 1.26 1.35 1.41 1.46 1.48 1.47 1.44 1.39 1.32 1.22 1.11
77  1.03 1.16 1.26 1.35 1.41 1.45 1.47 1.46 1.43 1.38 1.30 1.20 1.08
79  1.03 1.16 1.26 1.35 1.41 1.45 1.46 1.45 1.42 1.36 1.28 1.17 1.05
81  1.03 1.16 1.26 1.35 1.41 1.44 1.46 1.44 1.40 1.34 1.25 1.14 1.02
83  1.03 1.16 1.26 1.35 1.40 1.44 1.45 1.43 1.39 1.32 1.23 1.11
85  1.03 1.16 1.26 1.34 1.40 1.43 1.44 1.42 1.37 1.30 1.20 1.08
87  1.03 1.16 1.26 1.34 1.40 1.42 1.43 1.40 1.35 1.27 1.17 1.05
89  1.03 1.16 1.26 1.34 1.39 1.42 1.41 1.39 1.33 1.25 1.14 1.02
91  1.03 1.16 1.26 1.34 1.39 1.41 1.40 1.37 1.31 1.22 1.11
93  1.03 1.16 1.26 1.33 1.38 1.40 1.39 1.35 1.29 1.20 1.08
95  1.03 1.16 1.25 1.33 1.37 1.39 1.37 1.33 1.27 1.17 1.05
97  1.03 1.16 1.25 1.32 1.36 1.38 1.36 1.31 1.24 1.14 1.02
99  1.03 1.15 1.25 1.32 1.35 1.36 1.34 1.29 1.22 1.11
101  1.03 1.15 1.25 1.31 1.35 1.35 1.33 1.27 1.19 1.08
103  1.03 1.15 1.24 1.30 1.34 1.34 1.31 1.25 1.16 1.05
105  1.03 1.15 1.24 1.30 1.32 1.32 1.29 1.23 1.14 1.02
107  1.03 1.15 1.23 1.29 1.31 1.31 1.27 1.20 1.11
109  1.03 1.14 1.23 1.28 1.30 1.29 1.25 1.18 1.08
111  1.03 1.14 1.22 1.27 1.29 1.28 1.23 1.15 1.05
113  1.03 1.14 1.22 1.26 1.28 1.26 1.21 1.13 1.02
115  1.03 1.14 1.21 1.25 1.26 1.24 1.19 1.10
117  1.03 1.13 1.20 1.24 1.25 1.22 1.16 1.07
119  1.03 1.13 1.20 1.23 1.24 1.20 1.14 1.04
121  1.03 1.13 1.19 1.22 1.22 1.18 1.12 1.01
123  1.03 1.12 1.18 1.21 1.20 1.16 1.09
125  1.03 1.12 1.18 1.20 1.19 1.14 1.07
127  1.03 1.11 1.17 1.19 1.17 1.12 1.04
129  1.03 1.11 1.16 1.18 1.16 1.10 1.01
131  1.03 1.11 1.15 1.16 1.14 1.08
133  1.02 1.10 1.14 1.15 1.12 1.06
135  1.02 1.10 1.13 1.14 1.10 1.03
137  1.02 1.09 1.13 1.12 1.09 1.01
139  1.02 1.09 1.12 1.11 1.07
141  1.02 1.08 1.11 1.10 1.05
143  1.02 1.08 1.10 1.08 1.03
145  1.02 1.07 1.09 1.07 1.01
147  1.02 1.07 1.08 1.05
149  1.02 1.06 1.07 1.04
151  1.02 1.06 1.06 1.02
153  1.01 1.05 1.05 1.01
155  1.01 1.04 1.04
157  1.01 1.04 1.03
159  1.01 1.03 1.02
161  1.01 1.03 1.01
163  1.01 1.02
165  1.01 1.02
167  1.01 1.01
169  1.01 1.00
171  1.00
173  1.00
175  1.00
177  1.00
179

Where the above table seems to include entries of exacly 1, greater precision allows the difference from 1 to be seen, in the below "enlargements" of the corners of the above triangular table:

2     10     18
1  1.0006 1.0030 1.0054
3  1.0018 1.0091 1.0161
5  1.0030 1.0151 1.0267
7  1.0042 1.0210 1.0373
9  1.0055 1.0270 1.0477
11  1.0066 1.0329 1.0581
162    170    178
1  1.0051 1.0027 1.0003
3  1.0135 1.0064
5  1.0195 1.0076
7  1.0231 1.0064
9  1.0243 1.0027
11  1.0231
2     10     18
169  1.0055 1.0030
171  1.0042
173  1.0030
175  1.0018
177  1.0006
179

OPEN "sumcosin.txt" FOR OUTPUT AS #2
pi = 4 * ATN(1)
PRINT #2, "    ";
FOR b = 2 TO 178 STEP 8
PRINT #2, USING " ### "; b;
NEXT
PRINT #2,
FOR a = 1 TO 179 STEP 2
PRINT #2, USING "### "; a;
FOR b = 2 TO 178 STEP 8
IF a + b >= 180 THEN EXIT FOR
c = 180 - b - a
PRINT #2, USING "##.##"; COS(a * pi / 180) + COS(b * pi / 180) + COS(c * pi / 180);
NEXT
PRINT #2,
NEXT

PRINT #2,

PRINT #2, "    ";
FOR b = 2 TO 18 STEP 8
PRINT #2, USING "  ###  "; b;
NEXT
PRINT #2,
FOR a = 1 TO 11 STEP 2
PRINT #2, USING "### "; a;
FOR b = 2 TO 18 STEP 8
IF a + b >= 180 THEN EXIT FOR
c = 180 - b - a
PRINT #2, USING "##.####"; COS(a * pi / 180) + COS(b * pi / 180) + COS(c * pi / 180);
NEXT
PRINT #2,
NEXT

PRINT #2,

PRINT #2, "    ";
FOR b = 162 TO 178 STEP 8
PRINT #2, USING "  ###  "; b;
NEXT
PRINT #2,
FOR a = 1 TO 11 STEP 2
PRINT #2, USING "### "; a;
FOR b = 162 TO 178 STEP 8
IF a + b >= 180 THEN EXIT FOR
c = 180 - b - a
PRINT #2, USING "##.####"; COS(a * pi / 180) + COS(b * pi / 180) + COS(c * pi / 180);
NEXT
PRINT #2,
NEXT

PRINT #2,

PRINT #2, "    ";
FOR b = 2 TO 18 STEP 8
PRINT #2, USING "  ###  "; b;
NEXT
PRINT #2,
FOR a = 169 TO 179 STEP 2
PRINT #2, USING "### "; a;
FOR b = 2 TO 18 STEP 8
IF a + b >= 180 THEN EXIT FOR
c = 180 - b - a
PRINT #2, USING "##.####"; COS(a * pi / 180) + COS(b * pi / 180) + COS(c * pi / 180);
NEXT
PRINT #2,
NEXT
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Edited on November 18, 2007, 11:20 pm
 Posted by Charlie on 2007-11-18 23:16:28

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