I applied one of the digits 1 through 9 to each cell of the provided net of a cube.
My object was to create a unique 4 digit square number on each face. At the same time I required each vertex to be a 3 digit square. I failed in that objective!
I have 6 unique 4 digit squares but I have duplicated just one of my vertices.

To emulate my "feat":
- a [Magenta] Magenta cell is both the first digit of a 3 and 4 digit square
- an [Orange] Orange cell signifies the first digit of only a 4 digit square, while
- a [Cyan] Cyan cell signifies the first cell only of a 3 digit square.

The digits must be applied to each face by rotation, the direction is defined by need. "A" through "F" represent the 6 faces of the cube while "a" through "h" represent the vertices of the cube when fully assembled. Note: Within the range allowed several squares utilise the same digits, and this is allowed by virtue of the commencement cell.

---

But then, there is still the challenge for 6 unique faces and 8 unique vertices.

(In reply to Computer solutions by Charlie)

The full output of 93 solutions (63 with one repeat vertex and 30 with no repeat vertices) follow:

  15
  16
63613269
91929412
  65
  74
1156 1369 9216 3249 1296 5476
361 361 529 169   441 729
169 1    361 2    441 1    529 1    625 1    729 1    961 1    

  15
  16
63613269
91929412
  65
  74
1156 1369 9216 3249 1296 5476
361 361 529 196   441 729
196 1    361 2    441 1    529 1    625 1    729 1    961 1    

  15
  16
49691268
23125211
  62
  11
1156 3249 1296 1225 1681 2116
961 169 225 361   121 121
121 2    169 1    225 1    361 1    625 1    841 1    961 1    

  15
  16
49691268
23125211
  62
  11
1156 3249 1296 1225 1681 2116
961 196 225 361   121 121
121 2    196 1    225 1    361 1    625 1    841 1    961 1    

  52
  12
24443116
64144847
  41
  67
1225 4624 1444 3481 4761 1764
441 324 144 441   784 676
121 1    144 1    324 1    441 2    625 1    676 1    784 1    

  52
  12
24443116
64144847
  41
  67
1225 4624 1444 3481 4761 1764
441 324 144 441   784 676
121 1    144 1    324 1    441 2    625 1    676 1    784 1    

  52
  12
24443116
64144847
  41
  67
1225 4624 1444 3481 4761 1764
441 324 144 441   784 676
121 1    144 1    324 1    441 2    625 1    676 1    784 1    

  52
  12
24443116
64144847
  41
  67
1225 4624 1444 3481 4761 1764
441 324 144 441   784 676
121 1    144 1    324 1    441 2    625 1    676 1    784 1    

  52
  11
61248952
56616442
  73
  21
1521 6561 6241 8649 4225 3721
121 841 361 676   144 225
121 1    144 1    225 1    256 1    361 1    529 1    676 1    841 1    

  52
  11
61248952
56616442
  73
  21
1521 6561 6241 8649 4225 3721
121 841 361 676   144 225
121 1    144 1    225 1    256 1    361 1    529 1    676 1    841 1    

  52
  11
24463116
64844847
  41
  67
1521 4624 8464 3481 4761 1764
441 361 144 484   784 676
121 1    144 1    361 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    

  52
  11
24463116
64844847
  41
  67
1521 4624 8464 3481 4761 1764
441 361 144 484   784 676
121 1    144 1    361 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    

  52
  11
24463116
64844847
  41
  67
1521 4624 8464 3481 4761 1764
441 361 144 484   784 676
121 1    144 1    361 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    

  52
  11
24463116
64844847
  41
  67
1521 4624 8464 3481 4761 1764
441 361 144 484   784 676
121 1    144 1    361 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    

  12
  15
64426529
71461616
  43
  63
1521 1764 4624 6561 1296 3364
441 625 361 144   361 676
144 1    225 1    361 2    441 1    625 1    676 1    961 1    

  12
  15
64426529
71461616
  43
  63
1521 1764 4624 6561 1296 3364
441 625 361 144   361 676
144 1    225 1    361 2    441 1    625 1    676 1    961 1    

  61
  21
76569635
75612146
  71
  64
2116 5776 6561 9216 4356 1764
625 961 121 576   441 676
121 1    361 1    441 1    576 2    625 1    676 1    961 1    

  61
  29
53425632
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5329 2116
324 529 256 441   625 169
169 1    256 2    324 1    361 1    441 1    529 1    625 1    

  61
  29
53425692
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5929 2116
324 529 256 441   625 169
169 1    256 2    324 1    441 1    529 1    625 1    961 1    

  61
  29
53425692
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5929 2116
324 529 256 441   625 169
169 1    256 2    324 1    441 1    529 1    625 1    961 1    

  61
  29
53425632
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5329 2116
324 529 256 441   625 196
196 1    256 2    324 1    361 1    441 1    529 1    625 1    

  61
  29
53425692
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5929 2116
324 529 256 441   625 196
196 1    256 2    324 1    441 1    529 1    625 1    961 1    

  61
  29
53425692
64465259
  12
  16
2916 4356 4624 5625 5929 2116
324 529 256 441   625 196
196 1    256 2    324 1    441 1    529 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  23
4225 1156 6724 2116 6561 5329
144 225 576 169   361 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    361 1    576 1    625 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 169   961 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 169   961 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  23
4225 1156 6724 2116 6561 5329
144 225 576 196   361 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    361 1    576 1    625 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 196   961 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 196   961 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  23
4225 1156 6724 2116 6561 5329
144 225 576 169   361 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    361 1    576 1    625 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 169   961 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 169   961 256
121 1    144 1    169 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  23
4225 1156 6724 2116 6561 5329
144 225 576 196   361 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    361 1    576 1    625 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 196   961 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  22
  45
51422116
61676165
  95
  29
4225 1156 6724 2116 6561 5929
144 225 576 196   961 256
121 1    144 1    196 1    225 1    256 1    576 1    625 1    961 1    

  52
  42
63297952
91161256
  29
  16
4225 1369 1296 7921 5625 9216
324 729 961 121   625 169
121 1    169 1    256 1    324 1    529 1    625 1    729 1    961 1    

  52
  42
63297952
91161256
  29
  16
4225 1369 1296 7921 5625 9216
324 729 961 121   625 196
121 1    196 1    256 1    324 1    529 1    625 1    729 1    961 1    

  52
  42
63295952
43169211
  61
  81
4225 3364 1296 5929 1521 1681
324 529 169 361   121 841
121 1    169 1    256 1    324 1    361 1    529 2    841 1    

  52
  42
63295952
43169211
  61
  81
4225 3364 1296 5929 1521 1681
324 529 196 361   121 841
121 1    196 1    256 1    324 1    361 1    529 2    841 1    

  52
  42
63295952
43169211
  61
  81
4225 3364 1296 5929 1521 1681
324 529 169 361   121 841
121 1    169 1    256 1    324 1    361 1    529 2    841 1    

  52
  42
63295952
43169211
  61
  81
4225 3364 1296 5929 1521 1681
324 529 196 361   121 841
121 1    196 1    256 1    324 1    361 1    529 2    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 169 841   576 225
144 1    169 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 196 841   576 225
144 1    196 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 169 841   576 225
144 1    169 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 196 841   576 225
144 1    196 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 169 841   576 225
144 1    169 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 196 841   576 225
144 1    196 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 169 841   576 225
144 1    169 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
81423922
28469675
  11
  25
4489 8281 4624 3969 7225 1521
144 324 196 841   576 225
144 1    196 1    225 1    289 2    324 1    576 1    841 1    

  98
  44
88123442
96798446
  62
  11
4489 6889 7921 3844 4624 2116
841 324 289 676   144 169
144 1    169 1    289 2    324 1    484 1    676 1    841 1    

  98
  44
88123442
96798446
  62
  11
4489 6889 7921 3844 4624 2116
841 324 289 676   144 169
144 1    169 1    289 2    324 1    484 1    676 1    841 1    

  98
  44
88123442
96798446
  62
  11
4489 6889 7921 3844 4624 2116
841 324 289 676   144 196
144 1    196 1    289 2    324 1    484 1    676 1    841 1    

  98
  44
88123442
96798446
  62
  11
4489 6889 7921 3844 4624 2116
841 324 289 676   144 196
144 1    196 1    289 2    324 1    484 1    676 1    841 1    

  48
  51
86248474
11614674
  98
  46
5184 1681 6241 8464 7744 8649
625 841 841 169   676 441
169 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    841 2    

  48
  51
86248474
11614674
  98
  46
5184 1681 6241 8464 7744 8649
625 841 841 169   676 441
169 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    841 2    

  48
  51
86248474
11614674
  98
  46
5184 1681 6241 8464 7744 8649
625 841 841 196   676 441
196 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    841 2    

  48
  51
86248474
11614674
  98
  46
5184 1681 6241 8464 7744 8649
625 841 841 196   676 441
196 1    441 1    484 1    625 1    676 1    784 1    841 2    

  67
  54
92618661
61929421
  67
  93
5476 1296 9216 8649 2116 7396
256 841 729 169   324 961
169 2    196 1    256 1    324 1    676 1    729 1    841 1    961 1    

  67
  54
92618661
61929421
  67
  93
5476 1296 9216 8649 2116 7396
256 841 729 196   324 961
169 1    196 2    256 1    324 1    676 1    729 1    841 1    961 1    

  67
  54
56218662
11969444
  61
  81
5476 1156 9216 8649 4624 1681
625 841 196 169   144 841
144 1    169 1    196 1    256 1    625 1    676 1    841 2    

  67
  54
56218662
11969444
  61
  81
5476 1156 9216 8649 4624 1681
625 841 196 169   144 841
144 1    169 1    196 1    256 1    625 1    676 1    841 2    

  67
  54
56218662
11969444
  61
  81
5476 1156 9216 8649 4624 1681
625 841 169 196   144 841
144 1    169 1    196 1    256 1    625 1    676 1    841 2    

  67
  54
56218662
11969444
  61
  81
5476 1156 9216 8649 4624 1681
625 841 169 196   144 841
144 1    169 1    196 1    256 1    625 1    676 1    841 2    

  67
  54
16241663
92612988
  51
  22
5476 2916 6241 1296 8836 1225
625 144 121 256   289 289
121 1    144 1    256 1    289 2    361 1    625 1    676 1    

  67
  54
16241663
92612988
  51
  22
5476 2916 6241 1296 8836 1225
625 144 121 256   289 289
121 1    144 1    256 1    289 2    361 1    625 1    676 1    

  56
  61
69144752
93621672
  11
  56
6561 3969 6241 4761 7225 1156
961 441 121 361   676 529
121 1    256 1    361 1    441 1    529 1    576 1    676 1    961 1    

  56
  61
69144752
93621672
  11
  56
6561 3969 6241 4761 7225 1156
961 441 121 361   676 529
121 1    256 1    361 1    441 1    529 1    576 1    676 1    961 1    

  16
  65
22526761
51114292
  24
  25
6561 1225 1521 6724 9216 4225
256 625 441 121   529 225
121 2    225 1    256 1    441 1    529 1    625 1    676 1    

  72
  64
63187976
43165614
  62
  19
6724 3364 1681 7569 1764 2916
361 784 256 361   961 144
144 1    256 1    361 2    676 1    729 1    784 1    961 1    

  72
  64
63187976
43165614
  62
  19
6724 3364 1681 7569 1764 2916
361 784 256 361   961 144
144 1    256 1    361 2    676 1    729 1    784 1    961 1    

  72
  64
69114115
57267616
  95
  23
6724 7569 2116 4761 1156 5329
961 441 576 729   361 256
121 1    256 1    361 1    441 1    576 2    729 1    961 1    

  98
  68
65744921
16744896
  61
  92
6889 6561 7744 4489 9216 1296
576 484 144 676   289 961
144 1    169 1    196 1    289 2    484 1    576 1    676 1    961 1    

  98
  68
65744921
16744896
  61
  92
6889 6561 7744 4489 9216 1296
576 484 144 676   289 961
144 1    169 1    196 1    289 2    484 1    576 1    676 1    961 1    

  52
  72
25652972
11116164
  23
  49
7225 1521 1156 2916 6724 3249
576 225 361 121   961 441
121 1    225 2    361 1    441 1    576 1    729 1    961 1    

  52
  72
26652976
44116141
  43
  48
7225 4624 1156 2916 4761 3844
676 225 361 441   841 441
225 1    361 1    441 2    625 1    676 1    729 1    841 1    

  52
  72
26643976
44892441
  45
  81
7225 4624 8649 3249 4761 5184
676 324 529 484   144 841
144 1    324 1    484 1    529 1    625 1    676 1    729 1    841 1    

  52
  72
26643976
44892441
  45
  81
7225 4624 8649 3249 4761 5184
676 324 529 484   144 841
144 1    324 1    484 1    529 1    625 1    676 1    729 1    841 1    

  56
  79
25627522
21442245
  43
  63
7569 1225 4624 7225 4225 3364
576 729 324 144   324 625
144 1    225 1    256 1    324 2    576 1    625 1    729 1    

  56
  79
25627522
21442245
  43
  63
7569 1225 4624 7225 4225 3364
576 729 324 144   324 625
144 1    225 1    256 1    324 2    576 1    625 1    729 1    

  56
  79
25682916
24116165
  43
  63
7569 4225 1681 2916 6561 3364
576 289 361 441   361 625
169 1    196 1    289 1    361 2    441 1    576 1    625 2    

  92
  71
25621567
24441254
  88
  36
7921 4225 4624 1521 5476 8836
576 121 841 484   625 324
121 1    324 1    484 1    576 1    625 2    729 1    841 1    

  92
  71
25621567
27441254
  88
  36
7921 7225 4624 1521 5476 8836
576 121 841 784   625 324
121 1    324 1    576 1    625 2    729 1    784 1    841 1    

  92
  71
26644565
44892211
  45
  81
7921 4624 8649 4225 1156 5184
676 441 529 484   121 841
121 1    441 1    484 1    529 2    625 1    676 1    841 1    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  23
8464 7225 2916 4761 1936 5329
289 441 576 729   361 256
256 1    289 1    324 1    361 1    441 1    576 1    729 1    961 1    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  29
8464 7225 2916 4761 1936 5929
289 441 576 729   961 256
256 1    289 1    324 1    441 1    576 1    729 1    961 2    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  29
8464 7225 2916 4761 1936 5929
289 441 576 729   961 256
256 1    289 1    324 1    441 1    576 1    729 1    961 2    

  46
  84
12941768
69184611
  67
  93
8464 9216 1849 1764 1681 7396
289 144 784 961   361 961
144 1    289 1    361 1    676 1    784 1    841 1    961 2    

  46
  84
12941768
69184611
  67
  93
8464 9216 1849 1764 1681 7396
289 144 784 961   361 961
144 1    289 1    361 1    676 1    784 1    841 1    961 2    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  23
8464 7225 2916 4761 1936 5329
289 441 576 729   361 256
256 1    289 1    324 1    361 1    441 1    576 1    729 1    961 1    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  29
8464 7225 2916 4761 1936 5929
289 441 576 729   961 256
256 1    289 1    324 1    441 1    576 1    729 1    961 2    

  46
  84
22914193
57267616
  95
  29
8464 7225 2916 4761 1936 5929
289 441 576 729   961 256
256 1    289 1    324 1    441 1    576 1    729 1    961 2    

  46
  84
12941768
69184611
  67
  93
8464 9216 1849 1764 1681 7396
289 144 784 961   361 961
144 1    289 1    361 1    676 1    784 1    841 1    961 2    

  46
  84
12941768
69184611
  67
  93
8464 9216 1849 1764 1681 7396
289 144 784 961   361 961
144 1    289 1    361 1    676 1    784 1    841 1    961 2    

A couple of words of explanation of the prints are in order:

The Faces are listed in order, A through F.

The vertices are listed in order, except that e and f are not listed and must be derived from the diagram of the cube, as they were what was left, and merely verified they were squares.

The counts are accurate, except in some instances where the count is higher as in

  67
  54
92618661
61929421
  67
  93
5476 1296 9216 8649 2116 7396
256 841 729 196   324 961
169 1    196 2    256 1    324 1    676 1    729 1    841 1    961 1   

where 196 is counted twice erroneously as vertex f is to be taken as 169 and not 196, and it is vertex d that is correctly counted as 196. Be assured there are 8 distinct squares accounted for at separate vertices.

Posted by Charlie on 2008-05-02 17:23:07