Let f : N --> R a function such that:

f(1) = 999 and
f(1) + f(2) + ... + f(n) = n²*f(n)

for all positive integer n.

Evaluate f(1998).

   10      F=999:N=1:Tot=F
   20 
   25   open "f1998.txt" for output as #2
   30    for N=2 to 2000
   40      F=Tot//(N*N-1)
   50      Tot=Tot+F
   60      print #2,N,F
   70    next
   80   close

produces (shown with ellipsis for space considerations--also UBASIC's doubled slashes reduced to single):

 2   333 
 3   333/2 
 4   999/10 
 5   333/5 
 6   333/7 
 7   999/28 
 8   111/4 
 9   111/5 
 10   999/55 
 11   333/22 
 12   333/26 
 13   999/91 
 14   333/35 
 15   333/40 
 16   999/136 
 17   111/17 
 18   111/19 
 19   999/190 
 20   333/70 
 21   333/77 
 22   999/253 
 23   333/92 
 24   333/100 
 25   999/325 
 26   37/13 
 27   37/14 
 28   999/406 
 29   333/145 
 30   333/155 
 31   999/496 
 32   333/176 
 33   333/187 
 34   999/595 
 35   111/70 
 36   3/2 
 37   27/19 
 38   333/247 
 39   333/260 
 40   999/820 
 41   333/287 
 42   333/301 
 43   999/946 
 44   111/110 
 45   111/115 
 46   999/1081 
 47   333/376 
 48   333/392 
 49   999/1225 
 50   333/425 
 51   333/442 
 52   999/1378 
 53   37/53 
 54   37/55 
 55   999/1540 
 56   333/532 
 57   333/551 
 58   999/1711 
 59   333/590 
 60   333/610 
 61   999/1891 
 62   111/217 
 63   111/224 

...

 1976   333/651092 
 1977   333/651751 
 1978   999/1957231 
 1979   111/217690 
 1980   111/217910 
 1981   999/1963171 
 1982   333/655051 
 1983   333/655712 
 1984   999/1969120 
 1985   333/657035 
 1986   333/657697 
 1987   999/1975078 
 1988   111/219674 
 1989   111/219895 
 1990   999/1981045 
 1991   333/661012 
 1992   333/661676 
 1993   999/1987021 
 1994   333/663005 
 1995   333/663670 
 1996   999/1993006 
 1997   1/1997 
 1998   1/1999 
 1999   999/1999000 
 2000   333/667000 

Inspection shows f(n) = 999 * 2 / (n*(n+1)), but in any event, f(1998) = 1/1999.

Posted by Charlie on 2008-10-31 14:23:37