Left side possibilities:
 
 A, B, C and D                                        square, square root
 15  21  28  36                                          100  10 
 780  820  861  903                                      3364  58 
 28203  28441  28680  28920                              114244  338 
 968136  969528  970921  972315                          3880900  1970 
 32946903  32955021  32963140  32971260                  131836324  11482
 1119567540  1119614860  1119662181  1119709503          4478554084  66922 

Right side possibilities:

 E, F, G and H              which triangles            square, square root
 1  6  15  28                1  3  5  7                  100  10 
 28  78  153  253            7  12  17  22               1024  32 
 91  153  231  325           13  17  21  25              1600  40 
 190  351  561  820          19  26  33  40              3844  62 
 28  1953  6903  14878       7  62  117  172             47524  218 
 630  861  1128  1431        35  41  47  53              8100  90 
 45  2415  8385  17955       9  69  129  189             57600  240 
 1  3240  12720  28441       1  80  159  238             88804  298 
 666  1035  1485  2016       36  45  54  63              10404  102 
 351  1953  4851  9045       26  62  98  134             32400  180 
 136  2850  9045  18721      16  75  134  193            61504  248 
 406  2415  6105  11476      28  69  110  151            40804  202 
 325  2850  7875  15400      25  75  125  175            52900  230 
 820  3240  7260  12880      40  80  120  160            48400  220 
 1711  2415  3240  4186      58  69  80  91              23104  152 
 1485  3570  6555  10440     54  84  114  144            44100  210 
 2278  2850  3486  4186      67  75  83  91              25600  160 
 1225  4656  10296  18145    49  96  143  190            68644  262 
 666  8778  26106  52650     36  132  228  324           176400  420 
 703  8778  25878  52003     37  132  227  322           174724  418 
 3655  4851  6216  7750      85  98  111  124            44944  212 
 4095  8001  13203  19701    90  126  162  198           90000  300 
 3321  10878  22791  39060   81  147  213  279           152100  390 
 5995  7140  8385  9730      109  119  129  139          62500  250 
 253  22155  79401  171991   22  210  398  586           547600  740 
 6903  8778  10878  13203    117  132  147  162          79524  282 
 28  32640  126756  282376   7  255  503  751            883600  940 
 946  25878  84666  177310   43  227  411  595           577600  760 
 4186  22155  54285  100576  91  210  329  448           362404  602               
 325  38781  141246  307720  25  278  531  784           976144  988               
 3403  25878  69378  133903  82  227  372  517           465124  682               

100 is the only square appearing on both lists, and so the first line on each list is the correct one.

S = 2 (A+B+C+D) = 200; W=36, X=49, Y=64, Z=51
Q = 2 (E+F+G+H) = 100; J=7, K=21, L=43, M=29

DECLARE FUNCTION tr# (n#)
DECLARE FUNCTION isTri# (t#)
DEFDBL A-Z
CLS

OPEN "triangsq.txt" FOR OUTPUT AS #2

a = 1: b = 3: c = 6: d = 10
sum = a + b + c + d: adder = 4
DO
 sr = INT(SQR(sum) + .5)
 IF sr * sr = sum THEN PRINT a; b; c; d, sum; sr: PRINT #2, a; b; c; d, sum; sr
 adder = adder + 1
 e = d + adder
 sum = sum - a + e
 a = b: b = c: c = d: d = e
LOOP UNTIL sr > 100000
PRINT : PRINT
PRINT #2, : PRINT #2,

FOR t = 3 TO 10000
  FOR a = 1 TO t / 2
     IF a < t / 2 THEN
       b = t - a
       t1 = tr(a)
       t2 = tr(b)
       t3 = tr(2 * b - a)
       t4 = tr(3 * b - 2 * a)
       tot = 2 * (t1 + t2 + t3 + t4)
       sr = INT(SQR(tot) + .5)
       IF sr * sr = tot THEN
          PRINT t1; t2; t3; t4, isTri(t1); isTri(t2); isTri(t3); isTri(t4); , tot; sr
          PRINT #2, t1; t2; t3; t4, isTri(t1); isTri(t2); isTri(t3); isTri(t4); , tot; sr
          ct = ct + 1
          IF ct > 30 THEN END
       END IF
     END IF
  NEXT a
NEXT t

CLOSE

FUNCTION isTri (t)
 n = INT(SQR(t * 2))
 np = n + 1
 IF n * np = 2 * t THEN isTri = n:  ELSE isTri = 0
END FUNCTION

FUNCTION tr (n)
 tr = n * (n + 1) / 2
END FUNCTION