Determine the maximum value of a prime number x ≤ 999, such that Y has precisely 42 distinct positive integer divisors (including 1 and Y), where:
Y = x(x+1)².

    5   open "primdd.txt" for output as #2
   10   while X<999
   20     X=nxtprm(X)
   30     Y=X*(X+1)^2
   35     Ndiv=0
   40     for D=1 to int(sqrt(Y))
   50       if Y @ D=0 then inc Ndiv:if D*D<Y then inc Ndiv
   60     next
   70     if Ndiv=42 then print #2,X,Y
   71     :for D=1 to int(sqrt(Y))
   72     :if Y @ D=0 then print #2,D;:if D*D<Y then print #2,Y//D;:endif:endif
   73     :next:print #2,:print #2,
   80   wend

shows there are seven such prime values x under 999, the largest of which is 823.

The valid values of x and y, followed by the factors themselves, are (given in pairs that multiply to the given Y value):

 23   13248
 1  13248  2  6624  3  4416  4  3312  6  2208  8  1656  9  1472  12  1104  16  828  18  736  23  576  24  552  32  414  36  368  46  288  48  276  64  207  69  192  72  184  92  144  96  138

 53   154548
 1  154548  2  77274  3  51516  4  38637  6  25758  9  17172  12  12879  18  8586  27  5724  36  4293  53  2916  54  2862  81  1908  106  1458  108  1431  159  972  162  954  212  729  243  636  318  486  324  477

 103   1114048
 1  1114048  2  557024  4  278512  8  139256  13  85696  16  69628  26  42848  32  34814  52  21424  64  17407  103  10816  104  10712  169  6592  206  5408  208  5356  338  3296  412  2704  416  2678  676  1648  824  1352  832  1339

 151   3488704
 1  3488704  2  1744352  4  872176  8  436088  16  218044  19  183616  32  109022  38  91808  64  54511  76  45904  151  23104  152  22952  302  11552  304  11476  361  9664  604  5776  608  5738  722  4832  1208  2888  1216  2869  1444  2416

 487   115976128
 1  115976128  2  57988064  4  28994032  8  14497016  16  7248508  32  3624254  61  1901248  64  1812127  122  950624  244  475312  487  238144  488  237656  974  119072  976  118828  1948  59536  1952  59414  3721  31168  3896  29768  3904  29707  7442  15584  7792  14884

 631   252036544
 1  252036544  2  126018272  4  63009136  8  31504568  16  15752284  32  7876142  64  3938071  79  3190336  158  1595168  316  797584  631  399424  632  398792  1262  199712  1264  199396  2524  99856  2528  99698  5048  49928  5056  49849  6241  40384  10096  24964  12482  20192

 823   558797248
 1  558797248  2  279398624  4  139699312  8  69849656  16  34924828  32  17462414  64  8731207  103  5425216  206  2712608  412  1356304  823  678976  824  678152  1646  339488  1648  339076  3292  169744  3296  169538  6584  84872  6592  84769  10609  52672  13168  42436  21218  26336

823*(823+1)^2 = 558797248 = 2*2*2*2*2*2*103*103*823

7 choices of how many factors of 2 to include
3 choices of how many factors of 103 to include
2 choices of whether to include 823 as a factor in the potential divisor.

7*3*2 = 42.

Posted by Charlie on 2010-06-17 13:42:21