What is the probability that a randomly chosen three-digit number (000 to 999 inclusive) is eligible to appear at the end of a seventh power of an integer?

(In reply to computer solution by Charlie)

The ways of producing the given digits, up to a limit of 30 ways each, are as follows (for example, to get a number ending in 008, start with 162, 412, 662 or 912):

000   000 010 020 030 040 050 060 070 080 090 100 110 120 130 140 150 160 170
180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290
001   001
003   627
007   343
008   162 412 662 912
009   129
011   731
013   397
016   196 446 696 946
017   513
019   659
021   061
023   967
024   074 324 574 824
027   883
029   589
031   991
032   018 268 518 768
033   337
037   453
039   919
041   521
043   507
047   223
048   142 392 642 892
049   649
051   651
053   477
056   066 316 566 816
057   193
059   779
061   381
063   247
064   244 494 744 994
067   363
069   309
071   711
072   148 398 648 898
073   817
077   733
079   239
081   641
083   187
087   303
088   172 422 672 922
089   569
091   171
093   357
096   036 286 536 786
097   073
099   299
101   301
103   327
104   064 314 564 814
107   043
109   429
111   031
112   228 478 728 978
113   097
117   213
119   959
121   361
123   667
125   005 045 085 125 165 205 245 285 325 365 405 445 485 525 565 605 645 685
725 765 805 845 885 925 965
127   583
128   002 252 502 752
129   889
131   291
133   037
136   106 356 606 856
137   153
139   219
141   821
143   207
144   034 284 534 784
147   923
149   949
151   951
152   008 258 508 758
153   177
157   893
159   079
161   681
163   947
167   063
168   132 382 632 882
169   609
171   011
173   517
176   026 276 526 776
177   433
179   539
181   941
183   887
184   154 404 654 904
187   003
189   869
191   471
192   238 488 738 988
193   057
197   773
199   599
201   601
203   027
207   743
208   062 312 562 812
209   729
211   331
213   797
216   046 296 546 796
217   913
219   259
221   661
223   367
224   174 424 674 924
227   283
229   189
231   591
232   168 418 668 918
233   737
237   853
239   519
241   121
243   907
247   623
248   042 292 542 792
249   249
251   251
253   877
256   166 416 666 916
257   593
259   379
261   981
263   647
264   094 344 594 844
267   763
269   909
271   311
272   048 298 548 798
273   217
277   133
279   839
281   241
283   587
287   703
288   072 322 572 822
289   169
291   771
293   757
296   136 386 636 886
297   473
299   899
301   901
303   727
304   164 414 664 914
307   443
309   029
311   631
312   128 378 628 878
313   497
317   613
319   559
321   961
323   067
327   983
328   152 402 652 902
329   489
331   891
333   437
336   206 456 706 956
337   553
339   819
341   421
343   607
344   134 384 634 884
347   323
349   549
351   551
352   158 408 658 908
353   577
357   293
359   679
361   281
363   347
367   463
368   032 282 532 782
369   209
371   611
373   917
375   015 055 095 135 175 215 255 295 335 375 415 455 495 535 575 615 655 695
735 775 815 855 895 935 975
376   126 376 626 876
377   833
379   139
381   541
383   287
384   004 254 504 754
387   403
389   469
391   071
392   138 388 638 888
393   457
397   173
399   199
401   201
403   427
407   143
408   212 462 712 962
409   329
411   931
413   197
416   146 396 646 896
417   313
419   859
421   261
423   767
424   024 274 524 774
427   683
429   789
431   191
432   068 318 568 818
433   137
437   253
439   119
441   721
443   307
447   023
448   192 442 692 942
449   849
451   851
453   277
456   016 266 516 766
457   993
459   979
461   581
463   047
464   194 444 694 944
467   163
469   509
471   911
472   198 448 698 948
473   617
477   533
479   439
481   841
483   987
487   103
488   222 472 722 972
489   769
491   371
493   157
496   236 486 736 986
497   873
499   499
501   501
503   127
504   014 264 514 764
507   843
509   629
511   231
512   028 278 528 778
513   897
517   013
519   159
521   561
523   467
527   383
528   052 302 552 802
529   089
531   491
533   837
536   056 306 556 806
537   953
539   419
541   021
543   007
544   234 484 734 984
547   723
549   149
551   151
552   058 308 558 808
553   977
557   693
559   279
561   881
563   747
567   863
568   182 432 682 932
569   809
571   211
573   317
576   226 476 726 976
577   233
579   739
581   141
583   687
584   104 354 604 854
587   803
589   069
591   671
592   038 288 538 788
593   857
597   573
599   799
601   801
603   827
607   543
608   112 362 612 862
609   929
611   531
613   597
616   246 496 746 996
617   713
619   459
621   861
623   167
624   124 374 624 874
625   025 065 105 145 185 225 265 305 345 385 425 465 505 545 585 625 665 705
745 785 825 865 905 945 985
627   083
629   389
631   791
632   218 468 718 968
633   537
637   653
639   719
641   321
643   707
647   423
648   092 342 592 842
649   449
651   451
653   677
656   116 366 616 866
657   393
659   579
661   181
663   447
664   044 294 544 794
667   563
669   109
671   511
672   098 348 598 848
673   017
677   933
679   039
681   441
683   387
687   503
688   122 372 622 872
689   369
691   971
693   557
696   086 336 586 836
697   273
699   099
701   101
703   527
704   114 364 614 864
707   243
709   229
711   831
712   178 428 678 928
713   297
717   413
719   759
721   161
723   867
727   783
728   202 452 702 952
729   689
731   091
733   237
736   156 406 656 906
737   353
739   019
741   621
743   407
744   084 334 584 834
747   123
749   749
751   751
752   208 458 708 958
753   377
757   093
759   879
761   481
763   147
767   263
768   082 332 582 832
769   409
771   811
773   717
776   076 326 576 826
777   633
779   339
781   741
783   087
784   204 454 704 954
787   203
789   669
791   271
792   188 438 688 938
793   257
797   973
799   399
801   401
803   227
807   943
808   012 262 512 762
809   529
811   131
813   997
816   096 346 596 846
817   113
819   059
821   461
823   567
824   224 474 724 974
827   483
829   989
831   391
832   118 368 618 868
833   937
837   053
839   319
841   921
843   107
847   823
848   242 492 742 992
849   049
851   051
853   077
856   216 466 716 966
857   793
859   179
861   781
863   847
864   144 394 644 894
867   963
869   709
871   111
872   248 498 748 998
873   417
875   035 075 115 155 195 235 275 315 355 395 435 475 515 555 595 635 675 715
755 795 835 875 915 955 995
877   333
879   639
881   041
883   787
887   903
888   022 272 522 772
889   969
891   571
893   957
896   186 436 686 936
897   673
899   699
901   701
903   927
904   214 464 714 964
907   643
909   829
911   431
912   078 328 578 828
913   697
917   813
919   359
921   761
923   267
927   183
928   102 352 602 852
929   289
931   691
933   637
936   006 256 506 756
937   753
939   619
941   221
943   807
944   184 434 684 934
947   523
949   349
951   351
952   108 358 608 858
953   777
957   493
959   479
961   081
963   547
967   663
968   232 482 732 982
969   009
971   411
973   117
976   176 426 676 926
977   033
979   939
981   341
983   487
984   054 304 554 804
987   603
989   269
991   871
992   088 338 588 838
993   657
997   373
999   999

 

Posted by Charlie on 2011-02-14 11:15:24