All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Squaring Up The Digits (Posted on 2011-07-28) Difficulty: 2 of 5
Each of X1 and X2 represents a nonzero digit of the 2-digit base M positive integer X1X2; where X1 and X2 are not necessarily distinct.

Determine the possible positive integer values of M, with 2 ≤ M ≤ 101, such that this equation has at least one valid solution.

X12 + X22 = X1X2

Note: X1X2 denotes the concatenation of the two digits.

No Solution Yet Submitted by K Sengupta    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solution | Comment 1 of 2

82 values of M work:

 3  5  7  8  9  11  12  13  15  17  18  19  21  22  23  25  27  28  29  30  31
 32  33  34  35  37  38  39  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53
 55  57  58  59  60  61  62  63  64  65  67  68  69  70  71  72  73  75  76  77
 78  79  80  81  82  83  85  86  87  88  89  91  92  93  95  96  97  98  99
 100  101

The 18 values of M that don't work are:

2  4  6  10  14  16  20  24  26  36  40  54  56  66  74  84  90  94

which, as you can see, are all even, but certainly not all the even numbers.

The specific x1 and x2 values for solutions are:

     decimal             decimal
base  rep of            values of
  M   x1  x2            LHS & RHS
  3:   1   2                 5
  3:   2   2                 8
  5:   2   3                13
  5:   3   3                18
  7:   1   3                10
  7:   3   4                25
  7:   4   4                32
  7:   6   3                45
  8:   2   4                20
  8:   6   4                52
  9:   4   5                41
  9:   5   5                50
 11:   5   6                61
 11:   6   6                72
 12:   2   5                29
 12:  10   5               125
 13:   1   4                17
 13:   3   6                45
 13:   6   7                85
 13:   7   7                98
 13:  10   6               136
 13:  12   4               160
 15:   7   8               113
 15:   8   8               128
 17:   2   6                40
 17:   3   7                58
 17:   8   9               145
 17:   9   9               162
 17:  14   7               245
 17:  15   6               261
 18:   4   8                80
 18:   6   9               117
 18:  12   9               225
 18:  14   8               260
 19:   9  10               181
 19:  10  10               200
 21:   1   5                26
 21:   6  10               136
 21:  10  11               221
 21:  11  11               242
 21:  15  10               325
 21:  20   5               425
 22:   4   9                97
 22:  18   9               405
 23:   2   7                53
 23:   5  10               125
 23:  11  12               265
 23:  12  12               288
 23:  18  10               424
 23:  21   7               490
 25:  12  13               313
 25:  13  13               338
 27:   3   9                90
 27:   5  11               146
 27:  13  14               365
 27:  14  14               392
 27:  22  11               605
 27:  24   9               657
 28:   6  12               180
 28:  22  12               628
 29:  14  15               421
 29:  15  15               450
 30:   2   8                68
 30:  28   8               848
 31:   1   6                37
 31:  10  15               325
 31:  15  16               481
 31:  16  16               512
 31:  21  15               666
 31:  30   6               936
 32:   6  13               205
 32:  12  16               400
 32:  20  16               656
 32:  26  13               845
 33:   3  10               109
 33:   7  14               245
 33:  16  17               545
 33:  17  17               578
 33:  26  14               872
 33:  30  10              1000
 34:  10  16               356
 34:  24  16               832
 35:  17  18               613
 35:  18  18               648
 37:   4  12               160
 37:   7  15               274
 37:  18  19               685
 37:  19  19               722
 37:  30  15              1125
 37:  33  12              1233
 38:   2   9                85
 38:   8  16               320
 38:  30  16              1156
 38:  36   9              1377
 39:  19  20               761
 39:  20  20               800
 41:   6  15               261
 41:  20  21               841
 41:  21  21               882
 41:  35  15              1450
 42:   8  17               353
 42:  34  17              1445
 43:   1   7                50
 43:   4  13               185
 43:   9  18               405
 43:  15  21               666
 43:  21  22               925
 43:  22  22               968
 43:  28  21              1225
 43:  34  18              1480
 43:  39  13              1690
 43:  42   7              1813
 44:  14  21               637
 44:  30  21              1341
 45:  22  23              1013
 45:  23  23              1058
 46:   6  16               292
 46:  40  16              1856
 47:   2  10               104
 47:   3  12               153
 47:   5  15               250
 47:   9  19               442
 47:  12  21               585
 47:  14  22               680
 47:  23  24              1105
 47:  24  24              1152
 47:  33  22              1573
 47:  35  21              1666
 47:  38  19              1805
 47:  42  15              1989
 47:  44  12              2080
 47:  45  10              2125
 48:  10  20               500
 48:  38  20              1844
 49:  24  25              1201
 49:  25  25              1250
 50:  20  25              1025
 50:  30  25              1525
 51:  25  26              1301
 51:  26  26              1352
 52:  10  21               541
 52:  42  21              2205
 53:   5  16               281
 53:  11  22               605
 53:  26  27              1405
 53:  27  27              1458
 53:  42  22              2248
 53:  48  16              2560
 55:   3  13               178
 55:  15  25               850
 55:  27  28              1513
 55:  28  28              1568
 55:  40  25              2225
 55:  52  13              2873
 57:   1   8                65
 57:   2  11               125
 57:   6  18               360
 57:  11  23               650
 57:  18  27              1053
 57:  21  28              1225
 57:  28  29              1625
 57:  29  29              1682
 57:  36  28              2080
 57:  39  27              2250
 57:  46  23              2645
 57:  51  18              2925
 57:  55  11              3146
 57:  56   8              3200
 58:  12  24               720
 58:  46  24              2692
 59:  29  30              1741
 59:  30  30              1800
 60:  18  28              1108
 60:  42  28              2548
 61:  30  31              1861
 61:  31  31              1922
 62:  12  25               769
 62:  50  25              3125
 63:   6  19               397
 63:  13  26               845
 63:  31  32              1985
 63:  32  32              2048
 63:  50  26              3176
 63:  57  19              3610
 64:   4  16               272
 64:  60  16              3856
 65:  32  33              2113
 65:  33  33              2178
 67:   7  21               490
 67:  13  27               898
 67:  33  34              2245
 67:  34  34              2312
 67:  54  27              3645
 67:  60  21              4041
 68:   2  12               148
 68:  14  28               980
 68:  24  33              1665
 68:  44  33              3025
 68:  54  28              3700
 68:  66  12              4500
 69:  34  35              2381
 69:  35  35              2450
 70:  10  25               725
 70:  22  33              1573
 70:  48  33              3393
 70:  60  25              4225
 71:  35  36              2521
 71:  36  36              2592
 72:   4  17               305
 72:  14  29              1037
 72:  30  36              2196
 72:  42  36              3060
 72:  58  29              4205
 72:  68  17              4913
 73:   1   9                82
 73:   3  15               234
 73:   7  22               533
 73:  15  30              1125
 73:  22  34              1640
 73:  28  36              2080
 73:  36  37              2665
 73:  37  37              2738
 73:  45  36              3321
 73:  51  34              3757
 73:  58  30              4264
 73:  66  22              4840
 73:  70  15              5125
 73:  72   9              5265
 75:  10  26               776
 75:  12  28               928
 75:  37  38              2813
 75:  38  38              2888
 75:  63  28              4753
 75:  65  26              4901
 76:   6  21               477
 76:  70  21              5341
 77:   8  24               640
 77:  15  31              1186
 77:  38  39              2965
 77:  39  39              3042
 77:  62  31              4805
 77:  69  24              5337
 78:  16  32              1280
 78:  62  32              4868
 79:  39  40              3121
 79:  40  40              3200
 80:   2  13               173
 80:  78  13              6253
 81:   5  20               425
 81:  21  36              1737
 81:  40  41              3281
 81:  41  41              3362
 81:  60  36              4896
 81:  76  20              6176
 82:  16  33              1345
 82:  30  40              2500
 82:  52  40              4304
 82:  66  33              5445
 83:   3  16               265
 83:   6  22               520
 83:   8  25               689
 83:  17  34              1445
 83:  20  36              1696
 83:  26  39              2197
 83:  41  42              3445
 83:  42  42              3528
 83:  57  39              4770
 83:  63  36              5265
 83:  66  34              5512
 83:  75  25              6250
 83:  77  22              6413
 83:  80  16              6656
 85:  42  43              3613
 85:  43  43              3698
 86:  26  40              2276
 86:  60  40              5200
 87:   9  27               810
 87:  17  35              1514
 87:  43  44              3785
 87:  44  44              3872
 87:  70  35              6125
 87:  78  27              6813
 88:  18  36              1620
 88:  70  36              6196
 89:   5  21               466
 89:  24  40              2176
 89:  44  45              3961
 89:  45  45              4050
 89:  65  40              5825
 89:  84  21              7497
 91:   1  10               101
 91:  36  45              3321
 91:  45  46              4141
 91:  46  46              4232
 91:  55  45              5050
 91:  90  10              8200
 92:  18  37              1693
 92:  74  37              6845
 93:   2  14               200
 93:   9  28               865
 93:  19  38              1805
 93:  33  45              3114
 93:  46  47              4325
 93:  47  47              4418
 93:  60  45              5625
 93:  74  38              6920
 93:  84  28              7840
 93:  91  14              8477
 95:  47  48              4513
 95:  48  48              4608
 96:  30  45              2925
 96:  66  45              6381
 97:  10  30              1000
 97:  19  39              1882
 97:  48  49              4705
 97:  49  49              4802
 97:  78  39              7605
 97:  87  30              8469
 98:   6  24               612
 98:  20  40              2000
 98:  42  49              4165
 98:  56  49              5537
 98:  78  40              7684
 98:  92  24              9040
 99:   4  20               416
 99:  14  35              1421
 99:  15  36              1521
 99:  30  46              3016
 99:  49  50              4901
 99:  50  50              5000
 99:  69  46              6877
 99:  84  36              8352
 99:  85  35              8450
 99:  95  20              9425
100:  12  33              1233
100:  88  33              8833
101:  50  51              5101
101:  51  51              5202


 

DEFDBL A-Z
CLS
OPEN "squpdigs.txt" FOR OUTPUT AS #2
FOR m = 2 TO 101
 done = 0
 FOR x1 = 1 TO m - 1
 FOR x2 = 1 TO m - 1
  lhs = x1 * x1 + x2 * x2
  rhs = x1 * m + x2
  IF lhs = rhs THEN
     PRINT #2, USING "###: ### ###          ########"; m; x1; x2; rhs
     IF done = 0 THEN PRINT m; : ct = ct + 1
     done = 1
  END IF
 NEXT
 NEXT
NEXT
CLOSE
PRINT : PRINT : PRINT ct

 


  Posted by Charlie on 2011-07-28 13:38:25
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (2)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information