Consider a series of numbers, defined as follows:
Starting with any natural number, each member is a sum of the squares of the previous member`s digits.

Prove : The series always reaches either a stuck-on-one sequence: 1,1,1… or a closed loop of the following 8 numbers: 145,42,20,4,16,37,58,89, ...

Ex1: 12345,55,50,25,29,85,89,145….. etc
Ex2: 66,72,53,34,25,29,85,89,145…
Ex3: 91,10,1,1,1…..

This program:

DEFDBL A-Z
CLS
FOR n = 1 TO 999
 ns = n
 DO
   s$ = LTRIM$(STR$(ns))
   t = 0
   FOR i = 1 TO LEN(s$)
     t = t + VAL(MID$(s$, i, 1)) * VAL(MID$(s$, i, 1))
   NEXT
   ns = t
   IF ns = 4 OR ns = 1 THEN
    PRINT USING "### #   "; n; ns;
    IF n MOD 400 = 0 THEN DO: LOOP UNTIL INKEY$ > ""
    EXIT DO
   END IF
 LOOP
NEXT

verifies that for all natural numbers of three or fewer digits, the process does indeed lead to either the repeating 1's or the cycle that includes the 4, and reports which of these is the case:

  1 1     2 4     3 4     4 4     5 4     6 4     7 1     8 4     9 4    10 1
 11 4    12 4    13 1    14 4    15 4    16 4    17 4    18 4    19 1    20 4
 21 4    22 4    23 1    24 4    25 4    26 4    27 4    28 1    29 4    30 4
 31 1    32 1    33 4    34 4    35 4    36 4    37 4    38 4    39 4    40 4
 41 4    42 4    43 4    44 1    45 4    46 4    47 4    48 4    49 1    50 4
 51 4    52 4    53 4    54 4    55 4    56 4    57 4    58 4    59 4    60 4
 61 4    62 4    63 4    64 4    65 4    66 4    67 4    68 1    69 4    70 1
 71 4    72 4    73 4    74 4    75 4    76 4    77 4    78 4    79 1    80 4
 81 4    82 1    83 4    84 4    85 4    86 1    87 4    88 4    89 4    90 4
 91 1    92 4    93 4    94 1    95 4    96 4    97 1    98 4    99 4   100 1
101 4   102 4   103 1   104 4   105 4   106 4   107 4   108 4   109 1   110 4
111 4   112 4   113 4   114 4   115 4   116 4   117 4   118 4   119 4   120 4
121 4   122 4   123 4   124 4   125 4   126 4   127 4   128 4   129 1   130 1
131 4   132 4   133 1   134 4   135 4   136 4   137 4   138 4   139 1   140 4
141 4   142 4   143 4   144 4   145 4   146 4   147 4   148 4   149 4   150 4
151 4   152 4   153 4   154 4   155 4   156 4   157 4   158 4   159 4   160 4
161 4   162 4   163 4   164 4   165 4   166 4   167 1   168 4   169 4   170 4
171 4   172 4   173 4   174 4   175 4   176 1   177 4   178 4   179 4   180 4
181 4   182 4   183 4   184 4   185 4   186 4   187 4   188 1   189 4   190 1
191 4   192 1   193 1   194 4   195 4   196 4   197 4   198 4   199 4   200 4
201 4   202 4   203 1   204 4   205 4   206 4   207 4   208 1   209 4   210 4
211 4   212 4   213 4   214 4   215 4   216 4   217 4   218 4   219 1   220 4
221 4   222 4   223 4   224 4   225 4   226 1   227 4   228 4   229 4   230 1
231 4   232 4   233 4   234 4   235 4   236 1   237 4   238 4   239 1   240 4
241 4   242 4   243 4   244 4   245 4   246 4   247 4   248 4   249 4   250 4
251 4   252 4   253 4   254 4   255 4   256 4   257 4   258 4   259 4   260 4
261 4   262 1   263 1   264 4   265 4   266 4   267 4   268 4   269 4   270 4
271 4   272 4   273 4   274 4   275 4   276 4   277 4   278 4   279 4   280 1
281 4   282 4   283 4   284 4   285 4   286 4   287 4   288 4   289 4   290 4
291 1   292 4   293 1   294 4   295 4   296 4   297 4   298 4   299 4   300 4
301 1   302 1   303 4   304 4   305 4   306 4   307 4   308 4   309 4   310 1
311 4   312 4   313 1   314 4   315 4   316 4   317 4   318 4   319 1   320 1
321 4   322 4   323 4   324 4   325 4   326 1   327 4   328 4   329 1   330 4
331 1   332 4   333 4   334 4   335 4   336 4   337 4   338 1   339 4   340 4
341 4   342 4   343 4   344 4   345 4   346 4   347 4   348 4   349 4   350 4
351 4   352 4   353 4   354 4   355 4   356 1   357 4   358 4   359 4   360 4
361 4   362 1   363 4   364 4   365 1   366 4   367 1   368 1   369 4   370 4
371 4   372 4   373 4   374 4   375 4   376 1   377 4   378 4   379 1   380 4
381 4   382 4   383 1   384 4   385 4   386 1   387 4   388 4   389 4   390 4
391 1   392 1   393 4   394 4   395 4   396 4   397 1   398 4   399 4   400 4
401 4   402 4   403 4   404 1   405 4   406 4   407 4   408 4   409 1   410 4
411 4   412 4   413 4   414 4   415 4   416 4   417 4   418 4   419 4   420 4
421 4   422 4   423 4   424 4   425 4   426 4   427 4   428 4   429 4   430 4
431 4   432 4   433 4   434 4   435 4   436 4   437 4   438 4   439 4   440 1
441 4   442 4   443 4   444 4   445 4   446 1   447 4   448 4   449 4   450 4
451 4   452 4   453 4   454 4   455 4   456 4   457 4   458 4   459 4   460 4
461 4   462 4   463 4   464 1   465 4   466 4   467 4   468 4   469 1   470 4
471 4   472 4   473 4   474 4   475 4   476 4   477 4   478 1   479 4   480 4
481 4   482 4   483 4   484 4   485 4   486 4   487 1   488 4   489 4   490 1
491 4   492 4   493 4   494 4   495 4   496 1   497 4   498 4   499 4   500 4
501 4   502 4   503 4   504 4   505 4   506 4   507 4   508 4   509 4   510 4
511 4   512 4   513 4   514 4   515 4   516 4   517 4   518 4   519 4   520 4
521 4   522 4   523 4   524 4   525 4   526 4   527 4   528 4   529 4   530 4
531 4   532 4   533 4   534 4   535 4   536 1   537 4   538 4   539 4   540 4
541 4   542 4   543 4   544 4   545 4   546 4   547 4   548 4   549 4   550 4
551 4   552 4   553 4   554 4   555 4   556 1   557 4   558 4   559 4   560 4
561 4   562 4   563 1   564 4   565 1   566 1   567 4   568 4   569 4   570 4
571 4   572 4   573 4   574 4   575 4   576 4   577 4   578 4   579 4   580 4
581 4   582 4   583 4   584 4   585 4   586 4   587 4   588 4   589 4   590 4
591 4   592 4   593 4   594 4   595 4   596 4   597 4   598 4   599 4   600 4
601 4   602 4   603 4   604 4   605 4   606 4   607 4   608 1   609 4   610 4
611 4   612 4   613 4   614 4   615 4   616 4   617 1   618 4   619 4   620 4
621 4   622 1   623 1   624 4   625 4   626 4   627 4   628 4   629 4   630 4
631 4   632 1   633 4   634 4   635 1   636 4   637 1   638 1   639 4   640 4
641 4   642 4   643 4   644 1   645 4   646 4   647 4   648 4   649 1   650 4
651 4   652 4   653 1   654 4   655 1   656 1   657 4   658 4   659 4   660 4
661 4   662 4   663 4   664 4   665 1   666 4   667 4   668 4   669 4   670 4
671 1   672 4   673 1   674 4   675 4   676 4   677 4   678 4   679 4   680 1
681 4   682 4   683 1   684 4   685 4   686 4   687 4   688 4   689 4   690 4
691 4   692 4   693 4   694 1   695 4   696 4   697 4   698 4   699 4   700 1
701 4   702 4   703 4   704 4   705 4   706 4   707 4   708 4   709 1   710 4
711 4   712 4   713 4   714 4   715 4   716 1   717 4   718 4   719 4   720 4
721 4   722 4   723 4   724 4   725 4   726 4   727 4   728 4   729 4   730 4
731 4   732 4   733 4   734 4   735 4   736 1   737 4   738 4   739 1   740 4
741 4   742 4   743 4   744 4   745 4   746 4   747 4   748 1   749 4   750 4
751 4   752 4   753 4   754 4   755 4   756 4   757 4   758 4   759 4   760 4
761 1   762 4   763 1   764 4   765 4   766 4   767 4   768 4   769 4   770 4
771 4   772 4   773 4   774 4   775 4   776 4   777 4   778 4   779 4   780 4
781 4   782 4   783 4   784 1   785 4   786 4   787 4   788 4   789 4   790 1
791 4   792 4   793 1   794 4   795 4   796 4   797 4   798 4   799 4   800 4
801 4   802 1   803 4   804 4   805 4   806 1   807 4   808 4   809 4   810 4
811 4   812 4   813 4   814 4   815 4   816 4   817 4   818 1   819 4   820 1
821 4   822 4   823 4   824 4   825 4   826 4   827 4   828 4   829 4   830 4
831 4   832 4   833 1   834 4   835 4   836 1   837 4   838 4   839 4   840 4
841 4   842 4   843 4   844 4   845 4   846 4   847 1   848 4   849 4   850 4
851 4   852 4   853 4   854 4   855 4   856 4   857 4   858 4   859 4   860 1
861 4   862 4   863 1   864 4   865 4   866 4   867 4   868 4   869 4   870 4
871 4   872 4   873 4   874 1   875 4   876 4   877 4   878 4   879 4   880 4
881 1   882 4   883 4   884 4   885 4   886 4   887 4   888 1   889 4   890 4
891 4   892 4   893 4   894 4   895 4   896 4   897 4   898 4   899 1   900 4
901 1   902 4   903 4   904 1   905 4   906 4   907 1   908 4   909 4   910 1
911 4   912 1   913 1   914 4   915 4   916 4   917 4   918 4   919 4   920 4
921 1   922 4   923 1   924 4   925 4   926 4   927 4   928 4   929 4   930 4
931 1   932 1   933 4   934 4   935 4   936 4   937 1   938 4   939 4   940 1
941 4   942 4   943 4   944 4   945 4   946 1   947 4   948 4   949 4   950 4
951 4   952 4   953 4   954 4   955 4   956 4   957 4   958 4   959 4   960 4
961 4   962 4   963 4   964 1   965 4   966 4   967 4   968 4   969 4   970 1
971 4   972 4   973 1   974 4   975 4   976 4   977 4   978 4   979 4   980 4
981 4   982 4   983 4   984 4   985 4   986 4   987 4   988 4   989 1   990 4
991 4   992 4   993 4   994 4   995 4   996 4   997 4   998 1   999 4

The highest total of squares of digits that can be achieved with a 4-digit number is 4*81 = 324, which is a 3-digit number, and so all 4-digit numbers eventually fall into this set.  Similarly for all natural numbers with larger numbers of digits, the sum of the squares of the digits has fewer digits than the number itself and therefore the series continues on to this set presented here.

Posted by Charlie on 2011-03-07 15:15:40