All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Two happy ends (Posted on 2011-03-07)
Consider a series of numbers, defined as follows:
Starting with any natural number, each member is a sum of the squares of the previous member`s digits.

Prove : The series always reaches either a stuck-on-one sequence: 1,1,1… or a closed loop of the following 8 numbers: 145,42,20,4,16,37,58,89, ...

Ex1: 12345,55,50,25,29,85,89,145….. etc
Ex2: 66,72,53,34,25,29,85,89,145…
Ex3: 91,10,1,1,1…..

 See The Solution Submitted by Ady TZIDON No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 solution | Comment 2 of 11 |

This program:

DEFDBL A-Z
CLS
FOR n = 1 TO 999
ns = n
DO
s\$ = LTRIM\$(STR\$(ns))
t = 0
FOR i = 1 TO LEN(s\$)
t = t + VAL(MID\$(s\$, i, 1)) * VAL(MID\$(s\$, i, 1))
NEXT
ns = t
IF ns = 4 OR ns = 1 THEN
PRINT USING "### #   "; n; ns;
IF n MOD 400 = 0 THEN DO: LOOP UNTIL INKEY\$ > ""
EXIT DO
END IF
LOOP
NEXT

verifies that for all natural numbers of three or fewer digits, the process does indeed lead to either the repeating 1's or the cycle that includes the 4, and reports which of these is the case:

`  1 1     2 4     3 4     4 4     5 4     6 4     7 1     8 4     9 4    10 1 11 4    12 4    13 1    14 4    15 4    16 4    17 4    18 4    19 1    20 4 21 4    22 4    23 1    24 4    25 4    26 4    27 4    28 1    29 4    30 4 31 1    32 1    33 4    34 4    35 4    36 4    37 4    38 4    39 4    40 4 41 4    42 4    43 4    44 1    45 4    46 4    47 4    48 4    49 1    50 4 51 4    52 4    53 4    54 4    55 4    56 4    57 4    58 4    59 4    60 4 61 4    62 4    63 4    64 4    65 4    66 4    67 4    68 1    69 4    70 1 71 4    72 4    73 4    74 4    75 4    76 4    77 4    78 4    79 1    80 4 81 4    82 1    83 4    84 4    85 4    86 1    87 4    88 4    89 4    90 4 91 1    92 4    93 4    94 1    95 4    96 4    97 1    98 4    99 4   100 1101 4   102 4   103 1   104 4   105 4   106 4   107 4   108 4   109 1   110 4111 4   112 4   113 4   114 4   115 4   116 4   117 4   118 4   119 4   120 4121 4   122 4   123 4   124 4   125 4   126 4   127 4   128 4   129 1   130 1131 4   132 4   133 1   134 4   135 4   136 4   137 4   138 4   139 1   140 4141 4   142 4   143 4   144 4   145 4   146 4   147 4   148 4   149 4   150 4151 4   152 4   153 4   154 4   155 4   156 4   157 4   158 4   159 4   160 4161 4   162 4   163 4   164 4   165 4   166 4   167 1   168 4   169 4   170 4171 4   172 4   173 4   174 4   175 4   176 1   177 4   178 4   179 4   180 4181 4   182 4   183 4   184 4   185 4   186 4   187 4   188 1   189 4   190 1191 4   192 1   193 1   194 4   195 4   196 4   197 4   198 4   199 4   200 4201 4   202 4   203 1   204 4   205 4   206 4   207 4   208 1   209 4   210 4211 4   212 4   213 4   214 4   215 4   216 4   217 4   218 4   219 1   220 4221 4   222 4   223 4   224 4   225 4   226 1   227 4   228 4   229 4   230 1231 4   232 4   233 4   234 4   235 4   236 1   237 4   238 4   239 1   240 4241 4   242 4   243 4   244 4   245 4   246 4   247 4   248 4   249 4   250 4251 4   252 4   253 4   254 4   255 4   256 4   257 4   258 4   259 4   260 4261 4   262 1   263 1   264 4   265 4   266 4   267 4   268 4   269 4   270 4271 4   272 4   273 4   274 4   275 4   276 4   277 4   278 4   279 4   280 1281 4   282 4   283 4   284 4   285 4   286 4   287 4   288 4   289 4   290 4291 1   292 4   293 1   294 4   295 4   296 4   297 4   298 4   299 4   300 4301 1   302 1   303 4   304 4   305 4   306 4   307 4   308 4   309 4   310 1311 4   312 4   313 1   314 4   315 4   316 4   317 4   318 4   319 1   320 1321 4   322 4   323 4   324 4   325 4   326 1   327 4   328 4   329 1   330 4331 1   332 4   333 4   334 4   335 4   336 4   337 4   338 1   339 4   340 4341 4   342 4   343 4   344 4   345 4   346 4   347 4   348 4   349 4   350 4351 4   352 4   353 4   354 4   355 4   356 1   357 4   358 4   359 4   360 4361 4   362 1   363 4   364 4   365 1   366 4   367 1   368 1   369 4   370 4371 4   372 4   373 4   374 4   375 4   376 1   377 4   378 4   379 1   380 4381 4   382 4   383 1   384 4   385 4   386 1   387 4   388 4   389 4   390 4391 1   392 1   393 4   394 4   395 4   396 4   397 1   398 4   399 4   400 4401 4   402 4   403 4   404 1   405 4   406 4   407 4   408 4   409 1   410 4411 4   412 4   413 4   414 4   415 4   416 4   417 4   418 4   419 4   420 4421 4   422 4   423 4   424 4   425 4   426 4   427 4   428 4   429 4   430 4431 4   432 4   433 4   434 4   435 4   436 4   437 4   438 4   439 4   440 1441 4   442 4   443 4   444 4   445 4   446 1   447 4   448 4   449 4   450 4451 4   452 4   453 4   454 4   455 4   456 4   457 4   458 4   459 4   460 4461 4   462 4   463 4   464 1   465 4   466 4   467 4   468 4   469 1   470 4471 4   472 4   473 4   474 4   475 4   476 4   477 4   478 1   479 4   480 4481 4   482 4   483 4   484 4   485 4   486 4   487 1   488 4   489 4   490 1491 4   492 4   493 4   494 4   495 4   496 1   497 4   498 4   499 4   500 4501 4   502 4   503 4   504 4   505 4   506 4   507 4   508 4   509 4   510 4511 4   512 4   513 4   514 4   515 4   516 4   517 4   518 4   519 4   520 4521 4   522 4   523 4   524 4   525 4   526 4   527 4   528 4   529 4   530 4531 4   532 4   533 4   534 4   535 4   536 1   537 4   538 4   539 4   540 4541 4   542 4   543 4   544 4   545 4   546 4   547 4   548 4   549 4   550 4551 4   552 4   553 4   554 4   555 4   556 1   557 4   558 4   559 4   560 4561 4   562 4   563 1   564 4   565 1   566 1   567 4   568 4   569 4   570 4571 4   572 4   573 4   574 4   575 4   576 4   577 4   578 4   579 4   580 4581 4   582 4   583 4   584 4   585 4   586 4   587 4   588 4   589 4   590 4591 4   592 4   593 4   594 4   595 4   596 4   597 4   598 4   599 4   600 4601 4   602 4   603 4   604 4   605 4   606 4   607 4   608 1   609 4   610 4611 4   612 4   613 4   614 4   615 4   616 4   617 1   618 4   619 4   620 4621 4   622 1   623 1   624 4   625 4   626 4   627 4   628 4   629 4   630 4631 4   632 1   633 4   634 4   635 1   636 4   637 1   638 1   639 4   640 4641 4   642 4   643 4   644 1   645 4   646 4   647 4   648 4   649 1   650 4651 4   652 4   653 1   654 4   655 1   656 1   657 4   658 4   659 4   660 4661 4   662 4   663 4   664 4   665 1   666 4   667 4   668 4   669 4   670 4671 1   672 4   673 1   674 4   675 4   676 4   677 4   678 4   679 4   680 1681 4   682 4   683 1   684 4   685 4   686 4   687 4   688 4   689 4   690 4691 4   692 4   693 4   694 1   695 4   696 4   697 4   698 4   699 4   700 1701 4   702 4   703 4   704 4   705 4   706 4   707 4   708 4   709 1   710 4711 4   712 4   713 4   714 4   715 4   716 1   717 4   718 4   719 4   720 4721 4   722 4   723 4   724 4   725 4   726 4   727 4   728 4   729 4   730 4731 4   732 4   733 4   734 4   735 4   736 1   737 4   738 4   739 1   740 4741 4   742 4   743 4   744 4   745 4   746 4   747 4   748 1   749 4   750 4751 4   752 4   753 4   754 4   755 4   756 4   757 4   758 4   759 4   760 4761 1   762 4   763 1   764 4   765 4   766 4   767 4   768 4   769 4   770 4771 4   772 4   773 4   774 4   775 4   776 4   777 4   778 4   779 4   780 4781 4   782 4   783 4   784 1   785 4   786 4   787 4   788 4   789 4   790 1791 4   792 4   793 1   794 4   795 4   796 4   797 4   798 4   799 4   800 4801 4   802 1   803 4   804 4   805 4   806 1   807 4   808 4   809 4   810 4811 4   812 4   813 4   814 4   815 4   816 4   817 4   818 1   819 4   820 1821 4   822 4   823 4   824 4   825 4   826 4   827 4   828 4   829 4   830 4831 4   832 4   833 1   834 4   835 4   836 1   837 4   838 4   839 4   840 4841 4   842 4   843 4   844 4   845 4   846 4   847 1   848 4   849 4   850 4851 4   852 4   853 4   854 4   855 4   856 4   857 4   858 4   859 4   860 1861 4   862 4   863 1   864 4   865 4   866 4   867 4   868 4   869 4   870 4871 4   872 4   873 4   874 1   875 4   876 4   877 4   878 4   879 4   880 4881 1   882 4   883 4   884 4   885 4   886 4   887 4   888 1   889 4   890 4891 4   892 4   893 4   894 4   895 4   896 4   897 4   898 4   899 1   900 4901 1   902 4   903 4   904 1   905 4   906 4   907 1   908 4   909 4   910 1911 4   912 1   913 1   914 4   915 4   916 4   917 4   918 4   919 4   920 4921 1   922 4   923 1   924 4   925 4   926 4   927 4   928 4   929 4   930 4931 1   932 1   933 4   934 4   935 4   936 4   937 1   938 4   939 4   940 1941 4   942 4   943 4   944 4   945 4   946 1   947 4   948 4   949 4   950 4951 4   952 4   953 4   954 4   955 4   956 4   957 4   958 4   959 4   960 4961 4   962 4   963 4   964 1   965 4   966 4   967 4   968 4   969 4   970 1971 4   972 4   973 1   974 4   975 4   976 4   977 4   978 4   979 4   980 4981 4   982 4   983 4   984 4   985 4   986 4   987 4   988 4   989 1   990 4991 4   992 4   993 4   994 4   995 4   996 4   997 4   998 1   999 4`

The highest total of squares of digits that can be achieved with a 4-digit number is 4*81 = 324, which is a 3-digit number, and so all 4-digit numbers eventually fall into this set.  Similarly for all natural numbers with larger numbers of digits, the sum of the squares of the digits has fewer digits than the number itself and therefore the series continues on to this set presented here.

 Posted by Charlie on 2011-03-07 15:15:40

 Search: Search body:
Forums (0)