Consider a series of numbers, defined as follows:
Starting with any natural number, each member is a sum of the squares of the previous member`s digits.

Prove : The series always reaches either a stuck-on-one sequence: 1,1,1… or a closed loop of the following 8 numbers: 145,42,20,4,16,37,58,89, ...

Ex1: 12345,55,50,25,29,85,89,145….. etc
Ex2: 66,72,53,34,25,29,85,89,145…
Ex3: 91,10,1,1,1…..

(In reply to re(6): NOT enough by Gamer by Charlie)

In the light of my previous post, here's the route to one of the inevitable loops for the numbers through 243:

1  1
2  4
3  9  81  65  61  37
4  16
5  25  29  85  89
6  36  45  41  17  50  25  29  85  89
7  49  97  130  10  1
8  64  52  29  85  89
9  81  65  61  37
10  1
11  2  4
12  5  25  29  85  89
13  10  1
14  17  50  25  29  85  89
15  26  40  16
16  37
17  50  25  29  85  89
18  65  61  37
19  82  68  100  1
20  4
21  5  25  29  85  89
22  8  64  52  29  85  89
23  13  10  1
24  20
25  29  85  89
26  40  16
27  53  34  25  29  85  89
28  68  100  1
29  85  89
30  9  81  65  61  37
31  10  1
32  13  10  1
33  18  65  61  37
34  25  29  85  89
35  34  25  29  85  89
36  45  41  17  50  25  29  85  89
37  58
38  73  58
39  90  81  65  61  37
40  16
41  17  50  25  29  85  89
42  20
43  25  29  85  89
44  32  13  10  1
45  41  17  50  25  29  85  89
46  52  29  85  89
47  65  61  37
48  80  64  52  29  85  89
49  97  130  10  1
50  25  29  85  89
51  26  40  16
52  29  85  89
53  34  25  29  85  89
54  41  17  50  25  29  85  89
55  50  25  29  85  89
56  61  37
57  74  65  61  37
58  89
59  106  37
60  36  45  41  17  50  25  29  85  89
61  37
62  40  16
63  45  41  17  50  25  29  85  89
64  52  29  85  89
65  61  37
66  72  53  34  25  29  85  89
67  85  89
68  100  1
69  117  51  26  40  16
70  49  97  130  10  1
71  50  25  29  85  89
72  53  34  25  29  85  89
73  58
74  65  61  37
75  74  65  61  37
76  85  89
77  98  145
78  113  11  2  4
79  130  10  1
80  64  52  29  85  89
81  65  61  37
82  68  100  1
83  73  58
84  80  64  52  29  85  89
85  89
86  100  1
87  113  11  2  4
88  128  69  117  51  26  40  16
89  145
90  81  65  61  37
91  82  68  100  1
92  85  89
93  90  81  65  61  37
94  97  130  10  1
95  106  37
96  117  51  26  40  16
97  130  10  1
98  145
99  162  41  17  50  25  29  85  89
100  1
101  2  4
102  5  25  29  85  89
103  10  1
104  17  50  25  29  85  89
105  26  40  16
106  37
107  50  25  29  85  89
108  65  61  37
109  82  68  100  1
110  2  4
111  3  9  81  65  61  37
112  6  36  45  41  17  50  25  29  85  89
113  11  2  4
114  18  65  61  37
115  27  53  34  25  29  85  89
116  38  73  58
117  51  26  40  16
118  66  72  53  34  25  29  85  89
119  83  73  58
120  5  25  29  85  89
121  6  36  45  41  17  50  25  29  85  89
122  9  81  65  61  37
123  14  17  50  25  29  85  89
124  21  5  25  29  85  89
125  30  9  81  65  61  37
126  41  17  50  25  29  85  89
127  54  41  17  50  25  29  85  89
128  69  117  51  26  40  16
129  86  100  1
130  10  1
131  11  2  4
132  14  17  50  25  29  85  89
133  19  82  68  100  1
134  26  40  16
135  35  34  25  29  85  89
136  46  52  29  85  89
137  59  106  37
138  74  65  61  37
139  91  82  68  100  1
140  17  50  25  29  85  89
141  18  65  61  37
142  21  5  25  29  85  89
143  26  40  16
144  33  18  65  61  37
145  42
146  53  34  25  29  85  89
147  66  72  53  34  25  29  85  89
148  81  65  61  37
149  98  145
150  26  40  16
151  27  53  34  25  29  85  89
152  30  9  81  65  61  37
153  35  34  25  29  85  89
154  42
155  51  26  40  16
156  62  40  16
157  75  74  65  61  37
158  90  81  65  61  37
159  107  50  25  29  85  89
160  37
161  38  73  58
162  41  17  50  25  29  85  89
163  46  52  29  85  89
164  53  34  25  29  85  89
165  62  40  16
166  73  58
167  86  100  1
168  101  2  4
169  118  66  72  53  34  25  29  85  89
170  50  25  29  85  89
171  51  26  40  16
172  54  41  17  50  25  29  85  89
173  59  106  37
174  66  72  53  34  25  29  85  89
175  75  74  65  61  37
176  86  100  1
177  99  162  41  17  50  25  29  85  89
178  114  18  65  61  37
179  131  11  2  4
180  65  61  37
181  66  72  53  34  25  29  85  89
182  69  117  51  26  40  16
183  74  65  61  37
184  81  65  61  37
185  90  81  65  61  37
186  101  2  4
187  114  18  65  61  37
188  129  86  100  1
189  146  53  34  25  29  85  89
190  82  68  100  1
191  83  73  58
192  86  100  1
193  91  82  68  100  1
194  98  145
195  107  50  25  29  85  89
196  118  66  72  53  34  25  29  85  89
197  131  11  2  4
198  146  53  34  25  29  85  89
199  163  46  52  29  85  89
200  4
201  5  25  29  85  89
202  8  64  52  29  85  89
203  13  10  1
204  20
205  29  85  89
206  40  16
207  53  34  25  29  85  89
208  68  100  1
209  85  89
210  5  25  29  85  89
211  6  36  45  41  17  50  25  29  85  89
212  9  81  65  61  37
213  14  17  50  25  29  85  89
214  21  5  25  29  85  89
215  30  9  81  65  61  37
216  41  17  50  25  29  85  89
217  54  41  17  50  25  29  85  89
218  69  117  51  26  40  16
219  86  100  1
220  8  64  52  29  85  89
221  9  81  65  61  37
222  12  5  25  29  85  89
223  17  50  25  29  85  89
224  24  20
225  33  18  65  61  37
226  44  32  13  10  1
227  57  74  65  61  37
228  72  53  34  25  29  85  89
229  89
230  13  10  1
231  14  17  50  25  29  85  89
232  17  50  25  29  85  89
233  22  8  64  52  29  85  89
234  29  85  89
235  38  73  58
236  49  97  130  10  1
237  62  40  16
238  77  98  145
239  94  97  130  10  1
240  20
241  21  5  25  29  85  89
242  24  20
243  29  85  89

Posted by Charlie on 2011-03-09 15:39:48