All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers > Sequences
Commemorations 2 (Posted on 2013-02-11) Difficulty: 3 of 5
3 jealous brothers are to divvy up a set of commemorative coins.

There are an equal number (n) of coins of each of the values: $1, $2, $3.

For each of the numbers n = 1 to 8
determine in how many ways it is possible to divide the set of coins in such a way that each brother gets the same number of coins and the same total value of coins.

Do not count permutations of the brothers separately. Just count the breakdowns.

Note 1: Please avoid the temptation to look this sequence up. It will give away a surprise.
Note 2: I would prefer you not do this with a computer program.

No Solution Yet Submitted by Jer    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution I can't solve this without a computer (spoiler) Comment 1 of 1
no. of coins       numbers of coins by brother     soln count
------------   ----------------------------------- within set
per
den    total  $1 $2 $3      $1 $2 $3      $1 $2 $3
2       6      0  2  0       1  0  1       1  0  1
                                                      1
3       9      1  1  1       1  1  1       1  1  1
                                                      1
4       12     0  4  0       2  0  2       2  0  2
4       12     1  2  1       1  2  1       2  0  2
                                                      2
5       15     1  3  1       2  1  2       2  1  2
                                                      1
6       18     0  6  0       3  0  3       3  0  3
6       18     1  4  1       2  2  2       3  0  3
6       18     2  2  2       2  2  2       2  2  2
                                                      3
7       21     1  5  1       3  1  3       3  1  3
7       21     2  3  2       2  3  2       3  1  3
                                                      2
8       24     0  8  0       4  0  4       4  0  4
8       24     1  6  1       3  2  3       4  0  4
8       24     2  4  2       2  4  2       4  0  4
8       24     2  4  2       3  2  3       3  2  3
                                                      4
9       27     1  7  1       4  1  4       4  1  4
9       27     2  5  2       3  3  3       4  1  4
9       27     3  3  3       3  3  3       3  3  3
                                                      3
10       30    0  10  0      5  0  5       5  0  5
10       30    1  8  1       4  2  4       5  0  5
10       30    2  6  2       3  4  3       5  0  5
10       30    2  6  2       4  2  4       4  2  4
10       30    3  4  3       3  4  3       4  2  4
                                                      5
11       33    1  9  1       5  1  5       5  1  5
11       33    2  7  2       4  3  4       5  1  5
11       33    3  5  3       3  5  3       5  1  5
11       33    3  5  3       4  3  4       4  3  4
                                                      4
12       36    0  12  0      6  0  6       6  0  6
12       36    1  10  1      5  2  5       6  0  6
12       36    2  8  2       4  4  4       6  0  6
12       36    2  8  2       5  2  5       5  2  5
12       36    3  6  3       3  6  3       6  0  6
12       36    3  6  3       4  4  4       5  2  5
12       36    4  4  4       4  4  4       4  4  4
                                                      7
13       39    1  11  1      6  1  6       6  1  6
13       39    2  9  2       5  3  5       6  1  6
13       39    3  7  3       4  5  4       6  1  6
13       39    3  7  3       5  3  5       5  3  5
13       39    4  5  4       4  5  4       5  3  5
                                                      5
14       42    0  14  0      7  0  7       7  0  7
14       42    1  12  1      6  2  6       7  0  7
14       42    2  10  2      5  4  5       7  0  7
14       42    2  10  2      6  2  6       6  2  6
14       42    3  8  3       4  6  4       7  0  7
14       42    3  8  3       5  4  5       6  2  6
14       42    4  6  4       4  6  4       6  2  6
14       42    4  6  4       5  4  5       5  4  5
                                                      8
15       45    1  13  1      7  1  7       7  1  7
15       45    2  11  2      6  3  6       7  1  7
15       45    3  9  3       5  5  5       7  1  7
15       45    3  9  3       6  3  6       6  3  6
15       45    4  7  4       4  7  4       7  1  7
15       45    4  7  4       5  5  5       6  3  6
15       45    5  5  5       5  5  5       5  5  5
                                                      7
16       48    0  16  0      8  0  8       8  0  8
16       48    1  14  1      7  2  7       8  0  8
16       48    2  12  2      6  4  6       8  0  8
16       48    2  12  2      7  2  7       7  2  7
16       48    3  10  3      5  6  5       8  0  8
16       48    3  10  3      6  4  6       7  2  7
16       48    4  8  4       4  8  4       8  0  8
16       48    4  8  4       5  6  5       7  2  7
16       48    4  8  4       6  4  6       6  4  6
16       48    5  6  5       5  6  5       6  4  6
                                                      10
17       51    1  15  1      8  1  8       8  1  8
17       51    2  13  2      7  3  7       8  1  8
17       51    3  11  3      6  5  6       8  1  8
17       51    3  11  3      7  3  7       7  3  7
17       51    4  9  4       5  7  5       8  1  8
17       51    4  9  4       6  5  6       7  3  7
17       51    5  7  5       5  7  5       7  3  7
17       51    5  7  5       6  5  6       6  5  6
                                                      8
18       54    0  18  0      9  0  9       9  0  9
18       54    1  16  1      8  2  8       9  0  9
18       54    2  14  2      7  4  7       9  0  9
18       54    2  14  2      8  2  8       8  2  8
18       54    3  12  3      6  6  6       9  0  9
18       54    3  12  3      7  4  7       8  2  8
18       54    4  10  4      5  8  5       9  0  9
18       54    4  10  4      6  6  6       8  2  8
18       54    4  10  4      7  4  7       7  4  7
18       54    5  8  5       5  8  5       8  2  8
18       54    5  8  5       6  6  6       7  4  7
18       54    6  6  6       6  6  6       6  6  6
                                                      12
19       57    1  17  1      9  1  9       9  1  9
19       57    2  15  2      8  3  8       9  1  9
19       57    3  13  3      7  5  7       9  1  9
19       57    3  13  3      8  3  8       8  3  8
19       57    4  11  4      6  7  6       9  1  9
19       57    4  11  4      7  5  7       8  3  8
19       57    5  9  5       5  9  5       9  1  9
19       57    5  9  5       6  7  6       8  3  8
19       57    5  9  5       7  5  7       7  5  7
19       57    6  7  6       6  7  6       7  5  7
                                                      10
20       60    0  20  0      10  0  10     10  0  10
20       60    1  18  1      10  0  10     9  2  9
20       60    2  16  2      9  2  9       9  2  9
20       60    3  14  3      8  4  8       9  2  9
20       60    4  12  4      7  6  7       9  2  9
20       60    4  12  4      8  4  8       8  4  8
20       60    5  10  5      6  8  6       9  2  9
20       60    5  10  5      7  6  7       8  4  8
20       60    6  8  6       6  8  6       8  4  8
20       60    6  8  6       7  6  7       7  6  7
20       60    10  0  10     2  16  2      8  4  8
20       60    10  0  10     3  14  3      7  6  7
20       60    10  0  10     4  12  4      6  8  6
20       60    10  0  10     5  10  5      5  10  5
                                                       14 
                                                      

So for 1 through 8, respectively, the counts of ways are equal to 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4.

The series continues with 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14.

This can be identified as Alcuin's sequence, A005044 in Sloane's OEIS, or at least the terms of that sequence after the first four members are dropped.

Sloane states that sequence's members can be found from:

For all n, a(n) = round(n^2/12)-floor(n/4)*floor((n+2)/4)

but remember that n is our n + 4 so we could change that to

round((n+4)^2/12) - floor((n+4)/4) * floor((n+6)/4)

except they included a zeroth term so the following actually works:

round((n + 3) ^ 2 / 12) - floor((n + 3) / 4) * floor((n + 5) / 4)

The only significant change from the original Commemorations program was the addition of the equal signs in the line, as different brothers' allocations can now be the same:

               IF a$ <= b$ AND b$ <= c$ THEN

CLS
FOR n = 1 TO 100
  value = 6 * n
  coins = 3 * n
  valeach = 2 * n
  coinseach = n
  FOR a1 = 0 TO n
   FOR a2 = 0 TO n - a1
     a3 = n - a1 - a2
     vala = a1 + 2 * a2 + 3 * a3
     IF vala = valeach THEN
       FOR b1 = 0 TO n - a1
        FOR b2 = 0 TO n - a2
         IF b1 + b2 <= coinseach THEN
           b3 = n - b1 - b2
           IF a3 + b3 <= n THEN
             valb = b1 + 2 * b2 + 3 * b3
             IF valb = valeach THEN
               c1 = n - a1 - b1
               c2 = n - a2 - b2
               c3 = n - a3 - b3
               a$ = STR$(a1) + STR$(a2) + STR$(a3)
               b$ = STR$(b1) + STR$(b2) + STR$(b3)
               c$ = STR$(c1) + STR$(c2) + STR$(c3)
               IF a$ <= b$ AND b$ <= c$ THEN
                 IF n <> prevn THEN PRINT TAB(52); subCt: subCt = 0: ct = ct + 1
                 PRINT n; 3 * n, a1; a2; a3, b1; b2; b3, c1; c2; c3
                 prevn = n
                 ct = ct + 1: subCt = subCt + 1
               END IF
             END IF
           END IF
         END IF
        NEXT
       NEXT
     END IF
   NEXT a2
  NEXT a1
  IF ct > 120 THEN PRINT TAB(52); subCt: END
NEXT n


  Posted by Charlie on 2013-02-11 18:54:33
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (3)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information