All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Commemorations 2 (Posted on 2013-02-11)
3 jealous brothers are to divvy up a set of commemorative coins.

There are an equal number (n) of coins of each of the values: \$1, \$2, \$3.

For each of the numbers n = 1 to 8
determine in how many ways it is possible to divide the set of coins in such a way that each brother gets the same number of coins and the same total value of coins.

Do not count permutations of the brothers separately. Just count the breakdowns.

Note 1: Please avoid the temptation to look this sequence up. It will give away a surprise.
Note 2: I would prefer you not do this with a computer program.

 No Solution Yet Submitted by Jer No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 I can't solve this without a computer (spoiler) Comment 1 of 1
`no. of coins       numbers of coins by brother     soln count------------   ----------------------------------- within setperden    total  \$1 \$2 \$3      \$1 \$2 \$3      \$1 \$2 \$3`
`2       6      0  2  0       1  0  1       1  0  1                                                      13       9      1  1  1       1  1  1       1  1  1                                                      14       12     0  4  0       2  0  2       2  0  24       12     1  2  1       1  2  1       2  0  2                                                      25       15     1  3  1       2  1  2       2  1  2                                                      16       18     0  6  0       3  0  3       3  0  36       18     1  4  1       2  2  2       3  0  36       18     2  2  2       2  2  2       2  2  2                                                      37       21     1  5  1       3  1  3       3  1  37       21     2  3  2       2  3  2       3  1  3                                                      28       24     0  8  0       4  0  4       4  0  48       24     1  6  1       3  2  3       4  0  48       24     2  4  2       2  4  2       4  0  48       24     2  4  2       3  2  3       3  2  3                                                      49       27     1  7  1       4  1  4       4  1  49       27     2  5  2       3  3  3       4  1  49       27     3  3  3       3  3  3       3  3  3                                                      310       30    0  10  0      5  0  5       5  0  510       30    1  8  1       4  2  4       5  0  510       30    2  6  2       3  4  3       5  0  510       30    2  6  2       4  2  4       4  2  410       30    3  4  3       3  4  3       4  2  4                                                      511       33    1  9  1       5  1  5       5  1  511       33    2  7  2       4  3  4       5  1  511       33    3  5  3       3  5  3       5  1  511       33    3  5  3       4  3  4       4  3  4                                                      412       36    0  12  0      6  0  6       6  0  612       36    1  10  1      5  2  5       6  0  612       36    2  8  2       4  4  4       6  0  612       36    2  8  2       5  2  5       5  2  512       36    3  6  3       3  6  3       6  0  612       36    3  6  3       4  4  4       5  2  512       36    4  4  4       4  4  4       4  4  4                                                      713       39    1  11  1      6  1  6       6  1  613       39    2  9  2       5  3  5       6  1  613       39    3  7  3       4  5  4       6  1  613       39    3  7  3       5  3  5       5  3  513       39    4  5  4       4  5  4       5  3  5                                                      514       42    0  14  0      7  0  7       7  0  714       42    1  12  1      6  2  6       7  0  714       42    2  10  2      5  4  5       7  0  714       42    2  10  2      6  2  6       6  2  614       42    3  8  3       4  6  4       7  0  714       42    3  8  3       5  4  5       6  2  614       42    4  6  4       4  6  4       6  2  614       42    4  6  4       5  4  5       5  4  5                                                      815       45    1  13  1      7  1  7       7  1  715       45    2  11  2      6  3  6       7  1  715       45    3  9  3       5  5  5       7  1  715       45    3  9  3       6  3  6       6  3  615       45    4  7  4       4  7  4       7  1  715       45    4  7  4       5  5  5       6  3  615       45    5  5  5       5  5  5       5  5  5                                                      716       48    0  16  0      8  0  8       8  0  816       48    1  14  1      7  2  7       8  0  816       48    2  12  2      6  4  6       8  0  816       48    2  12  2      7  2  7       7  2  716       48    3  10  3      5  6  5       8  0  816       48    3  10  3      6  4  6       7  2  716       48    4  8  4       4  8  4       8  0  816       48    4  8  4       5  6  5       7  2  716       48    4  8  4       6  4  6       6  4  616       48    5  6  5       5  6  5       6  4  6                                                      1017       51    1  15  1      8  1  8       8  1  817       51    2  13  2      7  3  7       8  1  817       51    3  11  3      6  5  6       8  1  817       51    3  11  3      7  3  7       7  3  717       51    4  9  4       5  7  5       8  1  817       51    4  9  4       6  5  6       7  3  717       51    5  7  5       5  7  5       7  3  717       51    5  7  5       6  5  6       6  5  6                                                      818       54    0  18  0      9  0  9       9  0  918       54    1  16  1      8  2  8       9  0  918       54    2  14  2      7  4  7       9  0  918       54    2  14  2      8  2  8       8  2  818       54    3  12  3      6  6  6       9  0  918       54    3  12  3      7  4  7       8  2  818       54    4  10  4      5  8  5       9  0  918       54    4  10  4      6  6  6       8  2  818       54    4  10  4      7  4  7       7  4  718       54    5  8  5       5  8  5       8  2  818       54    5  8  5       6  6  6       7  4  718       54    6  6  6       6  6  6       6  6  6                                                      1219       57    1  17  1      9  1  9       9  1  919       57    2  15  2      8  3  8       9  1  919       57    3  13  3      7  5  7       9  1  919       57    3  13  3      8  3  8       8  3  819       57    4  11  4      6  7  6       9  1  919       57    4  11  4      7  5  7       8  3  819       57    5  9  5       5  9  5       9  1  919       57    5  9  5       6  7  6       8  3  819       57    5  9  5       7  5  7       7  5  719       57    6  7  6       6  7  6       7  5  7                                                      1020       60    0  20  0      10  0  10     10  0  1020       60    1  18  1      10  0  10     9  2  920       60    2  16  2      9  2  9       9  2  920       60    3  14  3      8  4  8       9  2  920       60    4  12  4      7  6  7       9  2  920       60    4  12  4      8  4  8       8  4  820       60    5  10  5      6  8  6       9  2  920       60    5  10  5      7  6  7       8  4  820       60    6  8  6       6  8  6       8  4  820       60    6  8  6       7  6  7       7  6  720       60    10  0  10     2  16  2      8  4  820       60    10  0  10     3  14  3      7  6  720       60    10  0  10     4  12  4      6  8  620       60    10  0  10     5  10  5      5  10  5                                                       14                                                         `

So for 1 through 8, respectively, the counts of ways are equal to 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4.

The series continues with 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14.

This can be identified as Alcuin's sequence, A005044 in Sloane's OEIS, or at least the terms of that sequence after the first four members are dropped.

Sloane states that sequence's members can be found from:

For all n, a(n) = round(n^2/12)-floor(n/4)*floor((n+2)/4)

but remember that n is our n + 4 so we could change that to

round((n+4)^2/12) - floor((n+4)/4) * floor((n+6)/4)

except they included a zeroth term so the following actually works:

round((n + 3) ^ 2 / 12) - floor((n + 3) / 4) * floor((n + 5) / 4)

The only significant change from the original Commemorations program was the addition of the equal signs in the line, as different brothers' allocations can now be the same:

IF a\$ <= b\$ AND b\$ <= c\$ THEN

CLS
FOR n = 1 TO 100
value = 6 * n
coins = 3 * n
valeach = 2 * n
coinseach = n
FOR a1 = 0 TO n
FOR a2 = 0 TO n - a1
a3 = n - a1 - a2
vala = a1 + 2 * a2 + 3 * a3
IF vala = valeach THEN
FOR b1 = 0 TO n - a1
FOR b2 = 0 TO n - a2
IF b1 + b2 <= coinseach THEN
b3 = n - b1 - b2
IF a3 + b3 <= n THEN
valb = b1 + 2 * b2 + 3 * b3
IF valb = valeach THEN
c1 = n - a1 - b1
c2 = n - a2 - b2
c3 = n - a3 - b3
a\$ = STR\$(a1) + STR\$(a2) + STR\$(a3)
b\$ = STR\$(b1) + STR\$(b2) + STR\$(b3)
c\$ = STR\$(c1) + STR\$(c2) + STR\$(c3)
IF a\$ <= b\$ AND b\$ <= c\$ THEN
IF n <> prevn THEN PRINT TAB(52); subCt: subCt = 0: ct = ct + 1
PRINT n; 3 * n, a1; a2; a3, b1; b2; b3, c1; c2; c3
prevn = n
ct = ct + 1: subCt = subCt + 1
END IF
END IF
END IF
END IF
NEXT
NEXT
END IF
NEXT a2
NEXT a1
IF ct > 120 THEN PRINT TAB(52); subCt: END
NEXT n

 Posted by Charlie on 2013-02-11 18:54:33

 Search: Search body:
Forums (0)