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 Ten Items and Two Boxes (Posted on 2013-08-12)
You have two boxes, one is filled with 10 items and the other is empty. You are allowed to transfer items one at a time from one box to the other (transfers may to either way).

There are 2^10=1024 ways to split the items between the two boxes. Can you make all the ways without repetition using only the transfer rule described above?

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 solution | Comment 1 of 2

The Gray code of representing numbers (http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code) was called by its inventor, Frank Gray, the reflected binary code. It is binary in the sense of having either a 1 or a 0 at every position and there's a 1-to-1 correspondence of such sequences with the natural numbers.

It has the property that in advancing from one integer to the next, exactly one of its digits is flipped from 0 to 1 or 1 to 0 (including a leading zero flipped to a 1 at times).

Here we use it to represent numbers from 0 to 1023. Starting with 0000000000 it goes through all possible combinations of zeros and ones summing to ten symbols, and only one changes at any given step, corresponding to the puzzle's switching an item from one box (the zero box) to the other (the 1 box) or vice versa.  There are no repetitions of states due to the 1-to-1 correspondence with the different integers.

Putting the zero box on the right and the 1 box on the left and lettering our items a through j:

abcdefghij
j   abcdefghi
ij   abcdefgh
i   abcdefghj
hi   abcdefgj
hij   abcdefg
hj   abcdefgi
h   abcdefgij
gh   abcdefij
ghj   abcdefi
ghij   abcdef
ghi   abcdefj
gi   abcdefhj
gij   abcdefh
gj   abcdefhi
g   abcdefhij
fg   abcdehij
fgj   abcdehi
fgij   abcdeh
fgi   abcdehj
fghi   abcdej
fghij   abcde
fghj   abcdei
fgh   abcdeij
fh   abcdegij
fhj   abcdegi
fhij   abcdeg
fhi   abcdegj
fi   abcdeghj
fij   abcdegh
fj   abcdeghi
f   abcdeghij
ef   abcdghij
efj   abcdghi
efij   abcdgh
efi   abcdghj
efhi   abcdgj
efhij   abcdg
efhj   abcdgi
efh   abcdgij
efgh   abcdij
efghj   abcdi
efghij   abcd
efghi   abcdj
efgi   abcdhj
efgij   abcdh
efgj   abcdhi
efg   abcdhij
eg   abcdfhij
egj   abcdfhi
egij   abcdfh
egi   abcdfhj
eghi   abcdfj
eghij   abcdf
eghj   abcdfi
egh   abcdfij
eh   abcdfgij
ehj   abcdfgi
ehij   abcdfg
ehi   abcdfgj
ei   abcdfghj
eij   abcdfgh
ej   abcdfghi
e   abcdfghij
de   abcfghij
dej   abcfghi
deij   abcfgh
dei   abcfghj
dehi   abcfgj
dehij   abcfg
dehj   abcfgi
deh   abcfgij
degh   abcfij
deghj   abcfi
deghij   abcf
deghi   abcfj
degi   abcfhj
degij   abcfh
degj   abcfhi
deg   abcfhij
defg   abchij
defgj   abchi
defgij   abch
defgi   abchj
defghi   abcj
defghij   abc
defghj   abci
defgh   abcij
defh   abcgij
defhj   abcgi
defhij   abcg
defhi   abcgj
defi   abcghj
defij   abcgh
defj   abcghi
def   abcghij
df   abceghij
dfj   abceghi
dfij   abcegh
dfi   abceghj
dfhi   abcegj
dfhij   abceg
dfhj   abcegi
dfh   abcegij
dfgh   abceij
dfghj   abcei
dfghij   abce
dfghi   abcej
dfgi   abcehj
dfgij   abceh
dfgj   abcehi
dfg   abcehij
dg   abcefhij
dgj   abcefhi
dgij   abcefh
dgi   abcefhj
dghi   abcefj
dghij   abcef
dghj   abcefi
dgh   abcefij
dh   abcefgij
dhj   abcefgi
dhij   abcefg
dhi   abcefgj
di   abcefghj
dij   abcefgh
dj   abcefghi
d   abcefghij
cd   abefghij
cdj   abefghi
cdij   abefgh
cdi   abefghj
cdhi   abefgj
cdhij   abefg
cdhj   abefgi
cdh   abefgij
cdgh   abefij
cdghj   abefi
cdghij   abef
cdghi   abefj
cdgi   abefhj
cdgij   abefh
cdgj   abefhi
cdg   abefhij
cdfg   abehij
cdfgj   abehi
cdfgij   abeh
cdfgi   abehj
cdfghi   abej
cdfghij   abe
cdfghj   abei
cdfgh   abeij
cdfh   abegij
cdfhj   abegi
cdfhij   abeg
cdfhi   abegj
cdfi   abeghj
cdfij   abegh
cdfj   abeghi
cdf   abeghij
cdef   abghij
cdefj   abghi
cdefij   abgh
cdefi   abghj
cdefhi   abgj
cdefhij   abg
cdefhj   abgi
cdefh   abgij
cdefgh   abij
cdefghj   abi
cdefghij   ab
cdefghi   abj
cdefgi   abhj
cdefgij   abh
cdefgj   abhi
cdefg   abhij
cdeg   abfhij
cdegj   abfhi
cdegij   abfh
cdegi   abfhj
cdeghi   abfj
cdeghij   abf
cdeghj   abfi
cdegh   abfij
cdeh   abfgij
cdehj   abfgi
cdehij   abfg
cdehi   abfgj
cdei   abfghj
cdeij   abfgh
cdej   abfghi
cde   abfghij
ce   abdfghij
cej   abdfghi
ceij   abdfgh
cei   abdfghj
cehi   abdfgj
cehij   abdfg
cehj   abdfgi
ceh   abdfgij
cegh   abdfij
ceghj   abdfi
ceghij   abdf
ceghi   abdfj
cegi   abdfhj
cegij   abdfh
cegj   abdfhi
ceg   abdfhij
cefg   abdhij
cefgj   abdhi
cefgij   abdh
cefgi   abdhj
cefghi   abdj
cefghij   abd
cefghj   abdi
cefgh   abdij
cefh   abdgij
cefhj   abdgi
cefhij   abdg
cefhi   abdgj
cefi   abdghj
cefij   abdgh
cefj   abdghi
cef   abdghij
cf   abdeghij
cfj   abdeghi
cfij   abdegh
cfi   abdeghj
cfhi   abdegj
cfhij   abdeg
cfhj   abdegi
cfh   abdegij
cfgh   abdeij
cfghj   abdei
cfghij   abde
cfghi   abdej
cfgi   abdehj
cfgij   abdeh
cfgj   abdehi
cfg   abdehij
cg   abdefhij
cgj   abdefhi
cgij   abdefh
cgi   abdefhj
cghi   abdefj
cghij   abdef
cghj   abdefi
cgh   abdefij
ch   abdefgij
chj   abdefgi
chij   abdefg
chi   abdefgj
ci   abdefghj
cij   abdefgh
cj   abdefghi
c   abdefghij
bcde   afghij
bcdej   afghi
bcdeij   afgh
bcdei   afghj
bcdehi   afgj
bcdehij   afg
bcdehj   afgi
bcdeh   afgij
bcdegh   afij
bcdeghj   afi
bcdeghij   af
bcdeghi   afj
bcdegi   afhj
bcdegij   afh
bcdegj   afhi
bcdeg   afhij
bcdefg   ahij
bcdefgj   ahi
bcdefgij   ah
bcdefgi   ahj
bcdefghi   aj
bcdefghij   a
bcdefghj   ai
bcdefgh   aij
bcdefh   agij
bcdefhj   agi
bcdefhij   ag
bcdefhi   agj
bcdefi   aghj
bcdefij   agh
bcdefj   aghi
bcdef   aghij
bcdf   aeghij
bcdfj   aeghi
bcdfij   aegh
bcdfi   aeghj
bcdfhi   aegj
bcdfhij   aeg
bcdfhj   aegi
bcdfh   aegij
bcdfgh   aeij
bcdfghj   aei
bcdfghij   ae
bcdfghi   aej
bcdfgi   aehj
bcdfgij   aeh
bcdfgj   aehi
bcdfg   aehij
bcdg   aefhij
bcdgj   aefhi
bcdgij   aefh
bcdgi   aefhj
bcdghi   aefj
bcdghij   aef
bcdghj   aefi
bcdgh   aefij
bcdh   aefgij
bcdhj   aefgi
bcdhij   aefg
bcdhi   aefgj
bcdi   aefghj
bcdij   aefgh
bcdj   aefghi
bcd   aefghij
bd   acefghij
bdj   acefghi
bdij   acefgh
bdi   acefghj
bdhi   acefgj
bdhij   acefg
bdhj   acefgi
bdh   acefgij
bdgh   acefij
bdghj   acefi
bdghij   acef
bdghi   acefj
bdgi   acefhj
bdgij   acefh
bdgj   acefhi
bdg   acefhij
bdfg   acehij
bdfgj   acehi
bdfgij   aceh
bdfgi   acehj
bdfghi   acej
bdfghij   ace
bdfghj   acei
bdfgh   aceij
bdfh   acegij
bdfhj   acegi
bdfhij   aceg
bdfhi   acegj
bdfi   aceghj
bdfij   acegh
bdfj   aceghi
bdf   aceghij
bdef   acghij
bdefj   acghi
bdefij   acgh
bdefi   acghj
bdefhi   acgj
bdefhij   acg
bdefhj   acgi
bdefh   acgij
bdefgh   acij
bdefghj   aci
bdefghij   ac
bdefghi   acj
bdefgi   achj
bdefgij   ach
bdefgj   achi
bdefg   achij
bdeg   acfhij
bdegj   acfhi
bdegij   acfh
bdegi   acfhj
bdeghi   acfj
bdeghij   acf
bdeghj   acfi
bdegh   acfij
bdeh   acfgij
bdehj   acfgi
bdehij   acfg
bdehi   acfgj
bdei   acfghj
bdeij   acfgh
bdej   acfghi
bde   acfghij
be   acdfghij
bej   acdfghi
beij   acdfgh
bei   acdfghj
behi   acdfgj
behij   acdfg
behj   acdfgi
beh   acdfgij
begh   acdfij
beghj   acdfi
beghij   acdf
beghi   acdfj
begi   acdfhj
begij   acdfh
begj   acdfhi
beg   acdfhij
befg   acdhij
befgj   acdhi
befgij   acdh
befgi   acdhj
befghi   acdj
befghij   acd
befghj   acdi
befgh   acdij
befh   acdgij
befhj   acdgi
befhij   acdg
befhi   acdgj
befi   acdghj
befij   acdgh
befj   acdghi
bef   acdghij
bf   acdeghij
bfj   acdeghi
bfij   acdegh
bfi   acdeghj
bfhi   acdegj
bfhij   acdeg
bfhj   acdegi
bfh   acdegij
bfgh   acdeij
bfghj   acdei
bfghij   acde
bfghi   acdej
bfgi   acdehj
bfgij   acdeh
bfgj   acdehi
bfg   acdehij
bg   acdefhij
bgj   acdefhi
bgij   acdefh
bgi   acdefhj
bghi   acdefj
bghij   acdef
bghj   acdefi
bgh   acdefij
bh   acdefgij
bhj   acdefgi
bhij   acdefg
bhi   acdefgj
bi   acdefghj
bij   acdefgh
bj   acdefghi
b   acdefghij
ab   cdefghij
abj   cdefghi
abij   cdefgh
abi   cdefghj
abhi   cdefgj
abhij   cdefg
abhj   cdefgi
abh   cdefgij
abgh   cdefij
abghj   cdefi
abghij   cdef
abghi   cdefj
abgi   cdefhj
abgij   cdefh
abgj   cdefhi
abg   cdefhij
abfg   cdehij
abfgj   cdehi
abfgij   cdeh
abfgi   cdehj
abfghi   cdej
abfghij   cde
abfghj   cdei
abfgh   cdeij
abfh   cdegij
abfhj   cdegi
abfhij   cdeg
abfhi   cdegj
abfi   cdeghj
abfij   cdegh
abfj   cdeghi
abf   cdeghij
abef   cdghij
abefj   cdghi
abefij   cdgh
abefi   cdghj
abefhi   cdgj
abefhij   cdg
abefhj   cdgi
abefh   cdgij
abefgh   cdij
abefghj   cdi
abefghij   cd
abefghi   cdj
abefgi   cdhj
abefgij   cdh
abefgj   cdhi
abefg   cdhij
abeg   cdfhij
abegj   cdfhi
abegij   cdfh
abegi   cdfhj
abeghi   cdfj
abeghij   cdf
abeghj   cdfi
abegh   cdfij
abeh   cdfgij
abehj   cdfgi
abehij   cdfg
abehi   cdfgj
abei   cdfghj
abeij   cdfgh
abej   cdfghi
abe   cdfghij
abde   cfghij
abdej   cfghi
abdeij   cfgh
abdei   cfghj
abdehi   cfgj
abdehij   cfg
abdehj   cfgi
abdeh   cfgij
abdegh   cfij
abdeghj   cfi
abdeghij   cf
abdeghi   cfj
abdegi   cfhj
abdegij   cfh
abdegj   cfhi
abdeg   cfhij
abdefg   chij
abdefgj   chi
abdefgij   ch
abdefgi   chj
abdefghi   cj
abdefghij   c
abdefghj   ci
abdefgh   cij
abdefh   cgij
abdefhj   cgi
abdefhij   cg
abdefhi   cgj
abdefi   cghj
abdefij   cgh
abdefj   cghi
abdef   cghij
abdf   ceghij
abdfj   ceghi
abdfij   cegh
abdfi   ceghj
abdfhi   cegj
abdfhij   ceg
abdfhj   cegi
abdfh   cegij
abdfgh   ceij
abdfghj   cei
abdfghij   ce
abdfghi   cej
abdfgi   cehj
abdfgij   ceh
abdfgj   cehi
abdfg   cehij
abdg   cefhij
abdgj   cefhi
abdgij   cefh
abdgi   cefhj
abdghi   cefj
abdghij   cef
abdghj   cefi
abdgh   cefij
abdh   cefgij
abdhj   cefgi
abdhij   cefg
abdhi   cefgj
abdi   cefghj
abdij   cefgh
abdj   cefghi
abd   cefghij
abcd   efghij
abcdj   efghi
abcdij   efgh
abcdi   efghj
abcdhi   efgj
abcdhij   efg
abcdhj   efgi
abcdh   efgij
abcdgh   efij
abcdghj   efi
abcdghij   ef
abcdghi   efj
abcdgi   efhj
abcdgij   efh
abcdgj   efhi
abcdg   efhij
abcdfg   ehij
abcdfgj   ehi
abcdfgij   eh
abcdfgi   ehj
abcdfghi   ej
abcdfghij   e
abcdfghj   ei
abcdfgh   eij
abcdfh   egij
abcdfhj   egi
abcdfhij   eg
abcdfhi   egj
abcdfi   eghj
abcdfij   egh
abcdfj   eghi
abcdf   eghij
abcdef   ghij
abcdefj   ghi
abcdefij   gh
abcdefi   ghj
abcdefhi   gj
abcdefhij   g
abcdefhj   gi
abcdefh   gij
abcdefgh   ij
abcdefghj   i
abcdefghij
abcdefghi   j
abcdefgi   hj
abcdefgij   h
abcdefgj   hi
abcdefg   hij
abcdeg   fhij
abcdegj   fhi
abcdegij   fh
abcdegi   fhj
abcdeghi   fj
abcdeghij   f
abcdeghj   fi
abcdegh   fij
abcdeh   fgij
abcdehj   fgi
abcdehij   fg
abcdehi   fgj
abcdei   fghj
abcdeij   fgh
abcdej   fghi
abcde   fghij
abce   dfghij
abcej   dfghi
abceij   dfgh
abcei   dfghj
abcehi   dfgj
abcehij   dfg
abcehj   dfgi
abceh   dfgij
abcegh   dfij
abceghj   dfi
abceghij   df
abceghi   dfj
abcegi   dfhj
abcegij   dfh
abcegj   dfhi
abceg   dfhij
abcefg   dhij
abcefgj   dhi
abcefgij   dh
abcefgi   dhj
abcefghi   dj
abcefghij   d
abcefghj   di
abcefgh   dij
abcefh   dgij
abcefhj   dgi
abcefhij   dg
abcefhi   dgj
abcefi   dghj
abcefij   dgh
abcefj   dghi
abcef   dghij
abcf   deghij
abcfj   deghi
abcfij   degh
abcfi   deghj
abcfhi   degj
abcfhij   deg
abcfhj   degi
abcfh   degij
abcfgh   deij
abcfghj   dei
abcfghij   de
abcfghi   dej
abcfgi   dehj
abcfgij   deh
abcfgj   dehi
abcfg   dehij
abcg   defhij
abcgj   defhi
abcgij   defh
abcgi   defhj
abcghi   defj
abcghij   def
abcghj   defi
abcgh   defij
abch   defgij
abchj   defgi
abchij   defg
abchi   defgj
abci   defghj
abcij   defgh
abcj   defghi
abc   defghij
ac   bdefghij
acj   bdefghi
acij   bdefgh
aci   bdefghj
achi   bdefgj
achij   bdefg
achj   bdefgi
ach   bdefgij
acgh   bdefij
acghj   bdefi
acghij   bdef
acghi   bdefj
acgi   bdefhj
acgij   bdefh
acgj   bdefhi
acg   bdefhij
acfg   bdehij
acfgj   bdehi
acfgij   bdeh
acfgi   bdehj
acfghi   bdej
acfghij   bde
acfghj   bdei
acfgh   bdeij
acfh   bdegij
acfhj   bdegi
acfhij   bdeg
acfhi   bdegj
acfi   bdeghj
acfij   bdegh
acfj   bdeghi
acf   bdeghij
acef   bdghij
acefj   bdghi
acefij   bdgh
acefi   bdghj
acefhi   bdgj
acefhij   bdg
acefhj   bdgi
acefh   bdgij
acefgh   bdij
acefghj   bdi
acefghij   bd
acefghi   bdj
acefgi   bdhj
acefgij   bdh
acefgj   bdhi
acefg   bdhij
aceg   bdfhij
acegj   bdfhi
acegij   bdfh
acegi   bdfhj
aceghi   bdfj
aceghij   bdf
aceghj   bdfi
acegh   bdfij
aceh   bdfgij
acehj   bdfgi
acehij   bdfg
acehi   bdfgj
acei   bdfghj
aceij   bdfgh
acej   bdfghi
ace   bdfghij
acde   bfghij
acdej   bfghi
acdeij   bfgh
acdei   bfghj
acdehi   bfgj
acdehij   bfg
acdehj   bfgi
acdeh   bfgij
acdegh   bfij
acdeghj   bfi
acdeghij   bf
acdeghi   bfj
acdegi   bfhj
acdegij   bfh
acdegj   bfhi
acdeg   bfhij
acdefg   bhij
acdefgj   bhi
acdefgij   bh
acdefgi   bhj
acdefghi   bj
acdefghij   b
acdefghj   bi
acdefgh   bij
acdefh   bgij
acdefhj   bgi
acdefhij   bg
acdefhi   bgj
acdefi   bghj
acdefij   bgh
acdefj   bghi
acdef   bghij
acdf   beghij
acdfj   beghi
acdfij   begh
acdfi   beghj
acdfhi   begj
acdfhij   beg
acdfhj   begi
acdfh   begij
acdfgh   beij
acdfghj   bei
acdfghij   be
acdfghi   bej
acdfgi   behj
acdfgij   beh
acdfgj   behi
acdfg   behij
acdg   befhij
acdgj   befhi
acdgij   befh
acdgi   befhj
acdghi   befj
acdghij   bef
acdghj   befi
acdgh   befij
acdh   befgij
acdhj   befgi
acdhij   befg
acdhi   befgj
acdi   befghj
acdij   befgh
acdj   befghi
acd   befghij
ae   bcdfghij
aej   bcdfghi
aeij   bcdfgh
aei   bcdfghj
aehi   bcdfgj
aehij   bcdfg
aehj   bcdfgi
aeh   bcdfgij
aegh   bcdfij
aeghj   bcdfi
aeghij   bcdf
aeghi   bcdfj
aegi   bcdfhj
aegij   bcdfh
aegj   bcdfhi
aeg   bcdfhij
aefg   bcdhij
aefgj   bcdhi
aefgij   bcdh
aefgi   bcdhj
aefghi   bcdj
aefghij   bcd
aefghj   bcdi
aefgh   bcdij
aefh   bcdgij
aefhj   bcdgi
aefhij   bcdg
aefhi   bcdgj
aefi   bcdghj
aefij   bcdgh
aefj   bcdghi
aef   bcdghij
af   bcdeghij
afj   bcdeghi
afij   bcdegh
afi   bcdeghj
afhi   bcdegj
afhij   bcdeg
afhj   bcdegi
afh   bcdegij
afgh   bcdeij
afghj   bcdei
afghij   bcde
afghi   bcdej
afgi   bcdehj
afgij   bcdeh
afgj   bcdehi
afg   bcdehij
ag   bcdefhij
agj   bcdefhi
agij   bcdefh
agi   bcdefhj
aghi   bcdefj
aghij   bcdef
aghj   bcdefi
agh   bcdefij
ah   bcdefgij
ahj   bcdefgi
ahij   bcdefg
ahi   bcdefgj
ai   bcdefghj
aij   bcdefgh
aj   bcdefghi
a   bcdefghij

 Posted by Charlie on 2013-08-13 01:52:49

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