All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Algebra and Primes (Posted on 2013-12-25)
Find all triples (x, y, z) of positive integers such that x³ + y³ + z³ - 3xyz = p

where p is a prime greater than 3

 No Solution Yet Submitted by Danish Ahmed Khan Rating: 4.0000 (3 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 computer exploration (spoiler) | Comment 1 of 3

5   open "algeprm.txt" for output as #2
10   for Tot=3 to 500
20    for X=1 to int(Tot//3)
30       for Y=X to int((Tot-X)//2)
40          Z=Tot-X-Y
50          P=X^3+Y^3+Z^3-3*X*Y*Z
60          if fnPrime(P) then
70              :print X;Y;Z,P
71              :print #2,X;Y;Z,P
80       next
90    next
100   next
150   close
800   end
900   '
10000   fnOddfact(N)
10010   local K=0,P
10030   while N@2=0
10040     N=N\2
10050     K=K+1
10060   wend
10070   P=pack(N,K)
10080   return(P)
10090   '
10100   fnPrime(N)
10110   local I,X,J,Y,Q,K,T,Ans
10120   if N@2=0 then Ans=0:goto *EndPrime
10125   O=fnOddfact(N-1)
10130   Q=member(O,1)
10140   K=member(O,2)
10150   I=0
10160   repeat
10170     repeat
10180       X=fnLrand(N)
10190     until X>1
10200     J=0
10210     Y=modpow(X,Q,N)
10220     loop
10230       if or{and{J=0,Y=1},Y=N-1} then goto *ProbPrime
10240       if and{J>0,Y=1} then goto *NotPrime
10250       J=J+1
10260       if J=K then goto *NotPrime
10270       Y=(Y*Y)@N
10280     endloop
10290    *ProbPrime
10300     I=I+1
10310   until I>50
10320   Ans=1
10330   goto *EndPrime
10340   *NotPrime
10350   Ans=0
10360   *EndPrime
10370   return(Ans)
10380   '
10400   fnLrand(N)
10410   local R
10415   N=int(N)
10420   R=(int(rnd*10^(alen(N)+2)))@N
10430   return(R)
10440   '
10500   fnNxprime(X)
10510   if X@2=0 then X=X+1
10520   while fnPrime(X)=0
10530     X=X+2
10540   wend
10550   return(X)
10560   '

There seems to be a pattern: you can get any prime you want by making two of the numbers the same, and one differing by 1. The numbers themselves then also add up to the prime.

1  2  2   5
2  2  3   7
3  4  4   11
4  4  5   13
5  6  6   17
6  6  7   19
7  8  8   23
9  10  10   29
10  10  11   31
12  12  13   37
13  14  14   41
14  14  15   43
15  16  16   47
17  18  18   53
19  20  20   59
20  20  21   61
22  22  23   67
23  24  24   71
24  24  25   73
26  26  27   79
27  28  28   83
29  30  30   89
32  32  33   97
33  34  34   101
34  34  35   103
35  36  36   107
36  36  37   109
37  38  38   113
42  42  43   127
43  44  44   131
45  46  46   137
46  46  47   139
49  50  50   149
50  50  51   151
52  52  53   157
54  54  55   163
55  56  56   167
57  58  58   173
59  60  60   179
60  60  61   181
63  64  64   191
64  64  65   193
65  66  66   197
66  66  67   199
70  70  71   211
74  74  75   223
75  76  76   227
76  76  77   229
77  78  78   233
79  80  80   239
80  80  81   241
83  84  84   251
85  86  86   257
87  88  88   263
89  90  90   269
90  90  91   271
92  92  93   277
93  94  94   281
94  94  95   283
97  98  98   293
102  102  103   307
103  104  104   311
104  104  105   313
105  106  106   317
110  110  111   331
112  112  113   337
115  116  116   347
116  116  117   349
117  118  118   353
119  120  120   359
122  122  123   367
124  124  125   373
126  126  127   379
127  128  128   383
129  130  130   389
132  132  133   397
133  134  134   401
136  136  137   409
139  140  140   419
140  140  141   421
143  144  144   431
144  144  145   433
146  146  147   439
147  148  148   443
149  150  150   449
152  152  153   457
153  154  154   461
154  154  155   463
155  156  156   467
159  160  160   479
162  162  163   487
163  164  164   491
166  166  167   499

 Posted by Charlie on 2013-12-25 12:22:06

 Search: Search body:
Forums (0)