Each of X and Y is a positive integer such that each of X+Y and X/Y is a perfect square.
Does there exist an infinite number of pairs (X,Y) satisfying all the given conditions?
Give reasons for your answer.
There are 668 cases where x+y is a square of a million or less, not counting the trivial cases where x = y. In most of these cases y is not equal to x/y + 1.
x y x+y x/y
20 5 25 4
98 2 100 49
90 10 100 9
80 20 100 4
180 45 225 4
272 17 289 16
392 8 400 49
360 40 400 9
320 80 400 4
500 125 625 4
650 26 676 25
882 18 900 49
810 90 900 9
720 180 900 4
1088 68 1156 16
980 245 1225 4
1332 37 1369 36
1568 32 1600 49
1440 160 1600 9
1280 320 1600 4
1620 405 2025 4
2450 50 2500 49
2250 250 2500 9
2000 500 2500 4
2448 153 2601 16
2600 104 2704 25
2420 605 3025 4
3362 2 3364 1681
3528 72 3600 49
3240 360 3600 9
2880 720 3600 4
4212 13 4225 324
4160 65 4225 64
3380 845 4225 4
4352 272 4624 16
4802 98 4900 49
4410 490 4900 9
3920 980 4900 4
5328 148 5476 36
4500 1125 5625 4
5850 234 6084 25
6272 128 6400 49
5760 640 6400 9
5120 1280 6400 4
6642 82 6724 81
7220 5 7225 1444
6800 425 7225 16
5780 1445 7225 4
7938 162 8100 49
7290 810 8100 9
6480 1620 8100 4
7220 1805 9025 4
9800 200 10000 49
9000 1000 10000 9
8000 2000 10000 4
10100 101 10201 100
9792 612 10404 16
10400 416 10816 25
8820 2205 11025 4
11858 242 12100 49
10890 1210 12100 9
9680 2420 12100 4
11988 333 12321 36
10580 2645 13225 4
13448 8 13456 1681
13328 833 14161 16
14112 288 14400 49
12960 1440 14400 9
11520 2880 14400 4
14762 122 14884 121
12500 3125 15625 4
16848 52 16900 324
16640 260 16900 64
16562 338 16900 49
16250 650 16900 25
15210 1690 16900 9
13520 3380 16900 4
14580 3645 18225 4
17408 1088 18496 16
19208 392 19600 49
17640 1960 19600 9
15680 3920 19600 4
20880 145 21025 144
16820 4205 21025 4
21312 592 21904 36
22050 450 22500 49
20250 2250 22500 9
18000 4500 22500 4
22032 1377 23409 16
19220 4805 24025 4
23400 936 24336 25
25088 512 25600 49
23040 2560 25600 9
20480 5120 25600 4
26568 328 26896 81
21780 5445 27225 4
28880 20 28900 1444
28730 170 28900 169
28322 578 28900 49
27200 1700 28900 16
26010 2890 28900 9
23120 5780 28900 4
30258 18 30276 1681
24500 6125 30625 4
31752 648 32400 49
29160 3240 32400 9
25920 6480 32400 4
31850 1274 33124 25
33300 925 34225 36
27380 6845 34225 4
32912 2057 34969 16
35378 722 36100 49
32490 3610 36100 9
28880 7220 36100 4
37908 117 38025 324
37440 585 38025 64
30420 7605 38025 4
38612 197 38809 196
39200 800 40000 49
36000 4000 40000 9
32000 8000 40000 4
40400 404 40804 100
39168 2448 41616 16
41984 41 42025 1024
33620 8405 42025 4
41600 1664 43264 25
43218 882 44100 49
39690 4410 44100 9
35280 8820 44100 4
36980 9245 46225 4
47432 968 48400 49
43560 4840 48400 9
38720 9680 48400 4
45968 2873 48841 16
47952 1332 49284 36
40500 10125 50625 4
50850 226 51076 225
51842 1058 52900 49
47610 5290 52900 9
42320 10580 52900 4
53792 32 53824 1681
52650 2106 54756 25
44180 11045 55225 4
53312 3332 56644 16
56448 1152 57600 49
51840 5760 57600 9
46080 11520 57600 4
59048 488 59536 121
48020 12005 60025 4
59778 738 60516 81
61250 1250 62500 49
56250 6250 62500 9
50000 12500 62500 4
64980 45 65025 1444
61200 3825 65025 16
52020 13005 65025 4
65792 257 66049 256
65268 1813 67081 36
67392 208 67600 324
66560 1040 67600 64
66248 1352 67600 49
65000 2600 67600 25
60840 6760 67600 9
54080 13520 67600 4
56180 14045 70225 4
71442 1458 72900 49
65610 7290 72900 9
58320 14580 72900 4
69632 4352 73984 16
60500 15125 75625 4
76832 1568 78400 49
70560 7840 78400 9
62720 15680 78400 4
64980 16245 81225 4
78650 3146 81796 25
78608 4913 83521 16
84050 50 84100 1681
83810 290 84100 289
83520 580 84100 144
82418 1682 84100 49
75690 8410 84100 9
67280 16820 84100 4
69620 17405 87025 4
85248 2368 87616 36
88200 1800 90000 49
81000 9000 90000 9
72000 18000 90000 4
90900 909 91809 100
74420 18605 93025 4
88128 5508 93636 16
94178 1922 96100 49
86490 9610 96100 9
76880 19220 96100 4
93600 3744 97344 25
79380 19845 99225 4
100352 2048 102400 49
92160 10240 102400 9
81920 20480 102400 4
98192 6137 104329 16
105300 325 105625 324
104000 1625 105625 64
84500 21125 105625 4
106272 1312 107584 81
106722 2178 108900 49
98010 10890 108900 9
87120 21780 108900 4
107892 2997 110889 36
89780 22445 112225 4
114242 2 114244 57121
109850 4394 114244 25
115520 80 115600 1444
114920 680 115600 169
113288 2312 115600 49
108800 6800 115600 16
104040 11560 115600 9
92480 23120 115600 4
95220 23805 119025 4
121032 72 121104 1681
120050 2450 122500 49
110250 12250 122500 9
98000 24500 122500 4
100820 25205 126025 4
119952 7497 127449 16
127008 2592 129600 49
116640 12960 129600 9
103680 25920 129600 4
130682 362 131044 361
127400 5096 132496 25
106580 26645 133225 4
132858 1098 133956 121
136890 10 136900 13689
136826 74 136900 1849
134162 2738 136900 49
133200 3700 136900 36
123210 13690 136900 9
109520 27380 136900 4
131648 8228 139876 16
112500 28125 140625 4
142100 29 142129 4900
141512 2888 144400 49
129960 14440 144400 9
115520 28880 144400 4
118580 29645 148225 4
151632 468 152100 324
149760 2340 152100 64
149058 3042 152100 49
146250 5850 152100 25
136890 15210 152100 9
121680 30420 152100 4
143888 8993 152881 16
154448 788 155236 196
124820 31205 156025 4
156800 3200 160000 49
144000 16000 160000 9
128000 32000 160000 4
160400 401 160801 400
161600 1616 163216 100
131220 32805 164025 4
164738 98 164836 1681
161172 4477 165649 36
156672 9792 166464 16
167936 164 168100 1024
166050 2050 168100 81
164738 3362 168100 49
151290 16810 168100 9
134480 33620 168100 4
137780 34445 172225 4
166400 6656 173056 25
172872 3528 176400 49
158760 17640 176400 9
141120 35280 176400 4
180500 125 180625 1444
170000 10625 180625 16
144500 36125 180625 4
181202 3698 184900 49
166410 18490 184900 9
147920 36980 184900 4
187920 1305 189225 144
151380 37845 189225 4
189728 3872 193600 49
174240 19360 193600 9
154880 38720 193600 4
194922 442 195364 441
187850 7514 195364 25
183872 11492 195364 16
191808 5328 197136 36
158420 39605 198025 4
198450 4050 202500 49
182250 20250 202500 9
162000 40500 202500 4
203400 904 204304 225
206388 637 207025 324
203840 3185 207025 64
165620 41405 207025 4
198288 12393 210681 16
207368 4232 211600 49
190440 21160 211600 9
169280 42320 211600 4
215168 128 215296 1681
172980 43245 216225 4
210600 8424 219024 25
216482 4418 220900 49
198810 22090 220900 9
176720 44180 220900 4
180500 45125 225625 4
213248 13328 226576 16
225792 4608 230400 49
207360 23040 230400 9
184320 46080 230400 4
225108 6253 231361 36
234740 485 235225 484
188180 47045 235225 4
236192 1952 238144 121
235298 4802 240100 49
216090 24010 240100 9
192080 48020 240100 4
239112 2952 242064 81
228752 14297 243049 16
234650 9386 244036 25
196020 49005 245025 4
245000 5000 250000 49
225000 25000 250000 9
200000 50000 250000 4
252500 2525 255025 100
204020 51005 255025 4
259920 180 260100 1444
258570 1530 260100 169
254898 5202 260100 49
244800 15300 260100 16
234090 26010 260100 9
208080 52020 260100 4
263168 1028 264196 256
212180 53045 265225 4
261072 7252 268324 36
269568 832 270400 324
266240 4160 270400 64
264992 5408 270400 49
260000 10400 270400 25
243360 27040 270400 9
216320 54080 270400 4
272322 162 272484 1681
220500 55125 275625 4
261392 16337 277729 16
280370 530 280900 529
275282 5618 280900 49
252810 28090 280900 9
224720 56180 280900 4
228980 57245 286225 4
285768 5832 291600 49
262440 29160 291600 9
233280 58320 291600 4
278528 17408 295936 16
237620 59405 297025 4
286650 11466 298116 25
296450 6050 302500 49
272250 30250 302500 9
242000 60500 302500 4
299700 8325 308025 36
246420 61605 308025 4
307328 6272 313600 49
282240 31360 313600 9
250880 62720 313600 4
296208 18513 314721 16
255380 63845 319225 4
318402 6498 324900 49
292410 32490 324900 9
259920 64980 324900 4
314600 12584 327184 25
325458 4018 329476 81
264500 66125 330625 4
332352 577 332929 576
314432 19652 334084 16
336200 200 336400 1681
335240 1160 336400 289
334080 2320 336400 144
329672 6728 336400 49
302760 33640 336400 9
269120 67280 336400 4
341172 1053 342225 324
336960 5265 342225 64
273780 68445 342225 4
341138 6962 348100 49
313290 34810 348100 9
278480 69620 348100 4
347508 1773 349281 196
340992 9472 350464 36
353780 245 354025 1444
333200 20825 354025 16
283220 70805 354025 4
343850 13754 357604 25
352800 7200 360000 49
324000 36000 360000 9
288000 72000 360000 4
292820 73205 366025 4
363600 3636 367236 100
369050 3050 372100 121
364658 7442 372100 49
334890 37210 372100 9
297680 74420 372100 4
352512 22032 374544 16
377856 369 378225 1024
302580 75645 378225 4
376712 7688 384400 49
345960 38440 384400 9
307520 76880 384400 4
374400 14976 389376 25
312500 78125 390625 4
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372368 23273 395641 16
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357210 39690 396900 9
317520 79380 396900 4
322580 80645 403225 4
406802 242 407044 1681
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422370 130 422500 3249
421200 1300 422500 324
416000 6500 422500 64
414050 8450 422500 49
406250 16250 422500 25
380250 42250 422500 9
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413712 25857 439569 16
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404010 44890 448900 9
359120 89780 448900 4
364500 91125 455625 4
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439400 17576 456976 25
457652 677 458329 676
457650 2034 459684 225
462080 320 462400 1444
459680 2720 462400 169
453152 9248 462400 49
435200 27200 462400 16
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428490 47610 476100 9
380880 95220 476100 4
386420 96605 483025 4
484128 288 484416 1681
457232 28577 485809 16
480200 9800 490000 49
441000 49000 490000 9
392000 98000 490000 4
473850 18954 492804 25
480852 13357 494209 36
397620 99405 497025 4
494900 4949 499849 100
494018 10082 504100 49
453690 50410 504100 9
403280 100820 504100 4
479808 29988 509796 16
509652 1573 511225 324
503360 7865 511225 64
408980 102245 511225 4
508032 10368 518400 49
466560 51840 518400 9
414720 103680 518400 4
522728 1448 524176 361
522000 3625 525625 144
420500 105125 525625 4
509600 20384 529984 25
532170 730 532900 729
522242 10658 532900 49
479610 53290 532900 9
426320 106580 532900 4
502928 31433 534361 16
531432 4392 535824 121
432180 108045 540225 4
538002 6642 544644 81
547560 40 547600 13689
547304 296 547600 1849
536648 10952 547600 49
532800 14800 547600 36
492840 54760 547600 9
438080 109520 547600 4
444020 111005 555025 4
526592 32912 559504 16
551250 11250 562500 49
506250 56250 562500 9
450000 112500 562500 4
568458 58 568516 9801
568400 116 568516 4900
568178 338 568516 1681
546650 21866 568516 25
456020 114005 570025 4
566048 11552 577600 49
519840 57760 577600 9
462080 115520 577600 4
584820 405 585225 1444
550800 34425 585225 16
468180 117045 585225 4
581042 11858 592900 49
533610 59290 592900 9
474320 118580 592900 4
592128 2313 594441 256
480500 120125 600625 4
587412 16317 603729 36
606528 1872 608400 324
599040 9360 608400 64
596232 12168 608400 49
585000 23400 608400 25
547560 60840 608400 9
486720 121680 608400 4
575552 35972 611524 16
615440 785 616225 784
492980 123245 616225 4
617792 3152 620944 196
611618 12482 624100 49
561690 62410 624100 9
499280 124820 624100 4
505620 126405 632025 4
600848 37553 638401 16
627200 12800 640000 49
576000 64000 640000 9
512000 128000 640000 4
641600 1604 643204 400
518420 129605 648025 4
624650 24986 649636 25
646400 6464 652864 100
642978 13122 656100 49
590490 65610 656100 9
524880 131220 656100 4
658952 392 659344 1681
644688 17908 662596 36
531380 132845 664225 4
626688 39168 665856 16
671744 656 672400 1024
664200 8200 672400 81
658952 13448 672400 49
605160 67240 672400 9
537920 134480 672400 4
544500 136125 680625 4
675122 13778 688900 49
620010 68890 688900 9
551120 137780 688900 4
665600 26624 692224 25
653072 40817 693889 16
557780 139445 697225 4
691488 14112 705600 49
635040 70560 705600 9
564480 141120 705600 4
708122 842 708964 841
711828 2197 714025 324
703040 10985 714025 64
571220 142805 714025 4
722000 500 722500 1444
718250 4250 722500 169
708050 14450 722500 49
680000 42500 722500 16
650250 72250 722500 9
578000 144500 722500 4
704628 19573 724201 36
723338 5978 729316 121
584820 146205 731025 4
707850 28314 736164 25
724808 14792 739600 49
665640 73960 739600 9
591680 147920 739600 4
598580 149645 748225 4
707472 44217 751689 16
756450 450 756900 1681
754290 2610 756900 289
751680 5220 756900 144
741762 15138 756900 49
681210 75690 756900 9
605520 151380 756900 4
612500 153125 765625 4
758912 15488 774400 49
696960 77440 774400 9
619520 154880 774400 4
779688 1768 781456 441
751400 30056 781456 25
735488 45968 781456 16
626580 156645 783225 4
767232 21312 788544 36
776258 15842 792100 49
712890 79210 792100 9
633680 158420 792100 4
640820 160205 801025 4
793800 16200 810000 49
729000 81000 810000 9
648000 162000 810000 4
810900 901 811801 900
764048 47753 811801 16
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813600 3616 817216 225
655220 163805 819025 4
818100 8181 826281 100
825552 2548 828100 324
815360 12740 828100 64
811538 16562 828100 49
796250 31850 828100 25
745290 82810 828100 9
662480 165620 828100 4
669780 167445 837225 4
793152 49572 842724 16
829472 16928 846400 49
761760 84640 846400 9
677120 169280 846400 4
855440 185 855625 4624
832500 23125 855625 36
684500 171125 855625 4
860672 512 861184 1681
847602 17298 864900 49
778410 86490 864900 9
691920 172980 864900 4
873620 605 874225 1444
822800 51425 874225 16
699380 174845 874225 4
842400 33696 876096 25
865928 17672 883600 49
795240 88360 883600 9
706880 176720 883600 4
714420 178605 893025 4
884450 18050 902500 49
812250 90250 902500 9
722000 180500 902500 4
852992 53312 906304 16
729620 182405 912025 4
903168 18432 921600 49
829440 92160 921600 9
737280 184320 921600 4
924482 962 925444 961
900432 25012 925444 36
889850 35594 925444 25
744980 186245 931225 4
883728 55233 938961 16
938960 1940 940900 484
922082 18818 940900 49
846810 94090 940900 9
752720 188180 940900 4
947700 2925 950625 324
936000 14625 950625 64
760500 190125 950625 4
944768 7808 952576 121
941192 19208 960400 49
864360 96040 960400 9
768320 192080 960400 4
956448 11808 968256 81
965300 4925 970225 196
776180 194045 970225 4
971618 578 972196 1681
915008 57188 972196 16
938600 37544 976144 25
960498 19602 980100 49
882090 98010 980100 9
784080 196020 980100 4
792020 198005 990025 4
971028 26973 998001 36
980000 20000 1000000 49
900000 100000 1000000 9
800000 200000 1000000 4
For srtot = 2 To 1000
tot = srtot * srtot
For y = 1 To (tot - 1) / 2
x = tot - y
If x Mod y = 0 Then
sr = Int(Sqr(x / y) + 0.5)
If sr * sr = x / y Then
Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & " " & Str(tot) & Str(x / y) & crlf
DoEvents
End If
End If
Next
Next srtot
Some larger values (those where x+y lies between 10000^2 and 10010^2) are:
98000000 2000000 100000000 49
90000000 10000000 100000000 9
80000000 20000000 100000000 4
100010000 10001 100020001 10000
100040000 40016 100080016 2500
99259688 820328 100080016 121
98859528 1220488 100080016 81
99409680 690345 100100025 144
80080020 20020005 100100025 4
99891792 308308 100200100 324
98658560 1541540 100200100 64
98196098 2004002 100200100 49
96346250 3853850 100200100 25
90180090 10020010 100200100 9
80160080 20040020 100200100 4
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Posted by Charlie
on 2014-09-28 21:57:30 |
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