All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Just Math
Square Result Rumination (Posted on 2014-09-28) Difficulty: 3 of 5
Each of X and Y is a positive integer such that each of X+Y and X/Y is a perfect square.

Does there exist an infinite number of pairs (X,Y) satisfying all the given conditions?
Give reasons for your answer.

No Solution Yet Submitted by K Sengupta    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
other types of cases | Comment 5 of 6 |
There are 668 cases where x+y is a square of a million or less, not counting the trivial cases where x = y. In most of these cases y is not equal to x/y + 1. 

 x  y  x+y  x/y
20 5    25 4
98 2    100 49
90 10    100 9
80 20    100 4
180 45    225 4
272 17    289 16
392 8    400 49
360 40    400 9
320 80    400 4
500 125    625 4
650 26    676 25
882 18    900 49
810 90    900 9
720 180    900 4
1088 68    1156 16
980 245    1225 4
1332 37    1369 36
1568 32    1600 49
1440 160    1600 9
1280 320    1600 4
1620 405    2025 4
2450 50    2500 49
2250 250    2500 9
2000 500    2500 4
2448 153    2601 16
2600 104    2704 25
2420 605    3025 4
3362 2    3364 1681
3528 72    3600 49
3240 360    3600 9
2880 720    3600 4
4212 13    4225 324
4160 65    4225 64
3380 845    4225 4
4352 272    4624 16
4802 98    4900 49
4410 490    4900 9
3920 980    4900 4
5328 148    5476 36
4500 1125    5625 4
5850 234    6084 25
6272 128    6400 49
5760 640    6400 9
5120 1280    6400 4
6642 82    6724 81
7220 5    7225 1444
6800 425    7225 16
5780 1445    7225 4
7938 162    8100 49
7290 810    8100 9
6480 1620    8100 4
7220 1805    9025 4
9800 200    10000 49
9000 1000    10000 9
8000 2000    10000 4
10100 101    10201 100
9792 612    10404 16
10400 416    10816 25
8820 2205    11025 4
11858 242    12100 49
10890 1210    12100 9
9680 2420    12100 4
11988 333    12321 36
10580 2645    13225 4
13448 8    13456 1681
13328 833    14161 16
14112 288    14400 49
12960 1440    14400 9
11520 2880    14400 4
14762 122    14884 121
12500 3125    15625 4
16848 52    16900 324
16640 260    16900 64
16562 338    16900 49
16250 650    16900 25
15210 1690    16900 9
13520 3380    16900 4
14580 3645    18225 4
17408 1088    18496 16
19208 392    19600 49
17640 1960    19600 9
15680 3920    19600 4
20880 145    21025 144
16820 4205    21025 4
21312 592    21904 36
22050 450    22500 49
20250 2250    22500 9
18000 4500    22500 4
22032 1377    23409 16
19220 4805    24025 4
23400 936    24336 25
25088 512    25600 49
23040 2560    25600 9
20480 5120    25600 4
26568 328    26896 81
21780 5445    27225 4
28880 20    28900 1444
28730 170    28900 169
28322 578    28900 49
27200 1700    28900 16
26010 2890    28900 9
23120 5780    28900 4
30258 18    30276 1681
24500 6125    30625 4
31752 648    32400 49
29160 3240    32400 9
25920 6480    32400 4
31850 1274    33124 25
33300 925    34225 36
27380 6845    34225 4
32912 2057    34969 16
35378 722    36100 49
32490 3610    36100 9
28880 7220    36100 4
37908 117    38025 324
37440 585    38025 64
30420 7605    38025 4
38612 197    38809 196
39200 800    40000 49
36000 4000    40000 9
32000 8000    40000 4
40400 404    40804 100
39168 2448    41616 16
41984 41    42025 1024
33620 8405    42025 4
41600 1664    43264 25
43218 882    44100 49
39690 4410    44100 9
35280 8820    44100 4
36980 9245    46225 4
47432 968    48400 49
43560 4840    48400 9
38720 9680    48400 4
45968 2873    48841 16
47952 1332    49284 36
40500 10125    50625 4
50850 226    51076 225
51842 1058    52900 49
47610 5290    52900 9
42320 10580    52900 4
53792 32    53824 1681
52650 2106    54756 25
44180 11045    55225 4
53312 3332    56644 16
56448 1152    57600 49
51840 5760    57600 9
46080 11520    57600 4
59048 488    59536 121
48020 12005    60025 4
59778 738    60516 81
61250 1250    62500 49
56250 6250    62500 9
50000 12500    62500 4
64980 45    65025 1444
61200 3825    65025 16
52020 13005    65025 4
65792 257    66049 256
65268 1813    67081 36
67392 208    67600 324
66560 1040    67600 64
66248 1352    67600 49
65000 2600    67600 25
60840 6760    67600 9
54080 13520    67600 4
56180 14045    70225 4
71442 1458    72900 49
65610 7290    72900 9
58320 14580    72900 4
69632 4352    73984 16
60500 15125    75625 4
76832 1568    78400 49
70560 7840    78400 9
62720 15680    78400 4
64980 16245    81225 4
78650 3146    81796 25
78608 4913    83521 16
84050 50    84100 1681
83810 290    84100 289
83520 580    84100 144
82418 1682    84100 49
75690 8410    84100 9
67280 16820    84100 4
69620 17405    87025 4
85248 2368    87616 36
88200 1800    90000 49
81000 9000    90000 9
72000 18000    90000 4
90900 909    91809 100
74420 18605    93025 4
88128 5508    93636 16
94178 1922    96100 49
86490 9610    96100 9
76880 19220    96100 4
93600 3744    97344 25
79380 19845    99225 4
100352 2048    102400 49
92160 10240    102400 9
81920 20480    102400 4
98192 6137    104329 16
105300 325    105625 324
104000 1625    105625 64
84500 21125    105625 4
106272 1312    107584 81
106722 2178    108900 49
98010 10890    108900 9
87120 21780    108900 4
107892 2997    110889 36
89780 22445    112225 4
114242 2    114244 57121
109850 4394    114244 25
115520 80    115600 1444
114920 680    115600 169
113288 2312    115600 49
108800 6800    115600 16
104040 11560    115600 9
92480 23120    115600 4
95220 23805    119025 4
121032 72    121104 1681
120050 2450    122500 49
110250 12250    122500 9
98000 24500    122500 4
100820 25205    126025 4
119952 7497    127449 16
127008 2592    129600 49
116640 12960    129600 9
103680 25920    129600 4
130682 362    131044 361
127400 5096    132496 25
106580 26645    133225 4
132858 1098    133956 121
136890 10    136900 13689
136826 74    136900 1849
134162 2738    136900 49
133200 3700    136900 36
123210 13690    136900 9
109520 27380    136900 4
131648 8228    139876 16
112500 28125    140625 4
142100 29    142129 4900
141512 2888    144400 49
129960 14440    144400 9
115520 28880    144400 4
118580 29645    148225 4
151632 468    152100 324
149760 2340    152100 64
149058 3042    152100 49
146250 5850    152100 25
136890 15210    152100 9
121680 30420    152100 4
143888 8993    152881 16
154448 788    155236 196
124820 31205    156025 4
156800 3200    160000 49
144000 16000    160000 9
128000 32000    160000 4
160400 401    160801 400
161600 1616    163216 100
131220 32805    164025 4
164738 98    164836 1681
161172 4477    165649 36
156672 9792    166464 16
167936 164    168100 1024
166050 2050    168100 81
164738 3362    168100 49
151290 16810    168100 9
134480 33620    168100 4
137780 34445    172225 4
166400 6656    173056 25
172872 3528    176400 49
158760 17640    176400 9
141120 35280    176400 4
180500 125    180625 1444
170000 10625    180625 16
144500 36125    180625 4
181202 3698    184900 49
166410 18490    184900 9
147920 36980    184900 4
187920 1305    189225 144
151380 37845    189225 4
189728 3872    193600 49
174240 19360    193600 9
154880 38720    193600 4
194922 442    195364 441
187850 7514    195364 25
183872 11492    195364 16
191808 5328    197136 36
158420 39605    198025 4
198450 4050    202500 49
182250 20250    202500 9
162000 40500    202500 4
203400 904    204304 225
206388 637    207025 324
203840 3185    207025 64
165620 41405    207025 4
198288 12393    210681 16
207368 4232    211600 49
190440 21160    211600 9
169280 42320    211600 4
215168 128    215296 1681
172980 43245    216225 4
210600 8424    219024 25
216482 4418    220900 49
198810 22090    220900 9
176720 44180    220900 4
180500 45125    225625 4
213248 13328    226576 16
225792 4608    230400 49
207360 23040    230400 9
184320 46080    230400 4
225108 6253    231361 36
234740 485    235225 484
188180 47045    235225 4
236192 1952    238144 121
235298 4802    240100 49
216090 24010    240100 9
192080 48020    240100 4
239112 2952    242064 81
228752 14297    243049 16
234650 9386    244036 25
196020 49005    245025 4
245000 5000    250000 49
225000 25000    250000 9
200000 50000    250000 4
252500 2525    255025 100
204020 51005    255025 4
259920 180    260100 1444
258570 1530    260100 169
254898 5202    260100 49
244800 15300    260100 16
234090 26010    260100 9
208080 52020    260100 4
263168 1028    264196 256
212180 53045    265225 4
261072 7252    268324 36
269568 832    270400 324
266240 4160    270400 64
264992 5408    270400 49
260000 10400    270400 25
243360 27040    270400 9
216320 54080    270400 4
272322 162    272484 1681
220500 55125    275625 4
261392 16337    277729 16
280370 530    280900 529
275282 5618    280900 49
252810 28090    280900 9
224720 56180    280900 4
228980 57245    286225 4
285768 5832    291600 49
262440 29160    291600 9
233280 58320    291600 4
278528 17408    295936 16
237620 59405    297025 4
286650 11466    298116 25
296450 6050    302500 49
272250 30250    302500 9
242000 60500    302500 4
299700 8325    308025 36
246420 61605    308025 4
307328 6272    313600 49
282240 31360    313600 9
250880 62720    313600 4
296208 18513    314721 16
255380 63845    319225 4
318402 6498    324900 49
292410 32490    324900 9
259920 64980    324900 4
314600 12584    327184 25
325458 4018    329476 81
264500 66125    330625 4
332352 577    332929 576
314432 19652    334084 16
336200 200    336400 1681
335240 1160    336400 289
334080 2320    336400 144
329672 6728    336400 49
302760 33640    336400 9
269120 67280    336400 4
341172 1053    342225 324
336960 5265    342225 64
273780 68445    342225 4
341138 6962    348100 49
313290 34810    348100 9
278480 69620    348100 4
347508 1773    349281 196
340992 9472    350464 36
353780 245    354025 1444
333200 20825    354025 16
283220 70805    354025 4
343850 13754    357604 25
352800 7200    360000 49
324000 36000    360000 9
288000 72000    360000 4
292820 73205    366025 4
363600 3636    367236 100
369050 3050    372100 121
364658 7442    372100 49
334890 37210    372100 9
297680 74420    372100 4
352512 22032    374544 16
377856 369    378225 1024
302580 75645    378225 4
376712 7688    384400 49
345960 38440    384400 9
307520 76880    384400 4
374400 14976    389376 25
312500 78125    390625 4
391250 626    391876 625
384948 10693    395641 36
372368 23273    395641 16
388962 7938    396900 49
357210 39690    396900 9
317520 79380    396900 4
322580 80645    403225 4
406802 242    407044 1681
401408 8192    409600 49
368640 40960    409600 9
327680 81920    409600 4
332820 83205    416025 4
392768 24548    417316 16
422370 130    422500 3249
421200 1300    422500 324
416000 6500    422500 64
414050 8450    422500 49
406250 16250    422500 25
380250 42250    422500 9
338000 84500    422500 4
343220 85805    429025 4
425088 5248    430336 81
426888 8712    435600 49
392040 43560    435600 9
348480 87120    435600 4
413712 25857    439569 16
353780 88445    442225 4
431568 11988    443556 36
439922 8978    448900 49
404010 44890    448900 9
359120 89780    448900 4
364500 91125    455625 4
456968 8    456976 57121
439400 17576    456976 25
457652 677    458329 676
457650 2034    459684 225
462080 320    462400 1444
459680 2720    462400 169
453152 9248    462400 49
435200 27200    462400 16
416160 46240    462400 9
369920 92480    462400 4
375380 93845    469225 4
466578 9522    476100 49
428490 47610    476100 9
380880 95220    476100 4
386420 96605    483025 4
484128 288    484416 1681
457232 28577    485809 16
480200 9800    490000 49
441000 49000    490000 9
392000 98000    490000 4
473850 18954    492804 25
480852 13357    494209 36
397620 99405    497025 4
494900 4949    499849 100
494018 10082    504100 49
453690 50410    504100 9
403280 100820    504100 4
479808 29988    509796 16
509652 1573    511225 324
503360 7865    511225 64
408980 102245    511225 4
508032 10368    518400 49
466560 51840    518400 9
414720 103680    518400 4
522728 1448    524176 361
522000 3625    525625 144
420500 105125    525625 4
509600 20384    529984 25
532170 730    532900 729
522242 10658    532900 49
479610 53290    532900 9
426320 106580    532900 4
502928 31433    534361 16
531432 4392    535824 121
432180 108045    540225 4
538002 6642    544644 81
547560 40    547600 13689
547304 296    547600 1849
536648 10952    547600 49
532800 14800    547600 36
492840 54760    547600 9
438080 109520    547600 4
444020 111005    555025 4
526592 32912    559504 16
551250 11250    562500 49
506250 56250    562500 9
450000 112500    562500 4
568458 58    568516 9801
568400 116    568516 4900
568178 338    568516 1681
546650 21866    568516 25
456020 114005    570025 4
566048 11552    577600 49
519840 57760    577600 9
462080 115520    577600 4
584820 405    585225 1444
550800 34425    585225 16
468180 117045    585225 4
581042 11858    592900 49
533610 59290    592900 9
474320 118580    592900 4
592128 2313    594441 256
480500 120125    600625 4
587412 16317    603729 36
606528 1872    608400 324
599040 9360    608400 64
596232 12168    608400 49
585000 23400    608400 25
547560 60840    608400 9
486720 121680    608400 4
575552 35972    611524 16
615440 785    616225 784
492980 123245    616225 4
617792 3152    620944 196
611618 12482    624100 49
561690 62410    624100 9
499280 124820    624100 4
505620 126405    632025 4
600848 37553    638401 16
627200 12800    640000 49
576000 64000    640000 9
512000 128000    640000 4
641600 1604    643204 400
518420 129605    648025 4
624650 24986    649636 25
646400 6464    652864 100
642978 13122    656100 49
590490 65610    656100 9
524880 131220    656100 4
658952 392    659344 1681
644688 17908    662596 36
531380 132845    664225 4
626688 39168    665856 16
671744 656    672400 1024
664200 8200    672400 81
658952 13448    672400 49
605160 67240    672400 9
537920 134480    672400 4
544500 136125    680625 4
675122 13778    688900 49
620010 68890    688900 9
551120 137780    688900 4
665600 26624    692224 25
653072 40817    693889 16
557780 139445    697225 4
691488 14112    705600 49
635040 70560    705600 9
564480 141120    705600 4
708122 842    708964 841
711828 2197    714025 324
703040 10985    714025 64
571220 142805    714025 4
722000 500    722500 1444
718250 4250    722500 169
708050 14450    722500 49
680000 42500    722500 16
650250 72250    722500 9
578000 144500    722500 4
704628 19573    724201 36
723338 5978    729316 121
584820 146205    731025 4
707850 28314    736164 25
724808 14792    739600 49
665640 73960    739600 9
591680 147920    739600 4
598580 149645    748225 4
707472 44217    751689 16
756450 450    756900 1681
754290 2610    756900 289
751680 5220    756900 144
741762 15138    756900 49
681210 75690    756900 9
605520 151380    756900 4
612500 153125    765625 4
758912 15488    774400 49
696960 77440    774400 9
619520 154880    774400 4
779688 1768    781456 441
751400 30056    781456 25
735488 45968    781456 16
626580 156645    783225 4
767232 21312    788544 36
776258 15842    792100 49
712890 79210    792100 9
633680 158420    792100 4
640820 160205    801025 4
793800 16200    810000 49
729000 81000    810000 9
648000 162000    810000 4
810900 901    811801 900
764048 47753    811801 16
803682 9922    813604 81
813600 3616    817216 225
655220 163805    819025 4
818100 8181    826281 100
825552 2548    828100 324
815360 12740    828100 64
811538 16562    828100 49
796250 31850    828100 25
745290 82810    828100 9
662480 165620    828100 4
669780 167445    837225 4
793152 49572    842724 16
829472 16928    846400 49
761760 84640    846400 9
677120 169280    846400 4
855440 185    855625 4624
832500 23125    855625 36
684500 171125    855625 4
860672 512    861184 1681
847602 17298    864900 49
778410 86490    864900 9
691920 172980    864900 4
873620 605    874225 1444
822800 51425    874225 16
699380 174845    874225 4
842400 33696    876096 25
865928 17672    883600 49
795240 88360    883600 9
706880 176720    883600 4
714420 178605    893025 4
884450 18050    902500 49
812250 90250    902500 9
722000 180500    902500 4
852992 53312    906304 16
729620 182405    912025 4
903168 18432    921600 49
829440 92160    921600 9
737280 184320    921600 4
924482 962    925444 961
900432 25012    925444 36
889850 35594    925444 25
744980 186245    931225 4
883728 55233    938961 16
938960 1940    940900 484
922082 18818    940900 49
846810 94090    940900 9
752720 188180    940900 4
947700 2925    950625 324
936000 14625    950625 64
760500 190125    950625 4
944768 7808    952576 121
941192 19208    960400 49
864360 96040    960400 9
768320 192080    960400 4
956448 11808    968256 81
965300 4925    970225 196
776180 194045    970225 4
971618 578    972196 1681
915008 57188    972196 16
938600 37544    976144 25
960498 19602    980100 49
882090 98010    980100 9
784080 196020    980100 4
792020 198005    990025 4
971028 26973    998001 36
980000 20000    1000000 49
900000 100000    1000000 9
800000 200000    1000000 4

 For srtot = 2 To 1000
   tot = srtot * srtot
   For y = 1 To (tot - 1) / 2
     x = tot - y
     If x Mod y = 0 Then
       sr = Int(Sqr(x / y) + 0.5)
       If sr * sr = x / y Then
         Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & "   " & Str(tot) & Str(x / y) & crlf
         DoEvents
       End If
     End If
   Next
 Next srtot

Some larger values (those where x+y lies between 10000^2 and 10010^2) are:

98000000 2000000    100000000 49
90000000 10000000    100000000 9
80000000 20000000    100000000 4
100010000 10001    100020001 10000
100040000 40016    100080016 2500
99259688 820328    100080016 121
98859528 1220488    100080016 81
99409680 690345    100100025 144
80080020 20020005    100100025 4
99891792 308308    100200100 324
98658560 1541540    100200100 64
98196098 2004002    100200100 49
96346250 3853850    100200100 25
90180090 10020010    100200100 9
80160080 20040020    100200100 4


  Posted by Charlie on 2014-09-28 21:57:30
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (7)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information