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 An ancient Egyptian problem (Posted on 2015-02-13)
Solve in integers:
4/n=1/x+1/y+1/z, n>1

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 computer solutions | Comment 2 of 5 |
5   kill "ancegypt.txt":open "ancegypt.txt" for output as #2
10   for Tot=2 to 10000
20    for A=1 to int(Tot/3)
30        for B=A+1 to int((Tot-A)/2)
40           C=Tot-A-B
50           F=1//A+1//B+1//C
60           if num(F)=1 or num(F)=2 or num(F)=4 then
65            :if gcd(gcd(A,B),C)=1 then
70               :print 1//A;1//B;1//C,F
75               :print #2,1//A;1//B;1//C,F
80        next
90     next
100   next

produces the following list of x, y, z and the sum of 1/x + 1/y + 1/z. If the numerator of the sum is 1 or 2, multiply both numerator and denominator by 4 or 2 respectively to get a fraction whose numerator is 4.  Each can be generalized as per Jer's comment.

The first example is 1/a + 1/(2a) + 1/(2a) = 4/(2a) in Jer's notation.

1  1/2  1/2   2
1/2  1/3  1/6   1
1  1/6  1/6   4/3
1  1/4  1/12   4/3
1/2  1/5  1/10   4/5
1/3  1/4  1/12   2/3
1/3  1/6  1/14   4/7
1/4  1/9  1/12   4/9
1/2  1/10  1/15   2/3
1/3  1/10  1/15   1/2
1/2  1/9  1/18   2/3
1/4  1/5  1/20   1/2
1/4  1/12  1/15   2/5
1/6  1/10  1/15   1/3
1/3  1/8  1/24   1/2
1/5  1/12  1/20   1/3
1/9  1/10  1/18   4/15
1/10  1/12  1/15   1/4
1/5  1/6  1/30   2/5
1/6  1/14  1/21   2/7
1/10  1/15  1/18   2/9
1/12  1/15  1/20   1/5
1/4  1/12  1/33   4/11
1/2  1/7  1/42   2/3
1/3  1/7  1/42   1/2
1/4  1/21  1/28   1/3
1/5  1/20  1/28   2/7
1/6  1/7  1/42   1/3
1/6  1/14  1/35   4/15
1/6  1/21  1/28   1/4
1/4  1/11  1/44   4/11
1/5  1/9  1/45   1/3
1/7  1/10  1/42   4/15
1/10  1/14  1/35   1/5
1/7  1/12  1/42   1/4
1/12  1/21  1/28   1/6
1/14  1/15  1/35   1/6
1/2  1/21  1/42   4/7
1/3  1/24  1/40   2/5
1/7  1/18  1/42   2/9
1/10  1/15  1/42   4/21
1/5  1/24  1/40   4/15
1/20  1/21  1/28   2/15
1/7  1/8  1/56   2/7
1/15  1/21  1/35   1/7
1/21  1/24  1/28   1/8
1/4  1/15  1/60   1/3
1/7  1/30  1/42   1/5
1/14  1/30  1/35   2/15
1/15  1/24  1/40   2/15
1/2  1/18  1/63   4/7
1/3  1/20  1/60   2/5
1/20  1/28  1/35   4/35
1/8  1/21  1/56   4/21
1/21  1/24  1/40   4/35
1/21  1/28  1/36   1/9
1/5  1/36  1/45   1/4
1/5  1/14  1/70   2/7
1/8  1/9  1/72   1/4
1/14  1/35  1/40   1/8
1/10  1/15  1/66   2/11
1/14  1/18  1/63   1/7
1/24  1/35  1/40   2/21
1/6  1/38  1/57   4/19
1/10  1/26  1/65   2/13
1/20  1/21  1/60   4/35
1/20  1/36  1/45   1/10
1/21  1/28  1/52   4/39
1/3  1/10  1/90   4/9
1/5  1/28  1/70   1/4
1/7  1/30  1/70   4/21
1/9  1/10  1/90   2/9
1/21  1/28  1/60   1/10
1/24  1/40  1/45   4/45
1/5  1/18  1/90   4/15
1/15  1/35  1/63   1/9
1/7  1/42  1/66   2/11
1/18  1/35  1/63   1/10
1/20  1/44  1/55   1/11
1/21  1/30  1/70   2/21
1/4  1/44  1/77   2/7
1/6  1/17  1/102   4/17
1/36  1/44  1/45   4/55
1/6  1/11  1/110   4/15
1/6  1/22  1/99   2/9
1/6  1/55  1/66   1/5
1/10  1/27  1/90   4/27
1/12  1/15  1/100   4/25
1/15  1/28  1/84   4/35
1/15  1/52  1/60   4/39
1/8  1/33  1/88   1/6
1/9  1/22  1/99   1/6
1/6  1/30  1/95   4/19
1/6  1/50  1/75   1/5
1/10  1/11  1/110   1/5
1/10  1/55  1/66   2/15
1/12  1/51  1/68   2/17
1/21  1/33  1/77   1/11
1/35  1/40  1/56   1/14
1/5  1/8  1/120   1/3
1/12  1/33  1/88   1/8
1/11  1/15  1/110   1/6
1/15  1/55  1/66   1/10
1/9  1/56  1/72   1/7
1/12  1/20  1/105   1/7
1/12  1/25  1/100   2/15
1/14  1/35  1/90   1/9
1/18  1/22  1/99   1/9
1/18  1/55  1/66   4/45
1/24  1/40  1/75   2/25
1/20  1/55  1/66   1/12
1/21  1/44  1/77   1/12
1/8  1/15  1/120   1/5
1/15  1/48  1/80   1/10
1/18  1/35  1/90   2/21
1/18  1/50  1/75   4/45
1/35  1/45  1/63   1/15
1/24  1/33  1/88   1/12
1/15  1/22  1/110   4/33
1/5  1/24  1/120   1/4
1/9  1/14  1/126   4/21
1/14  1/30  1/105   4/35
1/24  1/40  1/85   4/51
1/28  1/44  1/77   1/14
1/4  1/7  1/140   2/5
1/11  1/30  1/110   2/15
1/22  1/30  1/99   4/45
1/30  1/55  1/66   1/15
1/39  1/52  1/60   4/65
1/20  1/28  1/105   2/21
1/8  1/56  1/91   2/13
1/11  1/12  1/132   2/11
1/7  1/10  1/140   1/4
1/10  1/42  1/105   2/15
1/22  1/36  1/99   1/12
1/36  1/44  1/77   4/63
1/11  1/40  1/110   1/8
1/18  1/26  1/117   4/39
1/33  1/40  1/88   1/15
1/36  1/45  1/80   1/16
1/10  1/15  1/138   4/23
1/16  1/35  1/112   1/10
1/30  1/38  1/95   4/57
1/30  1/63  1/70   4/63
1/42  1/55  1/66   2/35
1/45  1/55  1/66   1/18
1/7  1/20  1/140   1/5
1/20  1/42  1/105   1/12
1/24  1/39  1/104   1/13
1/35  1/42  1/90   4/63
1/42  1/50  1/75   2/35
1/22  1/70  1/77   4/55
1/25  1/44  1/100   4/55
1/33  1/48  1/88   1/16
1/50  1/55  1/66   4/75
1/4  1/13  1/156   1/3
1/30  1/33  1/110   4/55
1/30  1/65  1/78   4/65
1/45  1/48  1/80   1/18
1/6  1/13  1/156   1/4
1/6  1/39  1/130   1/5
1/6  1/78  1/91   4/21
1/22  1/54  1/99   2/27
1/7  1/78  1/91   1/6
1/30  1/70  1/77   2/33
1/52  1/60  1/65   2/39
1/3  1/44  1/132   4/11
1/4  1/35  1/140   2/7
1/10  1/39  1/130   2/15
1/10  1/65  1/104   1/8
1/18  1/63  1/98   4/49
1/35  1/60  1/84   2/35
1/36  1/44  1/99   2/33
1/6  1/70  1/105   4/21
1/12  1/13  1/156   1/6
1/12  1/52  1/117   1/9
1/21  1/28  1/132   1/11
1/55  1/60  1/66   1/20
1/14  1/78  1/91   2/21
1/15  1/39  1/130   1/10
1/22  1/63  1/99   1/14
1/14  1/38  1/133   2/19
1/42  1/66  1/77   4/77
1/7  1/42  1/138   4/23
1/18  1/39  1/130   4/45
1/18  1/52  1/117   1/12
1/35  1/40  1/112   1/16
1/35  1/63  1/90   1/18
1/13  1/20  1/156   2/15
1/20  1/39  1/130   1/12
1/21  1/78  1/91   1/14
1/11  1/70  1/110   4/35
1/15  1/66  1/110   1/11
1/22  1/26  1/143   1/11
1/44  1/70  1/77   1/20
1/55  1/66  1/70   1/21
1/56  1/63  1/72   1/21
1/13  1/24  1/156   1/8
1/18  1/85  1/90   4/51
1/24  1/65  1/104   1/15
1/33  1/72  1/88   1/18
1/5  1/72  1/120   2/9
1/28  1/52  1/117   4/63
1/42  1/50  1/105   4/75
1/3  1/42  1/154   4/11
1/7  1/24  1/168   4/21
1/10  1/90  1/99   4/33
1/24  1/40  1/135   2/27
1/30  1/39  1/130   1/15
1/30  1/78  1/91   2/35
1/5  1/70  1/126   2/9
1/55  1/70  1/77   1/22
1/9  1/70  1/126   2/15
1/13  1/36  1/156   1/9
1/36  1/52  1/117   1/18
1/44  1/77  1/84   1/21
1/7  1/60  1/140   1/6
1/11  1/42  1/154   4/33
1/5  1/34  1/170   4/17
1/9  1/20  1/180   1/6
1/13  1/14  1/182   2/13
1/20  1/84  1/105   1/14
1/40  1/65  1/104   1/20
1/60  1/65  1/84   4/91
1/11  1/90  1/110   1/9
1/15  1/70  1/126   4/45
1/22  1/90  1/99   1/15
1/35  1/36  1/140   4/63
1/39  1/42  1/130   2/35
1/42  1/78  1/91   1/21
1/55  1/66  1/90   2/45
1/39  1/45  1/130   1/18
1/45  1/52  1/117   1/20
1/8  1/23  1/184   4/23
1/28  1/68  1/119   1/17
1/39  1/50  1/130   4/75
1/21  1/60  1/140   1/14
1/36  1/45  1/140   2/35
1/33  1/88  1/104   2/39
1/56  1/78  1/91   1/24
1/2  1/15  1/210   4/7
1/35  1/80  1/112   1/20
1/13  1/60  1/156   1/10
1/21  1/28  1/180   4/45
1/24  1/40  1/165   4/55
1/33  1/42  1/154   2/33
1/39  1/60  1/130   1/20
1/52  1/60  1/117   2/45
1/60  1/65  1/104   1/24
1/8  1/105  1/120   1/7
1/14  1/39  1/182   4/39
1/26  1/66  1/143   2/33
1/55  1/66  1/114   4/95
1/14  1/15  1/210   1/7
1/14  1/35  1/190   2/19
1/30  1/95  1/114   1/19
1/39  1/70  1/130   1/21
1/50  1/75  1/114   4/95
1/70  1/78  1/91   4/105
1/10  1/66  1/165   4/33
1/33  1/88  1/120   1/20
1/45  1/70  1/126   2/45
1/52  1/72  1/117   1/24
1/55  1/66  1/120   1/24
1/4  1/108  1/135   4/15
1/5  1/22  1/220   1/4
1/7  1/100  1/140   4/25
1/22  1/99  1/126   4/63
1/55  1/72  1/120   4/99
1/4  1/105  1/140   4/15
1/7  1/54  1/189   1/6
1/6  1/35  1/210   1/5
1/8  1/27  1/216   1/6
1/26  1/30  1/195   1/13
1/30  1/51  1/170   1/17
1/35  1/90  1/126   1/21
1/55  1/70  1/126   4/99
1/56  1/91  1/104   1/26
1/8  1/56  1/189   4/27
1/10  1/18  1/225   4/25
1/10  1/90  1/153   2/17
1/13  1/84  1/156   2/21
1/28  1/45  1/180   4/63
1/78  1/84  1/91   1/28
1/11  1/14  1/231   1/6
1/12  1/105  1/140   1/10
1/14  1/54  1/189   2/21
1/15  1/110  1/132   1/12
1/65  1/88  1/104   2/55
1/70  1/77  1/110   2/55
1/3  1/16  1/240   2/5
1/39  1/90  1/130   2/45
1/5  1/16  1/240   4/15
1/11  1/21  1/231   1/7
1/18  1/35  1/210   4/45
1/18  1/63  1/182   1/13
1/20  1/63  1/180   1/14
1/20  1/108  1/135   1/15
1/21  1/77  1/165   1/15
1/22  1/45  1/198   4/55
1/22  1/99  1/144   1/16
1/14  1/22  1/231   4/33
1/18  1/25  1/225   1/10
1/26  1/99  1/143   1/18
1/9  1/26  1/234   2/13
1/13  1/48  1/208   4/39
1/24  1/77  1/168   2/33
1/44  1/60  1/165   1/22
1/45  1/80  1/144   1/24
1/15  1/16  1/240   2/15
1/15  1/96  1/160   1/12
1/21  1/75  1/175   1/15
1/28  1/63  1/180   2/35
1/55  1/66  1/150   1/25
1/78  1/91  1/102   4/119
1/78  1/91  1/105   1/30
1/16  1/21  1/240   4/35
1/21  1/32  1/224   1/12
1/21  1/112  1/144   4/63
1/34  1/90  1/153   4/85
1/35  1/77  1/165   1/21
1/52  1/108  1/117   1/27
1/70  1/102  1/105   4/119
1/35  1/63  1/180   1/20
1/6  1/110  1/165   2/11
1/36  1/105  1/140   2/45
1/56  1/105  1/120   1/28
1/60  1/65  1/156   1/26
1/27  1/40  1/216   1/15
1/39  1/114  1/130   4/95
1/40  1/108  1/135   1/24
1/12  1/15  1/260   2/13
1/40  1/95  1/152   4/95
1/44  1/45  1/198   1/20
1/33  1/88  1/168   1/21
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1/44  1/77  1/168   1/24
1/65  1/104  1/120   1/30
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1/20  1/85  1/204   1/15
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1/52  1/117  1/180   1/30
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1/33  1/56  1/264   4/77
1/33  1/88  1/232   4/87
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1/66  1/102  1/187   1/33
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1/72  1/136  1/153   1/36
1/20  1/28  1/315   4/45

P.S. The program was stopped before it reached the programmed limit.

Edited on February 13, 2015, 3:21 pm
 Posted by Charlie on 2015-02-13 15:20:11

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