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Linear and Quadratic Sum Puzzle (Posted on 2015-07-25) Difficulty: 3 of 5
Given that each of A,B,C and D is a distinct positive integer.

Find the four smallest values of A+B+C+D such that each of A+B+C+D and A2+ B2+ C2+ D2 is a perfect square.

No Solution Yet Submitted by K Sengupta    
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Solution computer-aided solution | Comment 2 of 3 |
It looks as if every square from 5^2 onward is possible:

               Sum   Square
                of    Roots          
A,B,C,D   Sum Sqres
1 4 8 12    25 225    5 15
2 4 6 13    25 225    5 15
1 5 13 17    36 484    6 22
1 2 14 32    49 1225    7 35
1 10 16 22    49 841    7 29
2 4 13 30    49 1089    7 33
2 5 16 26    49 961    7 31
2 8 17 22    49 841    7 29
4 10 17 18    49 729    7 27
4 12 13 20    49 729    7 27
8 9 10 22    49 729    7 27
3 5 19 37    64 1764    8 42
3 9 25 27    64 1444    8 38
5 7 13 39    64 1764    8 42
5 7 23 29    64 1444    8 38
6 10 22 26    64 1296    8 36
7 9 15 33    64 1444    8 38
1 10 30 40    81 2601    9 51
1 20 28 32    81 2209    9 47
2 5 10 64    81 4225    9 65
2 6 20 53    81 3249    9 57
2 8 25 46    81 2809    9 53
2 8 33 38    81 2601    9 51
2 13 28 38    81 2401    9 49
4 5 22 50    81 3025    9 55
4 10 29 38    81 2401    9 49
4 14 29 34    81 2209    9 47
4 22 25 30    81 2025    9 45
5 6 8 62    81 3969    9 63
5 8 24 44    81 2601    9 51
5 10 14 52    81 3025    9 55
5 10 26 40    81 2401    9 49
5 16 22 38    81 2209    9 47
5 20 24 32    81 2025    9 45
6 17 26 32    81 2025    9 45
6 18 24 33    81 2025    9 45
8 10 26 37    81 2209    9 47
8 14 26 33    81 2025    9 45
8 16 17 40    81 2209    9 47
8 22 25 26    81 1849    9 43
10 12 25 34    81 2025    9 45
10 13 14 44    81 2401    9 49
10 17 26 28    81 1849    9 43
13 16 20 32    81 1849    9 43
2 10 14 74    100 5776    10 76
2 10 26 62    100 4624    10 68
2 18 34 46    100 3600    10 60
4 16 32 48    100 3600    10 60
5 13 21 61    100 4356    10 66
5 13 29 53    100 3844    10 62
5 17 37 41    100 3364    10 58
8 16 24 52    100 3600    10 60
9 13 33 45    100 3364    10 58
9 25 29 37    100 2916    10 54
13 17 33 37    100 2916    10 54
13 21 25 41    100 2916    10 54
1 2 30 88    121 8649    11 93
1 8 22 90    121 8649    11 93
1 18 44 58    121 5625    11 75
1 22 36 62    121 5625    11 75
2 8 53 58    121 6241    11 79
2 13 38 68    121 6241    11 79
2 14 25 80    121 7225    11 85
2 16 38 65    121 5929    11 77
2 16 46 57    121 5625    11 75
2 20 46 53    121 5329    11 73
2 25 26 68    121 5929    11 77
2 25 30 64    121 5625    11 75
2 28 38 53    121 5041    11 71
4 6 18 93    121 9025    11 95
4 6 33 78    121 7225    11 85
4 8 44 65    121 6241    11 79
4 9 10 98    121 9801    11 99
4 13 30 74    121 6561    11 81
4 13 34 70    121 6241    11 79
4 13 48 56    121 5625    11 75
4 22 30 65    121 5625    11 75
4 28 44 45    121 4761    11 69
4 29 40 48    121 4761    11 69
4 30 38 49    121 4761    11 69
4 33 34 50    121 4761    11 69
5 6 28 82    121 7569    11 87
5 6 40 70    121 6561    11 81
5 8 32 76    121 6889    11 83
5 8 52 56    121 5929    11 77
5 10 20 86    121 7921    11 89
5 16 32 68    121 5929    11 77
5 20 46 50    121 5041    11 71
5 26 28 62    121 5329    11 73
6 12 22 81    121 7225    11 85
6 12 25 78    121 6889    11 83
6 18 37 60    121 5329    11 73
6 25 40 50    121 4761    11 69
6 33 40 42    121 4489    11 67
8 9 46 58    121 5625    11 75
8 10 14 89    121 8281    11 91
8 13 36 64    121 5625    11 75
8 17 26 70    121 5929    11 77
8 25 34 54    121 4761    11 69
9 10 40 62    121 5625    11 75
9 24 28 60    121 5041    11 71

from

DefDbl A-Z
Dim crlf$


Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)

 For srtot = 2 To 100
   tot = srtot * srtot
   For a = 1 To tot / 4
    For b = a + 1 To (tot - a) / 3
      For c = b + 1 To (tot - a - b) / 2
        d = tot - a - b - c
        If d > c Then
           t2 = a * a + b * b + c * c + d * d
           sr = Int(Sqr(t2) + 0.5)
           If sr * sr = t2 Then
            Text1.Text = Text1.Text & a & Str(b) & Str(c) & Str(d) & "    " & tot & Str(t2) & "    " & srtot & Str(sr) & crlf
            DoEvents
            sct = sct + 1
            If sct > 100 Then Exit Sub
           End If
        End If
      Next
    Next
   Next
 Next
  
 
 
 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
  
End Sub


  Posted by Charlie on 2015-07-25 13:22:55
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