All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Minimizing Perimeter (Posted on 2015-03-04)
Let ABC be a triangle with integral side lengths such that angle A=3 * angle B. Find the minimum value of its perimeter.

 No Solution Yet Submitted by Danish Ahmed Khan No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 re(6): NO DICE.....not a spoiler Comment 15 of 15 |
(In reply to re(5): NO DICE.....not a spoiler by Harry)

The formulae certainly provide all the items I found by brute force. Here's a look at what is produced, showing m,n, a,b,c and the ratio of angles (all are 3). Only those where the triangle inequalities hold and gcd(a,b,c)=1 are shown. Values of m and n were used only up to 50, so some cases of m may stop at n=50 only due to this.

2 3    10 8 3    3
3 5    48 27 35    3
4 7    132 64 119    3
5 8    195 125 112    3
5 9    280 125 279    3
6 11    510 216 539    3
7 10    357 343 20    3
7 11    504 343 253    3
7 12    665 343 552    3
7 13    840 343 923    3
8 13    840 512 533    3
8 15    1288 512 1455    3
9 13    792 729 91    3
9 14    1035 729 476    3
9 16    1575 729 1504    3
9 17    1872 729 2159    3
10 17    1890 1000 1513    3
10 19    2610 1000 3059    3
11 16    1485 1331 224    3
11 17    1848 1331 799    3
11 18    2233 1331 1476    3
11 19    2640 1331 2261    3
11 20    3069 1331 3160    3
11 21    3520 1331 4179    3
12 17    1740 1728 17    3
12 19    2604 1728 1387    3
12 23    4620 1728 5543    3
13 19    2496 2197 437    3
13 20    3003 2197 1240    3
13 21    3536 2197 2163    3
13 22    4095 2197 3212    3
13 23    4680 2197 4393    3
13 24    5291 2197 5712    3
13 25    5928 2197 7175    3
14 23    4662 2744 3151    3
14 25    6006 2744 5825    3
14 27    7462 2744 9099    3
15 22    3885 3375 748    3
15 23    4560 3375 1817    3
15 26    6765 3375 5876    3
15 28    8385 3375 9352    3
15 29    9240 3375 11339    3
16 23    4368 4096 391    3
16 25    5904 4096 2825    3
16 27    7568 4096 5859    3
16 29    9360 4096 9541    3
16 31    11280 4096 13919    3
17 25    5712 4913 1175    3
17 26    6579 4913 2548    3
17 27    7480 4913 4077    3
17 28    8415 4913 5768    3
17 29    9384 4913 7627    3
17 30    10387 4913 9660    3
17 31    11424 4913 11873    3
17 32    12495 4913 14272    3
17 33    13600 4913 16863    3
18 29    9306 5832 5597    3
18 31    11466 5832 9703    3
18 35    16218 5832 20195    3
19 27    6992 6859 189    3
19 28    8037 6859 1736    3
19 29    9120 6859 3451    3
19 30    10241 6859 5340    3
19 31    11400 6859 7409    3
19 32    12597 6859 9664    3
19 33    13832 6859 12111    3
19 34    15105 6859 14756    3
19 35    16416 6859 17605    3
19 36    17765 6859 20664    3
19 37    19152 6859 23939    3
20 29    8820 8000 1189    3
20 31    11220 8000 4991    3
20 33    13780 8000 9537    3
20 37    19380 8000 21053    3
20 39    22420 8000 28119    3
21 31    10920 9261 2449    3
21 32    12243 9261 4544    3
21 34    15015 9261 9316    3
21 37    19488 9261 18019    3
21 38    21063 9261 21356    3
21 40    24339 9261 28720    3
21 41    26040 9261 32759    3
22 35    16302 10648 8995    3
22 37    19470 10648 14837    3
22 39    22814 10648 21567    3
22 41    26334 10648 29233    3
22 43    30030 10648 37883    3
23 33    12880 12167 1023    3
23 34    14421 12167 3332    3
23 35    16008 12167 5845    3
23 36    17641 12167 8568    3
23 37    19320 12167 11507    3
23 38    21045 12167 14668    3
23 39    22816 12167 18057    3
23 40    24633 12167 21680    3
23 41    26496 12167 25543    3
23 42    28405 12167 29652    3
23 43    30360 12167 34013    3
23 44    32361 12167 38632    3
23 45    34408 12167 43515    3
24 35    15576 13824 2555    3
24 37    19032 13824 8029    3
24 41    26520 13824 21689    3
24 43    30552 13824 29971    3
24 47    39192 13824 49679    3
25 36    16775 15625 1656    3
25 37    18600 15625 4403    3
25 38    20475 15625 7372    3
25 39    22400 15625 10569    3
25 41    26400 15625 17671    3
25 42    28475 15625 21588    3
25 43    30600 15625 25757    3
25 44    32775 15625 30184    3
25 46    37275 15625 39836    3
25 47    39600 15625 45073    3
25 48    41975 15625 50592    3
25 49    44400 15625 56399    3
26 37    18018 17576 629    3
26 41    26130 17576 13489    3
26 43    30498 17576 21371    3
26 45    35074 17576 30285    3
26 47    39858 17576 40279    3
26 49    44850 17576 51401    3
27 40    23517 19683 5680    3
27 41    25704 19683 9143    3
27 43    30240 19683 16813    3
27 44    32589 19683 21032    3
27 46    37449 19683 30268    3
27 47    39960 19683 35297    3
27 49    45144 19683 46207    3
27 50    47817 19683 52100    3
28 41    25116 21952 4633    3
28 43    29820 21952 12083    3
28 45    34748 21952 20565    3
28 47    39900 21952 30127    3
29 42    26767 24389 3444    3
29 43    29232 24389 7181    3
29 44    31755 24389 11176    3
29 45    34336 24389 15435    3
29 46    36975 24389 19964    3
29 47    39672 24389 24769    3
29 48    42427 24389 29856    3
29 49    45240 24389 35231    3
29 50    48111 24389 40900    3
30 43    28470 27000 2107    3
30 47    39270 27000 19223    3
30 49    45030 27000 29449    3
31 44    30225 29791 616    3
31 45    32984 29791 4635    3
31 46    35805 29791 8924    3
31 47    38688 29791 13489    3
31 48    41633 29791 18336    3
31 49    44640 29791 23471    3
31 50    47709 29791 28900    3
32 47    37920 32768 7567    3
32 49    44064 32768 17297    3
33 47    36960 35937 1457    3
33 49    43296 35937 10927    3
33 50    46563 35937 16100    3
34 49    42330 39304 4361    3

For m = 1 To 50
For n = 1 To 50
a = m * (n * n - m * m): b = m * m * m: c = n * (n * n - 2 * m * m)
If gcd(a, gcd(b, c)) = 1 Then
If a + b > c And b + c > a And a + c > b Then
cosa = (-a * a + b * b + c * c) / (2 * b * c)
'     If Abs(cosa) < 1 Then
anglea = acos(cosa)
cosb = (-b * b + a * a + c * c) / (2 * a * c)
angleb = acos(cosb)
Text1.Text = Text1.Text & m & Str(n) & "   " & Str(a) & Str(b) & Str(c) & "   " & Str(anglea / angleb) & crlf
DoEvents
End If
End If
Next
Next

 Posted by Charlie on 2015-03-06 19:37:44

 Search: Search body:
Forums (0)