All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Probability
Bean coloring (Posted on 2015-07-13) Difficulty: 4 of 5
Start with a bag containing 5 white beans. Randomly draw one at a time employing the following rule:

If the bean is white, color it black and put it back in the bag;
If the bean is black, keep it out.

What is the probability that at some point there will be a single white bean in the bag?

Generalize to start with N beans.
Does the probability converge, and if so, to what value?

No Solution Yet Submitted by Jer    
Rating: 4.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
re: computer aided solution | Comment 2 of 11 |
(In reply to computer aided solution by Charlie)

For n=5, the probability matrix at each stage is given here:

 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   1.000000 ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........   0.200000 ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.800000 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.520000 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.480000 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........   0.130000 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.678000 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.192000 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.469000 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.492600 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.038400 ........  ........  ........  ........  ........ 
  
 ........  ........   0.156333 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.682117 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.161550 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.611078 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.388922 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........   0.305539 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.694461 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  
 
Rows represent 0 (first row) to n (last row) black beans. Columns represent 0 to n white beans. 
 
  
For n=9:
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........   1.000000 ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.111111 ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.888889 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.308642 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.691358 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.038580 ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.500514 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........   0.460905 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.163709 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........   0.580233 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   0.256059 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........   0.023387 ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........   0.357909 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   0.504900 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.113804 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........   0.125647 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   0.508099 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.328319 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.037935 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........   0.020941 ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   0.322462 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.495542 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.152624 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.008430 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........   0.128429 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.498142 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.326843 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.045649 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.000937 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 

 ........  ........  ........  ........   0.025686 ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.351814 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.482531 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.133327 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.006643 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 

 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........   0.166411 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.532775 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.275124 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.025690 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........   0.041603 ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.444474 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.442380 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.071544 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........   0.263840 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.576141 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.160020 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 

 ........  ........   0.087947 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.607999 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.304055 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 

 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........   0.493279 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.506721 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 
 ........   0.246640 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
  0.753360 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 
 ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........  ........ 


  Posted by Charlie on 2015-07-13 19:44:27
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (10)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information