Start with a bag containing 5 white beans. Randomly draw one at a time employing the following rule:
If the bean is white, color it black and put it back in the bag;
If the bean is black, keep it out.
What is the probability that at some point there will be a single white bean in the bag?
Generalize to start with N beans.
Does the probability converge, and if so, to what value?
(In reply to
computer aided solution by Charlie)
For n=5, the probability matrix at each stage is given here:
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 1.000000 ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.200000 ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.800000 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.520000 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.480000 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.130000 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.678000 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.192000 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.469000 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.492600 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
0.038400 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.156333 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.682117 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
0.161550 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.611078 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
0.388922 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.305539 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
0.694461 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........
Rows represent 0 (first row) to n (last row) black beans. Columns represent 0 to n white beans.
For n=9:
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ 1.000000 ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.111111 ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.888889 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.308642 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.691358 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.038580 ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.500514 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ 0.460905 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.163709 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ 0.580233 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.256059 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ 0.023387 ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ 0.357909 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.504900 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.113804 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ 0.125647 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.508099 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.328319 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.037935 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ 0.020941 ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.322462 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.495542 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.152624 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.008430 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.128429 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.498142 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.326843 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.045649 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.000937 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ 0.025686 ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.351814 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.482531 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.133327 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.006643 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.166411 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.532775 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.275124 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.025690 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ 0.041603 ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.444474 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.442380 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.071544 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.263840 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.576141 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.160020 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ 0.087947 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.607999 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.304055 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ 0.493279 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.506721 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
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........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
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........ 0.246640 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
0.753360 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
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Posted by Charlie
on 2015-07-13 19:44:27 |
re: computer aided solution
