<o:p>The following approach deals with the number of digits in each factor.</o:p>

<o:p></o:p> 

The possibilities are :  (n can be any number from 0 to 9) :<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

a)              (n) x (nnnn) or (nnnn) x (n)<o:p></o:p>

b)              (n) x (nnn) or (nnn) x (n) <o:p></o:p>

c)               (nn) x (nn) <o:p></o:p>

d)              (nn) x (nnn) or (nnn) x (nn)<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

Grouping the powers according to the number of their digits :

<o:p> </o:p>

with1 digit :  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

with 2 digits :  16, 25, 27, 32, 36, 49, 64 and 81.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

with 3 digits : 125, 128, 216, 243, 256, 343, 512, 625 and 729.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

with 4 digits : 1024, 1296, 2187, 2401, 3125, 4096, 6561 and 7776.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

a) n x nnnn (or, what is the same, nnnn x n).<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

The powers with 1 digit are results of a potency of 1, plus the exceptions 4 = 2^2, 8 = 2^3 and 9 = 3^2.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

The product ABCD would be A1CD or ABC1 or 22CD or AB22 or 23CD or AB23 or 32CD or AB32.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

A1CD – the possible values would be 11CD, 21CD, 31CD, 41CD, 51CD, 61CD, 71CD, 81CD and 91CD, that is, the products would be n times a power of 4 digits, that starts with n<st1:PersonName w:st="on" ProductID="em n. Basta">. The unique tests to be made are with the powers 1024 e 2048</st1:PersonName>. And we conclude that  A1CD are eliminated. <o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

AB22 or AB32 – eliminated at once, because ends in 2, and the other factor would have to be 4 or 9 times a power (with 4 digits) that ends in 8, and doesn't exist such power.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

AB23 – eliminated at once, because no multiple of 8 (2^3) ends in 3.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

ABC1 – finishing in 1, would have to be 1 time a power that ends in 1 (2401 or 6561) and produces AB11 (eliminated), or 3 times a power that ends in 7 (2187) and produces AB31 (eliminated) or 7 times a power that ends in 3 (doen't exist) or 9 times a power that ends in 9 (does'n exist. So, ABC1 is eliminated.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

22CD, 23CD and 32CD – eliminated  at once, because these numbers would be, respectively, the results of the products of 4 (2^2) or 8 (2^3) or 9 (3^2) by a power of 4 digits, and since the smallest is 1024, the products would be greater than 4.000. <o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

So, the hypothesis  n x nnnn is false.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

b) n x nnn (or, what is the same, nnn x n)<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

We already know that the powers with 1 digit are the results obtained with a potency of 1, plus the exceptions 4 = 2^2, 8 = 2^3 and 9 = 3^2.<o:p> </o:p>And also that the product ABCD would be : A1CD or ABC1 or 22CD or AB22 or 23CD or AB23 or 32CD or AB32.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

A1CD – the possible values are 11CD, 21CD, 31CD, 41CD, 51CD, 61CD, 71CD, 81CD or 91CD. That is, the products would be n times a power with 3 digits, and starting with n, what is impossible. So, we eliminate A1CD. <o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

AB22 or AB32 – eliminated at once, because ends in 2 and the unique other factor (that must end in 8, because one factor is 4 or 9) with 3 digits, is 128, that produces 512 and 1152.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

AB23 – eliminated, because no multiple of 8 (2^3) ends in 3.

<o:p> </o:p>

ABC1 – finishing in 1, it would have to be 1 time a power of 3 digits that ends in 1, and that doesn't exist, or 3 times a power that ends in 7 (doesn't exist too), or 7 times a power that ends in 3 (243, that produces 7 x 243 = 1701, or 343, that produces 7 x 343 = 2401) or 9 times a power that ends in 9 (729, that produces 9 x 729 = 6561). All of them elimated. So, ABC1 is eliminated.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

22CD, 23CD and 32CD – these numbers would be, respectively, the results of the product of 4 (2^2) or 8 (2^3) or 9 (3^2) by a power of 3 digits. In the first case, we need only to test 512. In the second, we need only to test 256 and in the third, to test 343. And we got nothing. <o:p></o:p>

    <o:p></o:p>

So, also the hypothesis n x nnn is false.<o:p></o:p>

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c) nn x nn<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

The powers with 2 digits are : 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64 and 81.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

16 may be (2^4) or (4^2), that leads to  24CD or AB24 or 42CD or AB42. 24CD or 42CD divided by 16, are greater than 100, but CD, by hypothesis, has only 2 digits. So, 16 is eliminated as a possible factor.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

25 is (5^2), that leads to 52CD or AB52. 52CD may be eliminated because divided by 25 is greater than 100. AB52, since finishes in 2, is eliminated too because a product by 25 can't end in 2.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

27 is (3^3), that leads to 33CD or AB33. 33CD divided by 27 is greater than 100, so is elimated. AB33, since ends in 3, would have to be the product of 27 by a power that ends in 9 (49), but 27 x 49 = 1323. Eliminated.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

32 is (2^5), that leads to 25CD or AB25. 25CD divided by 32 is too closer to 100 (below), so we need only to test the factor 81 (9^2), and we obtain 32 x 81 = (2^5)x(9^2)=2592. A SOLUTION.  AB25 is eliminated because a product by 32can't end in 5.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

36 is (6^2), that leads to 62CD or AB62. 62CD is eliminated because divided by 36 is greater than 100. AB62, since ends in 2, would have to be a product of 36 by a power ending in 7. The only one is 27, that produces 27 x 36 wich is smaller than 1000.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

49 is (7^2), that leads to 72CD or AB72. 72CD divided by 49 is greater than 100, s is eliminated. AB72, since ends in 2, would have to be the product of 49 by a power (with 2 digits) that ends in 8, and that doesn't exist.<o:p></o:p>

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<o:p>AT THIS POINT, I STOPPED TO TRANSLATED MY SOLUTION INTO ENGLISH, BECAUSE I ALREADY FOUND A SOLUTION AND SINCE I'M WRITING FROM BRASIL, I'M TOO TIRED TO CONTINUE !!!!!!!!!!!!!!! BUT THE ANALYSIS IS EXAUSTIVE, AND INDEED THE UNIQUE SOLUTION YELDS WITH THE PRODUCTS OF 2-DIGITS FACTORS. </o:p>

<o:p></o:p> 

64 is (2^6) or (8^2). Teríamos 26CD ou AB26 ou 82CD ou AB82. Para 26CD, um múltiplo de 64 teria que ser em torno de 45, e o único fator é 49, que não serve. Para AB26, como AB x 64 termina em 6, o primeiro fator teria que terminar em 4 ou 9, que são 64 ou 49, e que fornecem 64 x 64 = 4096 e 49 x 64 = 3136. Nenhum deles serve.<o:p></o:p>

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81 é igual a (3 ^4) ou (9^2). Teríamos 34CD ou AB34 ou 92CD ou  AB92. Para o primeiro, 34CD dividido por 81 está próximo de 40, e 36 x 81 = 2916. Descartado. Para o segundo, como AB34 termina em 4, AB teria que terminar em 4, e 64 x 81 = 5184. Descartado. Para o terceiro, 92CD dividido por 81 é maior do que 100. Descartado. E para o quarto, AB92, chegamos à mesma solução já obtida.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

Então, a hipótese nn x nn nos fornece uma única solução, que é 2592 = (2^5)x(9^2)=32 x 81.<o:p></o:p>

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d)  nn x nnn (ou, o que é o mesmo, nnn x nn).<o:p></o:p>

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As potências com 3 algarismos são 125, 128, 216, 243, 256, 343, 512, 625 e 729.<o:p></o:p>

<o:p> </o:p>

As com 2 algarismos são 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64 e 81.<o:p></o:p>

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Para 125 : teremos 53CD ou AB53. AB53 está logo descartado porque não pode ser um múltiplo de 125 (termina em 3). 53CD, como múltiplo de 125, terá que terminar em 5, portanto CD só poderia ser 25, que eliminamos porque 125 x 32 = 4000.<o:p></o:p>

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Para 128 : teremos 27CD ou AB27. AB27 está logo descartado porque não pode ser um múltiplo de 128. Para 27CD, o segundo fator (27CD dividido por 128) terá que ser ligeiramente maior que 20, ou seja, 25, que não serve pois 128 x 25 = 3200.<o:p></o:p>

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Para 216 : teremos 63CD ou AB63. 63CD dividido por 216 é ligeiramente menor do que 30, e 27 não serve pois 216 x 27 = 5832. Para AB63, o primeiro fator terá que terminar em 2, e o único é 32, que não serve pois 32 x 216 = 6912.<o:p></o:p>

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Para 243 : teremos 35CD ou AB35. 35CD dividido por 243 está próximo de 12, logo não existe nenhum fator possível. Para AB35, o primeiro fator terá que terminar em 5, e só existe 25, que não serve pois 25 x 243 = 6075.<o:p></o:p>

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Para 256 : teremos 28CD ou AB28 ou 44CD ou AB44. 28CD dividido por 256 está próximo de 12, logo não existe nenhum fator possivel. Para AB28, o primeiro fator terá que terminar  em 3 ou 8. E não existem fatores que termiem em 3 ou 8. 44CD dividido por 256 é ligeiramente menor do que 20. Testando 16, 16 x 256 = 4096, descartado. Para AB44, o primeiro fator terá que terminar em 4. Só existe 64, que não serve pois 64 x 256 = 16.384.<o:p></o:p>

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Para 343 : teremos 73CD ou AB73. 73CD dividido por 343 é ligeiramente maior do que 20, e 25 não serve como fator. Para AB73, o primeiro fator terá que terminar em 1, e o único, 81, não serve pois 81 x 343 = 27.783.<o:p></o:p>

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Para 512 : teremos 29CD ou AB29 ou 83CD ou AB83. Eliminamos de imediato AB29 e AB83, pois um produto por 512 não pode terminar em 9 ou 3. 29CD dividido por 512 é maior do que 50 e menor do que 60, e não existe nenhum fator possível. 83CD dividido por 512 é pouco maior do que 16, logo não existe nenhum fator possível.<o:p></o:p>

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Para 625 : teremos 54CD ou AB54. O segundo está descartado porque um produto por 625 não pode terminar em 4. 54CD dividido por 625 é menor do que 10, logo não existe nenhum fator possível.<o:p></o:p>

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Para 729 : teremos 36CD ou AB36 ou 93CD ou AB93. 36CD e 93CD estão logo descartados pois sua divisão por 729 resulta números menores que 13, logo não existe nenhum fator possível. Para AB36, o primeiro fator terá que terminar em 4, e o único, 64, não serve pois 64 x 729 = 46.656. E para AB93, o primeiro fator terá que terminar em 7, e o único, 27, não serve, pois 27 x 729 = 19.683.<o:p></o:p>

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Logo, a hipótese nn x nnn também é falsa, e a solução única é a que foi já apontada. <o:p></o:p>

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