Nine marbles numbered 1 to 9 are placed in a barrel and three are drawn out, without replacement. Determine -:
1. The probability that the three digit number formed from the marbles in the order drawn is divisible by (a) Five (b) Seven (c) Nine.
2. The probability that a three digit number can be formed by rearranging the marbles drawn, that is divisible by (a) Five (b) Seven (c) Nine.
Taking a count, out of the 504 permutations, of satisfactions of 1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c, the counted permutations thus far, and for those where 2b is satisfied, an example of the sequence which satisfies it:
123 0 0 0 0 1 0 1 231
124 0 0 0 0 1 0 2
125 1 0 0 1 1 0 3
126 1 1 1 1 2 1 4 126
127 1 1 1 1 3 1 5 721
128 1 1 1 1 4 1 6 812
129 1 1 1 1 4 1 7
132 1 1 1 1 5 1 8 231
134 1 1 1 1 6 1 9 413
135 2 1 2 2 7 2 10 315
136 2 1 2 2 7 2 11
137 2 1 2 2 8 2 12 371
138 2 1 2 2 8 2 13
139 2 1 2 2 9 2 14 931
142 2 1 2 2 9 2 15
143 2 1 2 2 10 2 16 413
145 3 1 2 3 11 2 17 154
146 3 1 2 3 11 2 18
147 3 2 2 3 12 2 19 714
148 3 2 2 3 12 2 20
149 3 2 2 3 12 2 21
152 3 2 2 4 12 2 22
153 3 2 3 5 13 3 23 315
154 3 3 3 6 14 3 24 154
156 3 3 3 7 15 3 25 651
157 3 3 3 8 16 3 26 175
158 3 3 3 9 17 3 27 581
159 3 3 3 10 17 3 28
162 3 3 4 10 18 4 29 126
163 3 3 4 10 18 4 30
164 3 3 4 10 18 4 31
165 4 3 4 11 19 4 32 651
167 4 3 4 11 19 4 33
168 4 4 4 11 20 4 34 861
169 4 4 4 11 21 4 35 196
172 4 4 4 11 22 4 36 721
173 4 4 4 11 23 4 37 371
174 4 4 4 11 24 4 38 714
175 5 5 4 12 25 4 39 175
176 5 5 4 12 25 4 40
178 5 5 4 12 25 4 41
179 5 5 4 12 26 4 42 791
182 5 6 4 12 27 4 43 812
183 5 6 4 12 27 4 44
184 5 6 4 12 27 4 45
185 6 6 4 13 28 4 46 581
186 6 6 4 13 29 4 47 861
187 6 6 4 13 29 4 48
189 6 7 5 13 30 5 49 819
192 6 7 5 13 30 5 50
193 6 7 5 13 31 5 51 931
194 6 7 5 13 31 5 52
195 7 7 5 14 31 5 53
196 7 8 5 14 32 5 54 196
197 7 8 5 14 33 5 55 791
198 7 8 6 14 34 6 56 819
213 7 8 6 14 35 6 57 231
214 7 8 6 14 35 6 58
215 8 8 6 15 35 6 59
216 8 8 7 15 36 7 60 126
217 8 9 7 15 37 7 61 721
218 8 9 7 15 38 7 62 182
219 8 9 7 15 38 7 63
231 8 10 7 15 39 7 64 231
234 8 10 8 15 39 8 65
235 9 10 8 16 40 8 66 532
236 9 10 8 16 41 8 67 623
237 9 10 8 16 42 8 68 273
238 9 11 8 16 43 8 69 238
239 9 11 8 16 44 8 70 392
241 9 11 8 16 44 8 71
243 9 11 9 16 44 9 72
245 10 12 9 17 45 9 73 245
246 10 12 9 17 46 9 74 462
247 10 12 9 17 47 9 75 742
248 10 12 9 17 47 9 76
249 10 12 9 17 48 9 77 924
251 10 12 9 18 48 9 78
253 10 12 9 19 49 9 79 532
254 10 12 9 20 50 9 80 245
256 10 12 9 21 50 9 81
257 10 12 9 22 50 9 82
258 10 12 9 23 50 9 83
259 10 13 9 24 51 9 84 952
261 10 13 10 24 52 10 85 126
263 10 13 10 24 53 10 86 623
264 10 13 10 24 54 10 87 462
265 11 13 10 25 54 10 88
267 11 13 10 25 55 10 89 672
268 11 13 10 25 56 10 90 826
269 11 13 10 25 56 10 91
271 11 13 10 25 57 10 92 721
273 11 14 10 25 58 10 93 273
274 11 14 10 25 59 10 94 742
275 12 14 10 26 59 10 95
276 12 14 10 26 60 10 96 672
278 12 14 10 26 61 10 97 728
279 12 14 11 26 61 11 98
281 12 14 11 26 62 11 99 812
283 12 14 11 26 63 11 100 238
284 12 14 11 26 63 11 101
285 13 14 11 27 63 11 102
286 13 14 11 27 64 11 103 826
287 13 15 11 27 65 11 104 728
289 13 15 11 27 65 11 105
291 13 15 11 27 65 11 106
293 13 15 11 27 66 11 107 392
294 13 16 11 27 67 11 108 924
295 14 16 11 28 68 11 109 952
296 14 16 11 28 68 11 110
297 14 16 12 28 68 12 111
298 14 16 12 28 68 12 112
312 14 16 12 28 69 12 113 231
314 14 16 12 28 70 12 114 413
315 15 17 13 29 71 13 115 315
316 15 17 13 29 71 13 116
317 15 17 13 29 72 13 117 371
318 15 17 13 29 72 13 118
319 15 17 13 29 73 13 119 931
321 15 17 13 29 74 13 120 231
324 15 17 14 29 74 14 121
325 16 17 14 30 75 14 122 532
326 16 17 14 30 76 14 123 623
327 16 17 14 30 77 14 124 273
328 16 17 14 30 78 14 125 238
329 16 18 14 30 79 14 126 392
341 16 18 14 30 80 14 127 413
342 16 18 15 30 80 15 128
345 17 18 15 31 80 15 129
346 17 18 15 31 81 15 130 364
347 17 18 15 31 81 15 131
348 17 18 15 31 82 15 132 483
349 17 18 15 31 82 15 133
351 17 18 16 32 83 16 134 315
352 17 18 16 33 84 16 135 532
354 17 18 16 34 84 16 136
356 17 18 16 35 84 16 137
357 17 19 16 36 85 16 138 735
358 17 19 16 37 86 16 139 385
359 17 19 16 38 87 16 140 539
361 17 19 16 38 87 16 141
362 17 19 16 38 88 16 142 623
364 17 20 16 38 89 16 143 364
365 18 20 16 39 89 16 144
367 18 20 16 39 90 16 145 763
368 18 20 16 39 90 16 146
369 18 20 17 39 91 17 147 693
371 18 21 17 39 92 17 148 371
372 18 21 17 39 93 17 149 273
374 18 21 17 39 93 17 150
375 19 21 17 40 94 17 151 735
376 19 21 17 40 95 17 152 763
378 19 22 18 40 96 18 153 378
379 19 22 18 40 97 18 154 973
381 19 22 18 40 97 18 155
382 19 22 18 40 98 18 156 238
384 19 22 18 40 99 18 157 483
385 20 23 18 41 100 18 158 385
386 20 23 18 41 100 18 159
387 20 23 19 41 101 19 160 378
389 20 23 19 41 102 19 161 938
391 20 23 19 41 103 19 162 931
392 20 24 19 41 104 19 163 329
394 20 24 19 41 104 19 164
395 21 24 19 42 105 19 165 539
396 21 24 20 42 106 20 166 693
397 21 24 20 42 107 20 167 973
398 21 24 20 42 108 20 168 938
412 21 24 20 42 108 20 169
413 21 25 20 42 109 20 170 413
415 22 25 20 43 110 20 171 154
416 22 25 20 43 110 20 172
417 22 25 20 43 111 20 173 714
418 22 25 20 43 111 20 174
419 22 25 20 43 111 20 175
421 22 25 20 43 111 20 176
423 22 25 21 43 111 21 177
425 23 25 21 44 112 21 178 245
426 23 25 21 44 113 21 179 462
427 23 26 21 44 114 21 180 742
428 23 26 21 44 114 21 181
429 23 26 21 44 115 21 182 294
431 23 26 21 44 116 21 183 413
432 23 26 22 44 116 22 184
435 24 26 22 45 116 22 185
436 24 26 22 45 117 22 186 364
437 24 26 22 45 117 22 187
438 24 26 22 45 118 22 188 483
439 24 26 22 45 118 22 189
451 24 26 22 46 119 22 190 154
452 24 26 22 47 120 22 191 245
453 24 26 22 48 120 22 192
456 24 26 22 49 121 22 193 546
457 24 26 22 50 122 22 194 574
458 24 26 22 51 123 22 195 854
459 24 26 23 52 124 23 196 945
461 24 26 23 52 124 23 197
462 24 27 23 52 125 23 198 462
463 24 27 23 52 126 23 199 364
465 25 27 23 53 127 23 200 546
467 25 27 23 53 128 23 201 476
468 25 27 24 53 128 24 202
469 25 28 24 53 129 24 203 469
471 25 28 24 53 130 24 204 714
472 25 28 24 53 131 24 205 742
473 25 28 24 53 131 24 206
475 26 28 24 54 132 24 207 574
476 26 29 24 54 133 24 208 476
478 26 29 24 54 134 24 209 784
479 26 29 24 54 135 24 210 749
481 26 29 24 54 135 24 211
482 26 29 24 54 135 24 212
483 26 30 24 54 136 24 213 483
485 27 30 24 55 137 24 214 854
486 27 30 25 55 137 25 215
487 27 30 25 55 138 25 216 784
489 27 30 25 55 138 25 217
491 27 30 25 55 138 25 218
492 27 30 25 55 139 25 219 924
493 27 30 25 55 139 25 220
495 28 30 26 56 140 26 221 945
496 28 30 26 56 141 26 222 469
497 28 31 26 56 142 26 223 749
498 28 31 26 56 142 26 224
512 28 31 26 57 142 26 225
513 28 31 27 58 143 27 226 315
514 28 31 27 59 144 27 227 154
516 28 31 27 60 145 27 228 651
517 28 31 27 61 146 27 229 175
518 28 32 27 62 147 27 230 581
519 28 32 27 63 147 27 231
521 28 32 27 64 147 27 232
523 28 32 27 65 148 27 233 532
524 28 32 27 66 149 27 234 245
526 28 32 27 67 149 27 235
527 28 32 27 68 149 27 236
528 28 32 27 69 149 27 237
529 28 32 27 70 150 27 238 952
531 28 32 28 71 151 28 239 315
532 28 33 28 72 152 28 240 532
534 28 33 28 73 152 28 241
536 28 33 28 74 152 28 242
537 28 33 28 75 153 28 243 735
538 28 33 28 76 154 28 244 385
539 28 34 28 77 155 28 245 539
541 28 34 28 78 156 28 246 154
542 28 34 28 79 157 28 247 245
543 28 34 28 80 157 28 248
546 28 35 28 81 158 28 249 546
547 28 35 28 82 159 28 250 574
548 28 35 28 83 160 28 251 854
549 28 35 29 84 161 29 252 945
561 28 35 29 85 162 29 253 651
562 28 35 29 86 162 29 254
563 28 35 29 87 162 29 255
564 28 35 29 88 163 29 256 546
567 28 36 30 89 164 30 257 756
568 28 36 30 90 165 30 258 658
569 28 36 30 91 165 30 259
571 28 36 30 92 166 30 260 175
572 28 36 30 93 166 30 261
573 28 36 30 94 167 30 262 735
574 28 37 30 95 168 30 263 574
576 28 37 31 96 169 31 264 756
578 28 37 31 97 170 31 265 875
579 28 37 31 98 170 31 266
581 28 38 31 99 171 31 267 518
582 28 38 31 100 171 31 268
583 28 38 31 101 172 31 269 385
584 28 38 31 102 173 31 270 854
586 28 38 31 103 174 31 271 658
587 28 38 31 104 175 31 272 875
589 28 38 31 105 175 31 273
591 28 38 31 106 175 31 274
592 28 38 31 107 176 31 275 259
593 28 38 31 108 177 31 276 539
594 28 38 32 109 178 32 277 945
596 28 38 32 110 178 32 278
597 28 38 32 111 178 32 279
598 28 38 32 112 178 32 280
612 28 38 33 112 179 33 281 126
613 28 38 33 112 179 33 282
614 28 38 33 112 179 33 283
615 29 38 33 113 180 33 284 651
617 29 38 33 113 180 33 285
618 29 38 33 113 181 33 286 861
619 29 38 33 113 182 33 287 196
621 29 38 34 113 183 34 288 126
623 29 39 34 113 184 34 289 623
624 29 39 34 113 185 34 290 462
625 30 39 34 114 185 34 291
627 30 39 34 114 186 34 292 672
628 30 39 34 114 187 34 293 826
629 30 39 34 114 187 34 294
631 30 39 34 114 187 34 295
632 30 39 34 114 188 34 296 623
634 30 39 34 114 189 34 297 364
635 31 39 34 115 189 34 298
637 31 40 34 115 190 34 299 763
638 31 40 34 115 190 34 300
639 31 40 35 115 191 35 301 693
641 31 40 35 115 191 35 302
642 31 40 35 115 192 35 303 462
643 31 40 35 115 193 35 304 364
645 32 40 35 116 194 35 305 546
647 32 40 35 116 195 35 306 476
648 32 40 36 116 195 36 307
649 32 40 36 116 196 36 308 469
651 32 41 36 117 197 36 309 651
652 32 41 36 118 197 36 310
653 32 41 36 119 197 36 311
654 32 41 36 120 198 36 312 546
657 32 41 37 121 199 37 313 756
658 32 42 37 122 200 37 314 658
659 32 42 37 123 200 37 315
671 32 42 37 123 200 37 316
672 32 43 37 123 201 37 317 672
673 32 43 37 123 202 37 318 763
674 32 43 37 123 203 37 319 476
675 33 43 38 124 204 38 320 756
678 33 43 38 124 204 38 321
679 33 44 38 124 205 38 322 679
681 33 44 38 124 206 38 323 168
682 33 44 38 124 207 38 324 826
683 33 44 38 124 207 38 325
684 33 44 39 124 207 39 326
685 34 44 39 125 208 39 327 658
687 34 44 39 125 208 39 328
689 34 44 39 125 209 39 329 896
691 34 44 39 125 210 39 330 196
692 34 44 39 125 210 39 331
693 34 45 40 125 211 40 332 693
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695 35 45 40 126 212 40 334
697 35 45 40 126 213 40 335 679
698 35 45 40 126 214 40 336 896
712 35 45 40 126 215 40 337 217
713 35 45 40 126 216 40 338 371
714 35 46 40 126 217 40 339 147
715 36 46 40 127 218 40 340 175
716 36 46 40 127 218 40 341
718 36 46 40 127 218 40 342
719 36 46 40 127 219 40 343 917
721 36 47 40 127 220 40 344 217
723 36 47 40 127 221 40 345 273
724 36 47 40 127 222 40 346 427
725 37 47 40 128 222 40 347
726 37 47 40 128 223 40 348 672
728 37 48 40 128 224 40 349 287
729 37 48 41 128 224 41 350
731 37 48 41 128 225 41 351 371
732 37 48 41 128 226 41 352 273
734 37 48 41 128 226 41 353
735 38 49 41 129 227 41 354 357
736 38 49 41 129 228 41 355 637
738 38 49 42 129 229 42 356 378
739 38 49 42 129 230 42 357 973
741 38 49 42 129 231 42 358 147
742 38 50 42 129 232 42 359 427
743 38 50 42 129 232 42 360
745 39 50 42 130 233 42 361 574
746 39 50 42 130 234 42 362 476
748 39 50 42 130 235 42 363 847
749 39 51 42 130 236 42 364 497
751 39 51 42 131 237 42 365 175
752 39 51 42 132 237 42 366
753 39 51 42 133 238 42 367 357
754 39 51 42 134 239 42 368 574
756 39 52 43 135 240 43 369 567
758 39 52 43 136 241 43 370 875
759 39 52 43 137 241 43 371
761 39 52 43 137 241 43 372
762 39 52 43 137 242 43 373 672
763 39 53 43 137 243 43 374 637
764 39 53 43 137 244 43 375 476
765 40 53 44 138 245 44 376 567
768 40 53 44 138 245 44 377
769 40 53 44 138 246 44 378 679
781 40 53 44 138 246 44 379
782 40 53 44 138 247 44 380 287
783 40 53 45 138 248 45 381 378
784 40 54 45 138 249 45 382 847
785 41 54 45 139 250 45 383 875
786 41 54 45 139 250 45 384
789 41 54 45 139 251 45 385 987
791 41 55 45 139 252 45 386 917
792 41 55 46 139 252 46 387
793 41 55 46 139 253 46 388 973
794 41 55 46 139 254 46 389 497
795 42 55 46 140 254 46 390
796 42 55 46 140 255 46 391 679
798 42 56 46 140 256 46 392 987
812 42 57 46 140 257 46 393 182
813 42 57 46 140 257 46 394
814 42 57 46 140 257 46 395
815 43 57 46 141 258 46 396 518
816 43 57 46 141 259 46 397 168
817 43 57 46 141 259 46 398
819 43 58 47 141 260 47 399 189
821 43 58 47 141 261 47 400 182
823 43 58 47 141 262 47 401 238
824 43 58 47 141 262 47 402
825 44 58 47 142 262 47 403
826 44 59 47 142 263 47 404 826
827 44 59 47 142 264 47 405 728
829 44 59 47 142 264 47 406
831 44 59 47 142 264 47 407
832 44 59 47 142 265 47 408 238
834 44 59 47 142 266 47 409 483
835 45 59 47 143 267 47 410 385
836 45 59 47 143 267 47 411
837 45 59 48 143 268 48 412 378
839 45 59 48 143 269 48 413 938
841 45 59 48 143 269 48 414
842 45 59 48 143 269 48 415
843 45 59 48 143 270 48 416 483
845 46 59 48 144 271 48 417 854
846 46 59 49 144 271 49 418
847 46 60 49 144 272 49 419 784
849 46 60 49 144 272 49 420
851 46 60 49 145 273 49 421 518
852 46 60 49 146 273 49 422
853 46 60 49 147 274 49 423 385
854 46 61 49 148 275 49 424 854
856 46 61 49 149 276 49 425 658
857 46 61 49 150 277 49 426 875
859 46 61 49 151 277 49 427
861 46 62 49 151 278 49 428 168
862 46 62 49 151 279 49 429 826
863 46 62 49 151 279 49 430
864 46 62 50 151 279 50 431
865 47 62 50 152 280 50 432 658
867 47 62 50 152 280 50 433
869 47 62 50 152 281 50 434 896
871 47 62 50 152 281 50 435
872 47 62 50 152 282 50 436 728
873 47 62 51 152 283 51 437 378
874 47 62 51 152 284 51 438 784
875 48 63 51 153 285 51 439 875
876 48 63 51 153 285 51 440
879 48 63 51 153 286 51 441 798
891 48 63 52 153 287 52 442 189
892 48 63 52 153 287 52 443
893 48 63 52 153 288 52 444 938
894 48 63 52 153 288 52 445
895 49 63 52 154 288 52 446
896 49 64 52 154 289 52 447 896
897 49 64 52 154 290 52 448 798
912 49 64 52 154 290 52 449
913 49 64 52 154 291 52 450 931
914 49 64 52 154 291 52 451
915 50 64 52 155 291 52 452
916 50 64 52 155 292 52 453 196
917 50 65 52 155 293 52 454 791
918 50 65 53 155 294 53 455 189
921 50 65 53 155 294 53 456
923 50 65 53 155 295 53 457 329
924 50 66 53 155 296 53 458 294
925 51 66 53 156 297 53 459 259
926 51 66 53 156 297 53 460
927 51 66 54 156 297 54 461
928 51 66 54 156 297 54 462
931 51 67 54 156 298 54 463 931
932 51 67 54 156 299 54 464 329
934 51 67 54 156 299 54 465
935 52 67 54 157 300 54 466 539
936 52 67 55 157 301 55 467 693
937 52 67 55 157 302 55 468 973
938 52 68 55 157 303 55 469 938
941 52 68 55 157 303 55 470
942 52 68 55 157 304 55 471 294
943 52 68 55 157 304 55 472
945 53 69 56 158 305 56 473 945
946 53 69 56 158 306 56 474 469
947 53 69 56 158 307 56 475 749
948 53 69 56 158 307 56 476
951 53 69 56 159 307 56 477
952 53 70 56 160 308 56 478 259
953 53 70 56 161 309 56 479 539
954 53 70 57 162 310 57 480 945
956 53 70 57 163 310 57 481
957 53 70 57 164 310 57 482
958 53 70 57 165 310 57 483
961 53 70 57 165 311 57 484 196
962 53 70 57 165 311 57 485
963 53 70 58 165 312 58 486 693
964 53 70 58 165 313 58 487 469
965 54 70 58 166 313 58 488
967 54 70 58 166 314 58 489 679
968 54 70 58 166 315 58 490 896
971 54 70 58 166 316 58 491 791
972 54 70 59 166 316 59 492
973 54 71 59 166 317 59 493 973
974 54 71 59 166 318 59 494 749
975 55 71 59 167 318 59 495
976 55 71 59 167 319 59 496 679
978 55 71 59 167 320 59 497 798
981 55 71 60 167 321 60 498 819
982 55 71 60 167 321 60 499
983 55 71 60 167 322 60 500 938
984 55 71 60 167 322 60 501
985 56 71 60 168 322 60 502
986 56 71 60 168 323 60 503 896
987 56 72 60 168 324 60 504 798
The last line shows the probabilities as
a b c
1. 56/504 72/504 60/504
2. 168/504 324/504 60/504
1. 1/9 1/7 5/42
2. 1/3 9/14 5/42
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Posted by Charlie
on 2006-04-25 15:12:25 |
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