The letters, A to L, within this star represent intersections of unique pairings of its 6 lines, and α, β, γ, δ, ε and ζ are sums of intersections defined as:

α = A + D + G + K     β = E + G + J + L    γ = K + J + I + H
δ = L + I + F + B     ε = H + F + C + A    ζ = B + C + D + E

           A α
          / \
  ζ  B---C---D---E  β
      \ /     \ /
       F       G
      / \     / \
  ε  H---I---J---K  γ
          \ /
           L  δ

Assign values from 1 to 12 to each of the locations A to L such that each sum is an element of an arithmetic progression with an arithmetic difference of two (2) but not necessarily as adjacent vertex values.

Secondly, attempt the same task but with a difference of four (4) as the outcome.

And for a tease... can you offer a solution if all such vertex sums are equal, ie, 26?

Note:
Discounting rotations and reflections, more than one possibility exists for each of the first two tasks.

Might as well show the 94 solutions of increments of 4 in the totals where the total-16 line is from top middle to bottom right with A < K, and successive totals progress either clockwise our counterclockwise.

      1     |      1     |      1     |      1     |      1     |      1
            |            |            |            |            |
 5  3   2 10| 5  3   2 10| 5  7   2  6| 2  6   3  9| 6  2   3  9| 2  5   3 10
            |            |            |            |            |
 11      6  |  8      6  |  4     10  | 10      4  | 10      7  | 11      8
            |            |            |            |            |
 9  4  12  7|12  4   9  7|12  8   9  3| 7  5  12  8|11  4  12  5| 7  9  12  4
            |            |            |            |            |
      8     |     11     |     11     |     11     |      8     |      6

      1     |      1     |      1     |      1     |      1     |      1
            |            |            |            |            |
 2  5   3 10| 2 10   3  5| 6  2   3  9| 5  2   4  9| 8 12   5 11|10 12   5  9
            |            |            |            |            |
  6      8  |  6      8  | 10      8  | 10      8  | 10      3  |  8      3
            |            |            |            |            |
12  9   7  4| 7  9  12  4|11  5  12  4|11  6  12  3| 9  6   2  7|11  4   2  7
            |            |            |            |            |
     11     |     11     |      7     |      7     |      4     |      6

      1     |      1     |      1     |      1     |      1     |      1
            |            |            |            |            |
 8 12   5 11| 2  3   5 10| 2  3   5 10|10 12   5  9| 4  2   5  9| 9 11   6 10
            |            |            |            |            |
 10      4  | 11      6  |  8      6  |  8      6  | 10      7  | 12      2
            |            |            |            |            |
 9  7   2  6| 9  7  12  4|12  7   9  4|11  7   2  4|11  6  12  3| 8  4   5  7
            |            |            |            |            |
      3     |      8     |     11     |      3     |      8     |      3

      1     |      1     |      1     |      1     |      1     |      1
            |            |            |            |            |
 7 12   6 11| 8 10   7 11| 6 12   7 11| 8 10   7 11| 7 10   8 11| 6 11   9 10
            |            |            |            |            |
 10      4  | 12      2  | 10      3  | 12      3  | 12      2  | 12      2
            |            |            |            |            |
 9  8   2  5| 9  5   4  6| 9  8   2  5| 9  6   4  5| 9  6   4  5| 8  7   5  4
            |            |            |            |            |
      3     |      3     |      4     |      2     |      3     |      3
      
      
      1     |      1     |      1     |      1     |      2     |      2
            |            |            |            |            |
10 11   9  6|10 12   9  5| 9 11  10  6| 9 12  10  5| 6  4   1  9| 6  8   1  5
            |            |            |            |            |
  8      2  |  8      2  |  8      2  |  8      2  |  7      5  |  3      9
            |            |            |            |            |
12  3   5  4|11  3   6  4|12  4   5  3|11  4   6  3|11  3  10  8|11  7  10  4
            |            |            |            |            |
      7     |      7     |      7     |      7     |     12     |     12

      2     |      2     |      2     |      2     |      2     |      2
            |            |            |            |            |
 5  1   3 11| 6  1   3 10| 1  5   4 10| 9 12   4 11| 1  6   4  9| 1  9   4  6
            |            |            |            |            |
  9      7  |  9      7  |  9      3  |  8      3  |  5      7  |  5      7
            |            |            |            |            |
12  6  10  4|12  5  11  4| 8  6  11  7|10  6   1  7|11 10   8  3| 8 10  11  3
            |            |            |            |            |
      8     |      8     |     12     |      5     |     12     |     12

      2     |      2     |      2     |      2     |      2     |      2
            |            |            |            |            |
 5  1   4 10|10 12   5  9| 8 11   5 12| 8 10   6 12| 9 10   6 11| 7 11   6 12
            |            |            |            |            |
  9      7  | 11      1  |  9      3  | 11      1  | 12      1  |  9      3
            |            |            |            |            |
12  6  11  3| 7  3   6  8|10  7   1  6| 9  5   3  7| 8  4   5  7|10  8   1  5
            |            |            |            |            |
      8     |      4     |      4     |      4     |      3     |      4

      2     |      2     |      2     |      2     |      2     |      2
            |            |            |            |            |
 8 10   6 12|11 10   6  9| 1  4   6  9| 8 12   6 10| 9 11   6 10| 8  9   7 12
            |            |            |            |            |
  9      3  | 12      3  |  7      5  |  7      5  |  7      5  | 11      1
            |            |            |            |            |
11  7   1  5| 8  4   7  5|11  8  10  3|11  9   1  3|12  8   1  3|10  5   3  6
            |            |            |            |            |
      4     |      1     |     12     |      4     |      4     |      4
      
      
      2     |      2     |      2     |      2     |      2     |      2
            |            |            |            |            |
 6 12   7 11| 6 10   8 12| 7  9   8 12|10 12   8  6| 6 10   9 11|10 11   9  6
            |            |            |            |            |
  8      3  | 11      1  | 11      1  | 11      1  | 12      1  |  7      1
            |            |            |            |            |
10  9   1  4| 9  7   3  5|10  6   3  5| 7  3   9  5| 8  7   5  4|12  3   5  4
            |            |            |            |            |
      5     |      4     |      4     |      4     |      3     |      8

      2     |      2     |      2     |      2     |      2     |      3
            |            |            |            |            |
10 12   9  5| 5 12  10  9| 8 12  10  6| 9 11  10  6| 9 12  10  5| 2  5   1 12
            |            |            |            |            |
  7      1  | 11      1  | 11      1  |  7      1  |  7      1  | 10      4
            |            |            |            |            |
11  3   6  4| 7  8   6  3| 7  5   9  3|12  4   5  3|11  4   6  3| 6  7  11  8
            |            |            |            |            |
      8     |      4     |      4     |      8     |      8     |      9

      3     |      3     |      3     |      3     |      3     |      3
            |            |            |            |            |
 2  6   1 11| 6  2   1 11| 2  5   1 12| 2  5   1 12| 2  7   1 10| 2 10   1  7
            |            |            |            |            |
 10      4  | 10      5  |  9      8  |  6      8  |  9      8  |  6      8
            |            |            |            |            |
 5  7  12  8| 9  4  12  7| 7 11  10  4|10 11   7  4| 5 11  12  4| 5 11  12  4
            |            |            |            |            |
      9     |      8     |      6     |      9     |      6     |      9

      3     |      3     |      3     |      3     |      3     |      3
            |            |            |            |            |
 6  2   1 11| 1  5   2 12| 1  6   2 11| 7  1   2 10| 7  1   2 10| 9 11   4 12
            |            |            |            |            |
 10      8  | 10      4  | 10      4  |  9      6  |  8      6  |  8      2
            |            |            |            |            |
 9  7  12  4| 6  8  11  7| 5  8  12  7|11  4  12  5|12  4  11  5|10  6   1  7
            |            |            |            |            |
      5     |      9     |      9     |      8     |      9     |      5
      
      
      3     |      3     |      3     |      3     |      3     |      3
            |            |            |            |            |
10 12   5  9|12 10   5  9|11  9   6 10|11 10   6  9|10  8   7 11|10 11   7  8
            |            |            |            |            |
  6      1  |  8      1  | 12      2  | 12      2  | 12      1  | 12      1
            |            |            |            |            |
11  4   2  7|11  2   4  7| 8  4   7  5| 7  4   8  5| 9  4   6  5| 6  4   9  5
            |            |            |            |            |
      8     |      6     |      1     |      1     |      2     |      2

      3     |      3     |      3     |      3     |      3     |      4
            |            |            |            |            |
12  8   7  9|12 11   7  6| 6 11   7 12|10  8   7 11|10 11   7  8| 2  5   1 12
            |            |            |            |            |
 10      1  | 10      1  |  8      2  | 12      2  | 12      2  |  9      3
            |            |            |            |            |
11  2   6  5| 8  2   9  5|10  9   1  4| 9  5   6  4| 6  5   9  4| 6  7  11  8
            |            |            |            |            |
      4     |      4     |      5     |      1     |      1     |     10

      4     |      4     |      4     |      4     |      4     |      4
            |            |            |            |            |
 2  6   1 11| 8  2   1  9| 1  5   2 12| 1  6   2 11|10 12   3 11|12  9   5 10
            |            |            |            |            |
  9      3  |  7      5  |  9      3  |  9      3  |  7      1  | 11      1
            |            |            |            |            |
 5  7  12  8|11  3  12  6| 6  8  11  7| 5  8  12  7| 9  5   2  8| 8  3   7  6
            |            |            |            |            |
     10     |     10     |     10     |     10     |      6     |      2

      4     |      4     |      4     |      5     |
            |            |            |            |
12 10   5  9|12  8   6 10|12 10   6  8| 6  2   1 11|
            |            |            |            |
 11      1  | 11      1  | 11      1  |  8      3  |
            |            |            |            |
 7  3   8  6| 9  3   7  5| 7  3   9  5| 9  4  12  7|
            |            |            |            |
      2     |      2     |      2     |     10     |
      
      
      

Posted by Charlie on 2008-06-02 22:29:47