Determine all possible pair(s) (M, X) of positive integers, with M - 1 > X > 1, such that the decimal representation of MCX consists of non leading zeroes and contains each of the digits 0 to 9 exactly once.
Note: MCX is the number of X-element subsets (the X-combinations) of an M-element set, that is the number of ways that X things can be 'chosen' from a set of M things.
I used the following Mathematica code
goal={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
For[m=33,m„T140546,m++,
x=2;
n=Binomial[m,x];
While[n„T9876543210 && 2*x„Tm,
dgs=IntegerDigits[n];
dgs=Union[dgs];
If[dgsƒúgoal,
Print["(",m,",",x,") ",n];
Print["(",m,",",m-x,") ",n];
];
x++;
n=Binomial[m,x];
];
];
to generate the following solutions
I used the fact that if (M,X) is a solution then so also is (M,M-X)
( 253 , 5 ) 8301429675<o:p></o:p>
( 253 , 248 ) 8301429675<o:p></o:p>
( 595 , 4 ) 5169738420<o:p></o:p>
( 595 , 591 ) 5169738420<o:p></o:p>
( 46098 , 2 ) 1062489753<o:p></o:p>
( 46098 , 46096 ) 1062489753<o:p></o:p>
( 49797 , 2 ) 1239845706<o:p></o:p>
( 49797 , 49795 ) 1239845706<o:p></o:p>
( 50140 , 2 ) 1256984730<o:p></o:p>
( 50140 , 50138 ) 1256984730<o:p></o:p>
( 55152 , 2 ) 1520843976<o:p></o:p>
( 55152 , 55150 ) 1520843976<o:p></o:p>
( 55485 , 2 ) 1539264870<o:p></o:p>
( 55485 , 55483 ) 1539264870<o:p></o:p>
( 56521 , 2 ) 1597283460<o:p></o:p>
( 56521 , 56519 ) 1597283460<o:p></o:p>
( 58051 , 2 ) 1684930275<o:p></o:p>
( 58051 , 58049 ) 1684930275<o:p></o:p>
( 62496 , 2 ) 1952843760<o:p></o:p>
( 62496 , 62494 ) 1952843760<o:p></o:p>
( 62568 , 2 ) 1957346028<o:p></o:p>
( 62568 , 62566 ) 1957346028<o:p></o:p>
( 62901 , 2 ) 1978236450<o:p></o:p>
( 62901 , 62899 ) 1978236450<o:p></o:p>
( 66295 , 2 ) 2197480365<o:p></o:p>
( 66295 , 66293 ) 2197480365<o:p></o:p>
( 68806 , 2 ) 2367098415<o:p></o:p>
( 68806 , 68804 ) 2367098415<o:p></o:p>
( 69543 , 2 ) 2418079653<o:p></o:p>
( 69543 , 69541 ) 2418079653<o:p></o:p>
( 70767 , 2 ) 2503948761<o:p></o:p>
( 70767 , 70765 ) 2503948761<o:p></o:p>
( 72595 , 2 ) 2634980715<o:p></o:p>
( 72595 , 72593 ) 2634980715<o:p></o:p>
( 73738 , 2 ) 2718609453<o:p></o:p>
( 73738 , 73736 ) 2718609453<o:p></o:p>
( 73972 , 2 ) 2735891406<o:p></o:p>
( 73972 , 73970 ) 2735891406<o:p></o:p>
( 74169 , 2 ) 2750483196<o:p></o:p>
( 74169 , 74167 ) 2750483196<o:p></o:p>
( 74358 , 2 ) 2764518903<o:p></o:p>
( 74358 , 74356 ) 2764518903<o:p></o:p>
( 75556 , 2 ) 2854316790<o:p></o:p>
( 75556 , 75554 ) 2854316790<o:p></o:p>
( 76365 , 2 ) 2915768430<o:p></o:p>
( 76365 , 76363 ) 2915768430<o:p></o:p>
( 77806 , 2 ) 3026847915<o:p></o:p>
( 77806 , 77804 ) 3026847915<o:p></o:p>
( 78687 , 2 ) 3095782641<o:p></o:p>
( 78687 , 78685 ) 3095782641<o:p></o:p>
( 78849 , 2 ) 3108542976<o:p></o:p>
( 78849 , 78847 ) 3108542976<o:p></o:p>
( 84556 , 2 ) 3574816290<o:p></o:p>
( 84556 , 84554 ) 3574816290<o:p></o:p>
( 85960 , 2 ) 3694517820<o:p></o:p>
( 85960 , 85958 ) 3694517820<o:p></o:p>
( 86077 , 2 ) 3704581926<o:p></o:p>
( 86077 , 86075 ) 3704581926<o:p></o:p>
( 87264 , 2 ) 3807459216<o:p></o:p>
( 87264 , 87262 ) 3807459216<o:p></o:p>
( 87670 , 2 ) 3842970615<o:p></o:p>
( 87670 , 87668 ) 3842970615<o:p></o:p>
( 88407 , 2 ) 3907854621<o:p></o:p>
( 88407 , 88405 ) 3907854621<o:p></o:p>
( 89884 , 2 ) 4039521786<o:p></o:p>
( 89884 , 89882 ) 4039521786<o:p></o:p>
( 90288 , 2 ) 4075916328<o:p></o:p>
( 90288 , 90286 ) 4075916328<o:p></o:p>
( 90298 , 2 ) 4076819253<o:p></o:p>
( 90298 , 90296 ) 4076819253<o:p></o:p>
( 90981 , 2 ) 4138725690<o:p></o:p>
( 90981 , 90979 ) 4138725690<o:p></o:p>
( 91477 , 2 ) 4183975026<o:p></o:p>
( 91477 , 91475 ) 4183975026<o:p></o:p>
( 91836 , 2 ) 4216879530<o:p></o:p>
( 91836 , 91834 ) 4216879530<o:p></o:p>
( 93393 , 2 ) 4361079528<o:p></o:p>
( 93393 , 93391 ) 4361079528<o:p></o:p>
( 93627 , 2 ) 4382960751<o:p></o:p>
( 93627 , 93625 ) 4382960751<o:p></o:p>
( 95112 , 2 ) 4523098716<o:p></o:p>
( 95112 , 95110 ) 4523098716<o:p></o:p>
( 96994 , 2 ) 4703869521<o:p></o:p>
( 96994 , 96992 ) 4703869521<o:p></o:p>
( 97488 , 2 ) 4751906328<o:p></o:p>
( 97488 , 97486 ) 4751906328<o:p></o:p>
( 97965 , 2 ) 4798521630<o:p></o:p>
( 97965 , 97963 ) 4798521630<o:p></o:p>
( 98685 , 2 ) 4869315270<o:p></o:p>
( 98685 , 98683 ) 4869315270<o:p></o:p>
( 98758 , 2 ) 4876521903<o:p></o:p>
( 98758 , 98756 ) 4876521903<o:p></o:p>
( 99271 , 2 ) 4927316085<o:p></o:p>
( 99271 , 99269 ) 4927316085<o:p></o:p>
( 99325 , 2 ) 4932678150<o:p></o:p>
( 99325 , 99323 ) 4932678150<o:p></o:p>
( 99613 , 2 ) 4961325078<o:p></o:p>
( 99613 , 99611 ) 4961325078<o:p></o:p>
( 100387 , 2 ) 5038724691<o:p></o:p>
( 100387 , 100385 ) 5038724691<o:p></o:p>
( 100747 , 2 ) 5074928631<o:p></o:p>
( 100747 , 100745 ) 5074928631<o:p></o:p>
( 101224 , 2 ) 5123098476<o:p></o:p>
( 101224 , 101222 ) 5123098476<o:p></o:p>
( 101709 , 2 ) 5172309486<o:p></o:p>
( 101709 , 101707 ) 5172309486<o:p></o:p>
( 104113 , 2 ) 5419706328<o:p></o:p>
( 104113 , 104111 ) 5419706328<o:p></o:p>
( 104202 , 2 ) 5428976301<o:p></o:p>
( 104202 , 104200 ) 5428976301<o:p></o:p>
( 104779 , 2 ) 5489267031<o:p></o:p>
( 104779 , 104777 ) 5489267031<o:p></o:p>
( 107154 , 2 ) 5740936281<o:p></o:p>
( 107154 , 107152 ) 5740936281<o:p></o:p>
( 107605 , 2 ) 5789364210<o:p></o:p>
( 107605 , 107603 ) 5789364210<o:p></o:p>
( 107829 , 2 ) 5813492706<o:p></o:p>
( 107829 , 107827 ) 5813492706<o:p></o:p>
( 109405 , 2 ) 5984672310<o:p></o:p>
( 109405 , 109403 ) 5984672310<o:p></o:p>
( 110395 , 2 ) 6093472815<o:p></o:p>
( 110395 , 110393 ) 6093472815<o:p></o:p>
( 112708 , 2 ) 6351490278<o:p></o:p>
( 112708 , 112706 ) 6351490278<o:p></o:p>
( 114039 , 2 ) 6502389741<o:p></o:p>
( 114039 , 114037 ) 6502389741<o:p></o:p>
( 117081 , 2 ) 6853921740<o:p></o:p>
( 117081 , 117079 ) 6853921740<o:p></o:p>
( 117423 , 2 ) 6894021753<o:p></o:p>
( 117423 , 117421 ) 6894021753<o:p></o:p>
( 118071 , 2 ) 6970321485<o:p></o:p>
( 118071 , 118069 ) 6970321485<o:p></o:p>
( 120699 , 2 ) 7284063951<o:p></o:p>
( 120699 , 120697 ) 7284063951<o:p></o:p>
( 121815 , 2 ) 7419386205<o:p></o:p>
( 121815 , 121813 ) 7419386205<o:p></o:p>
( 122221 , 2 ) 7468925310<o:p></o:p>
( 122221 , 122219 ) 7468925310<o:p></o:p>
( 122329 , 2 ) 7482130956<o:p></o:p>
( 122329 , 122327 ) 7482130956<o:p></o:p>
( 125064 , 2 ) 7820439516<o:p></o:p>
( 125064 , 125062 ) 7820439516<o:p></o:p>
( 125236 , 2 ) 7841965230<o:p></o:p>
( 125236 , 125234 ) 7841965230<o:p></o:p>
( 126162 , 2 ) 7958362041<o:p></o:p>
( 126162 , 126160 ) 7958362041<o:p></o:p>
( 128341 , 2 ) 8235641970<o:p></o:p>
( 128341 , 128339 ) 8235641970<o:p></o:p>
( 130689 , 2 ) 8539742016<o:p></o:p>
( 130689 , 130687 ) 8539742016<o:p></o:p>
( 131382 , 2 ) 8630549271<o:p></o:p>
( 131382 , 131380 ) 8630549271<o:p></o:p>
( 133615 , 2 ) 8926417305<o:p></o:p>
( 133615 , 133613 ) 8926417305<o:p></o:p>
( 133839 , 2 ) 8956372041<o:p></o:p>
( 133839 , 133837 ) 8956372041<o:p></o:p>
( 133876 , 2 ) 8961324750<o:p></o:p>
( 133876 , 133874 ) 8961324750<o:p></o:p>
( 134442 , 2 ) 9037258461<o:p></o:p>
( 134442 , 134440 ) 9037258461<o:p></o:p>
( 135658 , 2 ) 9201478653<o:p></o:p>
( 135658 , 135656 ) 9201478653<o:p></o:p>
( 138394 , 2 ) 9576380421<o:p></o:p>
( 138394 , 138392 ) 9576380421<o:p></o:p>
( 138816 , 2 ) 9634871520<o:p></o:p>
( 138816 , 138814 ) 9634871520<o:p></o:p>
( 138960 , 2 ) 9654871320<o:p></o:p>
( 138960 , 138958 ) 9654871320
|
|
Posted by Daniel
on 2009-04-28 11:43:59 |
Computer Solution
