Find three distinct integers, X, Y and Z, such that X + Y, X + Z, Y + Z, X - Y, X - Z, and Y - Z are all squares of integers.
Apparently, there are many solutions.

Find the set [X, Y, Z] with the smallest X + Y + Z.

(In reply to thoughts by Charlie)

I neglected the possibility that Z might be exactly -Y, allowing for zero as a perfect square.

Each line shows X, Y and Z, with the line after showing the resulting squares, for X under 1000, showing the smallest set as [17,8,-8], with a total of 17:

 17            8            -8 
 25  0  9  9  16  25 
 68            32           -32 
 100  0  36  36  64  100 
 82            18           -18 
 100  0  64  64  36  100 
 97            72           -72 
 169  0  25  25  144  169 
 153           72           -72 
 225  0  81  81  144  225 
 257           32           -32 
 289  0  225  225  64  289 
 272           128          -128 
 400  0  144  144  256  400 
 328           72           -72 
 400  0  256  256  144  400 
 337           288          -288 
 625  0  49  49  576  625 
 388           288          -288 
 676  0  100  100  576  676 
 425           200          -200 
 625  0  225  225  400  625 
 612           288          -288 
 900  0  324  324  576  900 
 626           50           -50 
 676  0  576  576  100  676 
 641           200          -200 
 841  0  441  441  400  841 
 706           450          -450 
 1156  0  256  256  900  1156 
 738           162          -162 
 900  0  576  576  324  900 
 833           392          -392 
 1225  0  441  441  784  1225 
 873           648          -648 
 1521  0  225  225  1296  1521 
 881           800          -800 
 1681  0  81  81  1600  1681 

Edited on June 2, 2012, 1:58 pm

Posted by Charlie on 2012-06-02 13:48:42