A magician asked a spectator to think of a three-digit number ABC and then to tell him the sum of numbers ACB, BAC, BCA, CAB, and CBA. He claims that when he knows this sum he can determine the original number. Is that so?

Each original number has a unique resulting sum when the given procedure is followed. The following list is in the order of the resulting sum, and there are no duplicates in that second column.

100    122
200    244
110    334
101    343
300    366
210    456
201    465
400    488
120    546
111    555
102    564
310    578
301    587
500    610
220    668
211    677
202    686
410    700
401    709
600    732
130    758
121    767
112    776
103    785
320    790
311    799
302    808
510    822
501    831
700    854
230    880
221    889
212    898
203    907
420    912
411    921
402    930
610    944
601    953
140    970
800    976
131    979
122    988
113    997
330   1002
104   1006
321   1011
312   1020
303   1029
520   1034
511   1043
502   1052
710   1066
701   1075
240   1092
900   1098
231   1101
222   1110
213   1119
430   1124
204   1128
421   1133
412   1142
403   1151
620   1156
611   1165
602   1174
150   1182
810   1188
141   1191
801   1197
132   1200
123   1209
340   1214
114   1218
331   1223
105   1227
322   1232
313   1241
530   1246
304   1250
521   1255
512   1264
503   1273
720   1278
711   1287
702   1296
250   1304
910   1310
241   1313
901   1319
232   1322
223   1331
440   1336
214   1340
431   1345
205   1349
422   1354
413   1363
630   1368
404   1372
621   1377
612   1386
160   1394
603   1395
820   1400
151   1403
811   1409
142   1412
802   1418
133   1421
350   1426
124   1430
341   1435
115   1439
332   1444
106   1448
323   1453
540   1458
314   1462
531   1467
305   1471
522   1476
513   1485
730   1490
504   1494
721   1499
712   1508
260   1516
703   1517
920   1522
251   1525
911   1531
242   1534
902   1540
233   1543
450   1548
224   1552
441   1557
215   1561
432   1566
206   1570
423   1575
640   1580
414   1584
631   1589
405   1593
622   1598
170   1606
613   1607
830   1612
161   1615
604   1616
821   1621
152   1624
812   1630
143   1633
360   1638
803   1639
134   1642
351   1647
125   1651
342   1656
116   1660
333   1665
107   1669
550   1670
324   1674
541   1679
315   1683
532   1688
306   1692
523   1697
740   1702
514   1706
731   1711
505   1715
722   1720
270   1728
713   1729
930   1734
261   1737
704   1738
921   1743
252   1746
912   1752
243   1755
460   1760
903   1761
234   1764
451   1769
225   1773
442   1778
216   1782
433   1787
207   1791
650   1792
424   1796
641   1801
415   1805
632   1810
406   1814
180   1818
623   1819
840   1824
171   1827
614   1828
831   1833
162   1836
605   1837
822   1842
153   1845
370   1850
813   1851
144   1854
361   1859
804   1860
135   1863
352   1868
126   1872
343   1877
117   1881
560   1882
334   1886
108   1890
551   1891
325   1895
542   1900
316   1904
533   1909
307   1913
750   1914
524   1918
741   1923
515   1927
732   1932
506   1936
280   1940
723   1941
940   1946
271   1949
714   1950
931   1955
262   1958
705   1959
922   1964
253   1967
470   1972
913   1973
244   1976
461   1981
904   1982
235   1985
452   1990
226   1994
443   1999
217   2003
660   2004
434   2008
208   2012
651   2013
425   2017
642   2022
416   2026
190   2030
633   2031
407   2035
850   2036
181   2039
624   2040
841   2045
172   2048
615   2049
832   2054
163   2057
606   2058
380   2062
823   2063
154   2066
371   2071
814   2072
145   2075
362   2080
805   2081
136   2084
353   2089
127   2093
570   2094
344   2098
118   2102
561   2103
335   2107
109   2111
552   2112
326   2116
543   2121
317   2125
760   2126
534   2130
308   2134
751   2135
525   2139
742   2144
516   2148
290   2152
733   2153
507   2157
950   2158
281   2161
724   2162
941   2167
272   2170
715   2171
932   2176
263   2179
706   2180
480   2184
923   2185
254   2188
471   2193
914   2194
245   2197
462   2202
905   2203
236   2206
453   2211
227   2215
670   2216
444   2220
218   2224
661   2225
435   2229
209   2233
652   2234
426   2238
643   2243
417   2247
860   2248
191   2251
634   2252
408   2256
851   2257
182   2260
625   2261
842   2266
173   2269
616   2270
390   2274
833   2275
164   2278
607   2279
381   2283
824   2284
155   2287
372   2292
815   2293
146   2296
363   2301
806   2302
137   2305
580   2306
354   2310
128   2314
571   2315
345   2319
119   2323
562   2324
336   2328
553   2333
327   2337
770   2338
544   2342
318   2346
761   2347
535   2351
309   2355
752   2356
526   2360
743   2365
517   2369
960   2370
291   2373
734   2374
508   2378
951   2379
282   2382
725   2383
942   2388
273   2391
716   2392
490   2396
933   2397
264   2400
707   2401
481   2405
924   2406
255   2409
472   2414
915   2415
246   2418
463   2423
906   2424
237   2427
680   2428
454   2432
228   2436
671   2437
445   2441
219   2445
662   2446
436   2450
653   2455
427   2459
870   2460
644   2464
418   2468
861   2469
192   2472
635   2473
409   2477
852   2478
183   2481
626   2482
843   2487
174   2490
617   2491
391   2495
834   2496
165   2499
608   2500
382   2504
825   2505
156   2508
373   2513
816   2514
147   2517
590   2518
364   2522
807   2523
138   2526
581   2527
355   2531
129   2535
572   2536
346   2540
563   2545
337   2549
780   2550
554   2554
328   2558
771   2559
545   2563
319   2567
762   2568
536   2572
753   2577
527   2581
970   2582
744   2586
518   2590
961   2591
292   2594
735   2595
509   2599
952   2600
283   2603
726   2604
943   2609
274   2612
717   2613
491   2617
934   2618
265   2621
708   2622
482   2626
925   2627
256   2630
473   2635
916   2636
247   2639
690   2640
464   2644
907   2645
238   2648
681   2649
455   2653
229   2657
672   2658
446   2662
663   2667
437   2671
880   2672
654   2676
428   2680
871   2681
645   2685
419   2689
862   2690
193   2693
636   2694
853   2699
184   2702
627   2703
844   2708
175   2711
618   2712
392   2716
835   2717
166   2720
609   2721
383   2725
826   2726
157   2729
374   2734
817   2735
148   2738
591   2739
365   2743
808   2744
139   2747
582   2748
356   2752
573   2757
347   2761
790   2762
564   2766
338   2770
781   2771
555   2775
329   2779
772   2780
546   2784
763   2789
537   2793
980   2794
754   2798
528   2802
971   2803
745   2807
519   2811
962   2812
293   2815
736   2816
953   2821
284   2824
727   2825
944   2830
275   2833
718   2834
492   2838
935   2839
266   2842
709   2843
483   2847
926   2848
257   2851
474   2856
917   2857
248   2860
691   2861
465   2865
908   2866
239   2869
682   2870
456   2874
673   2879
447   2883
890   2884
664   2888
438   2892
881   2893
655   2897
429   2901
872   2902
646   2906
863   2911
194   2914
637   2915
854   2920
185   2923
628   2924
845   2929
176   2932
619   2933
393   2937
836   2938
167   2941
384   2946
827   2947
158   2950
375   2955
818   2956
149   2959
592   2960
366   2964
809   2965
583   2969
357   2973
574   2978
348   2982
791   2983
565   2987
339   2991
782   2992
556   2996
773   3001
547   3005
990   3006
764   3010
538   3014
981   3015
755   3019
529   3023
972   3024
746   3028
963   3033
294   3036
737   3037
954   3042
285   3045
728   3046
945   3051
276   3054
719   3055
493   3059
936   3060
267   3063
484   3068
927   3069
258   3072
475   3077
918   3078
249   3081
692   3082
466   3086
909   3087
683   3091
457   3095
674   3100
448   3104
891   3105
665   3109
439   3113
882   3114
656   3118
873   3123
647   3127
864   3132
195   3135
638   3136
855   3141
186   3144
629   3145
846   3150
177   3153
394   3158
837   3159
168   3162
385   3167
828   3168
159   3171
376   3176
819   3177
593   3181
367   3185
584   3190
358   3194
575   3199
349   3203
792   3204
566   3208
783   3213
557   3217
774   3222
548   3226
991   3227
765   3231
539   3235
982   3236
756   3240
973   3245
747   3249
964   3254
295   3257
738   3258
955   3263
286   3266
729   3267
946   3272
277   3275
494   3280
937   3281
268   3284
485   3289
928   3290
259   3293
476   3298
919   3299
693   3303
467   3307
684   3312
458   3316
675   3321
449   3325
892   3326
666   3330
883   3335
657   3339
874   3344
648   3348
865   3353
196   3356
639   3357
856   3362
187   3365
847   3371
178   3374
395   3379
838   3380
169   3383
386   3388
829   3389
377   3397
594   3402
368   3406
585   3411
359   3415
576   3420
793   3425
567   3429
784   3434
558   3438
775   3443
549   3447
992   3448
766   3452
983   3457
757   3461
974   3466
748   3470
965   3475
296   3478
739   3479
956   3484
287   3487
947   3493
278   3496
495   3501
938   3502
269   3505
486   3510
929   3511
477   3519
694   3524
468   3528
685   3533
459   3537
676   3542
893   3547
667   3551
884   3556
658   3560
875   3565
649   3569
866   3574
197   3577
857   3583
188   3586
848   3592
179   3595
396   3600
839   3601
387   3609
378   3618
595   3623
369   3627
586   3632
577   3641
794   3646
568   3650
785   3655
559   3659
776   3664
993   3669
767   3673
984   3678
758   3682
975   3687
749   3691
966   3696
297   3699
957   3705
288   3708
948   3714
279   3717
496   3722
939   3723
487   3731
478   3740
695   3745
469   3749
686   3754
677   3763
894   3768
668   3772
885   3777
659   3781
876   3786
867   3795
198   3798
858   3804
189   3807
849   3813
397   3821
388   3830
379   3839
596   3844
587   3853
578   3862
795   3867
569   3871
786   3876
777   3885
994   3890
768   3894
985   3899
759   3903
976   3908
967   3917
298   3920
958   3926
289   3929
949   3935
497   3943
488   3952
479   3961
696   3966
687   3975
678   3984
895   3989
669   3993
886   3998
877   4007
868   4016
199   4019
859   4025
398   4042
389   4051
597   4065
588   4074
579   4083
796   4088
787   4097
778   4106
995   4111
769   4115
986   4120
977   4129
968   4138
299   4141
959   4147
498   4164
489   4173
697   4187
688   4196
679   4205
896   4210
887   4219
878   4228
869   4237
399   4263
598   4286
589   4295
797   4309
788   4318
779   4327
996   4332
987   4341
978   4350
969   4359
499   4385
698   4408
689   4417
897   4431
888   4440
879   4449
599   4507
798   4530
789   4539
997   4553
988   4562
979   4571
699   4629
898   4652
889   4661
799   4751
998   4774
989   4783
899   4873
999   4995

But how can the magician get to the original number from the second column result?

If all six permutations of the digits, including the original number, had been used, the result would have been 222*(A+B+C). But the original number is left out, so if one subtracts 222 successively A+B+C times, the result will be the negative of the original number. The magician performs the trick by successively subtracting 222, keeping track of how many he has subtracted until a negative number appears whose sum of digits matches the number of times he has subtracted 222. He now has the original number; the uniqueness of the transformed number assures that this will happen only for the original number.

Suppose the chosen spectator says the total is 1607. The results after successive subtractions of 222 are:

    1     1385
    2     1163
    3     941
    4     719
    5     497
    6     275
    7     53
    8    -169
    9    -391
   10    -613
  
First of all, the results don't go negative until the eighth subtraction, so the magician need not concern himself with the s.o.d. until then. After the 8th subtraction itself, the s.o.d. is clearly larger than 8, and likewise after the 9th subtraction, larger than 9. After the 10th subtraction the s.o.d. of -613 is indeed 10, so 613 was the original number, which can be verified in the table above.

Of course, with practice, the magician will know a lot of multiples of 222 and need not go through all the successive subtractions of 222--just know how many are accounted for.

Edited on February 23, 2013, 4:35 pm

Posted by Charlie on 2013-02-23 16:33:19