Find all triples (x, y, z) of positive integers such that x³ + y³ + z³ - 3xyz = p

where p is a prime greater than 3

    5   open "algeprm.txt" for output as #2
   10   for Tot=3 to 500
   20    for X=1 to int(Tot//3)
   30       for Y=X to int((Tot-X)//2)
   40          Z=Tot-X-Y
   50          P=X^3+Y^3+Z^3-3*X*Y*Z
   60          if fnPrime(P) then
   70              :print X;Y;Z,P
   71              :print #2,X;Y;Z,P
   80       next
   90    next
  100   next
  150   close
  800   end
  900   '
10000   fnOddfact(N)
10010   local K=0,P
10030   while N@2=0
10040     N=N\2
10050     K=K+1
10060   wend
10070   P=pack(N,K)
10080   return(P)
10090   '
10100   fnPrime(N)
10110   local I,X,J,Y,Q,K,T,Ans
10120   if N@2=0 then Ans=0:goto *EndPrime
10125   O=fnOddfact(N-1)
10130   Q=member(O,1)
10140   K=member(O,2)
10150   I=0
10160   repeat
10170     repeat
10180       X=fnLrand(N)
10190     until X>1
10200     J=0
10210     Y=modpow(X,Q,N)
10220     loop
10230       if or{and{J=0,Y=1},Y=N-1} then goto *ProbPrime
10240       if and{J>0,Y=1} then goto *NotPrime
10250       J=J+1
10260       if J=K then goto *NotPrime
10270       Y=(Y*Y)@N
10280     endloop
10290    *ProbPrime
10300     I=I+1
10310   until I>50
10320   Ans=1
10330   goto *EndPrime
10340   *NotPrime
10350   Ans=0
10360   *EndPrime
10370   return(Ans)
10380   '
10400   fnLrand(N)
10410   local R
10415   N=int(N)
10420   R=(int(rnd*10^(alen(N)+2)))@N
10430   return(R)
10440   '
10500   fnNxprime(X)
10510   if X@2=0 then X=X+1
10520   while fnPrime(X)=0
10530     X=X+2
10540   wend
10550   return(X)
10560   '

There seems to be a pattern: you can get any prime you want by making two of the numbers the same, and one differing by 1. The numbers themselves then also add up to the prime.

 1  2  2   5
 2  2  3   7
 3  4  4   11
 4  4  5   13
 5  6  6   17
 6  6  7   19
 7  8  8   23
 9  10  10   29
 10  10  11   31
 12  12  13   37
 13  14  14   41
 14  14  15   43
 15  16  16   47
 17  18  18   53
 19  20  20   59
 20  20  21   61
 22  22  23   67
 23  24  24   71
 24  24  25   73
 26  26  27   79
 27  28  28   83
 29  30  30   89
 32  32  33   97
 33  34  34   101
 34  34  35   103
 35  36  36   107
 36  36  37   109
 37  38  38   113
 42  42  43   127
 43  44  44   131
 45  46  46   137
 46  46  47   139
 49  50  50   149
 50  50  51   151
 52  52  53   157
 54  54  55   163
 55  56  56   167
 57  58  58   173
 59  60  60   179
 60  60  61   181
 63  64  64   191
 64  64  65   193
 65  66  66   197
 66  66  67   199
 70  70  71   211
 74  74  75   223
 75  76  76   227
 76  76  77   229
 77  78  78   233
 79  80  80   239
 80  80  81   241
 83  84  84   251
 85  86  86   257
 87  88  88   263
 89  90  90   269
 90  90  91   271
 92  92  93   277
 93  94  94   281
 94  94  95   283
 97  98  98   293
 102  102  103   307
 103  104  104   311
 104  104  105   313
 105  106  106   317
 110  110  111   331
 112  112  113   337
 115  116  116   347
 116  116  117   349
 117  118  118   353
 119  120  120   359
 122  122  123   367
 124  124  125   373
 126  126  127   379
 127  128  128   383
 129  130  130   389
 132  132  133   397
 133  134  134   401
 136  136  137   409
 139  140  140   419
 140  140  141   421
 143  144  144   431
 144  144  145   433
 146  146  147   439
 147  148  148   443
 149  150  150   449
 152  152  153   457
 153  154  154   461
 154  154  155   463
 155  156  156   467
 159  160  160   479
 162  162  163   487
 163  164  164   491
 166  166  167   499

Posted by Charlie on 2013-12-25 12:22:06