The envelopes for the successive cards are shown below, in all the possibilities. Those cases with each envelope receiving at least one card are marked with an asterisk. If the distribution is two in each envelope, there is a second asterisk.

111111  

111112  

111113  

111121  

111122  

111123  * 

111131  

111132  * 

111133  

111211  

111212  

111213  * 

111221  

111222  

111223  * 

111231  * 

111232  * 

111233  * 

111311  

111312  * 

111313  

111321  * 

111322  * 

111323  * 

111331  

111332  * 

111333  

112111  

112112  

112113  * 

112121  

112122  

112123  * 

112131  * 

112132  * 

112133  * 

112211  

112212  

112213  * 

112221  

112222  

112223  * 

112231  * 

112232  * 

112233  * *

112311  * 

112312  * 

112313  * 

112321  * 

112322  * 

112323  * *

112331  * 

112332  * *

112333  * 

113111  

113112  * 

113113  

113121  * 

113122  * 

113123  * 

113131  

113132  * 

113133  

113211  * 

113212  * 

113213  * 

113221  * 

113222  * 

113223  * *

113231  * 

113232  * *

113233  * 

113311  

113312  * 

113313  

113321  * 

113322  * *

113323  * 

113331  

113332  * 

113333  

121111  

121112  

121113  * 

121121  

121122  

121123  * 

121131  * 

121132  * 

121133  * 

121211  

121212  

121213  * 

121221  

121222  

121223  * 

121231  * 

121232  * 

121233  * *

121311  * 

121312  * 

121313  * 

121321  * 

121322  * 

121323  * *

121331  * 

121332  * *

121333  * 

122111  

122112  

122113  * 

122121  

122122  

122123  * 

122131  * 

122132  * 

122133  * *

122211  

122212  

122213  * 

122221  

122222  

122223  * 

122231  * 

122232  * 

122233  * 

122311  * 

122312  * 

122313  * *

122321  * 

122322  * 

122323  * 

122331  * *

122332  * 

122333  * 

123111  * 

123112  * 

123113  * 

123121  * 

123122  * 

123123  * *

123131  * 

123132  * *

123133  * 

123211  * 

123212  * 

123213  * *

123221  * 

123222  * 

123223  * 

123231  * *

123232  * 

123233  * 

123311  * 

123312  * *

123313  * 

123321  * *

123322  * 

123323  * 

123331  * 

123332  * 

123333  * 

131111  

131112  * 

131113  

131121  * 

131122  * 

131123  * 

131131  

131132  * 

131133  

131211  * 

131212  * 

131213  * 

131221  * 

131222  * 

131223  * *

131231  * 

131232  * *

131233  * 

131311  

131312  * 

131313  

131321  * 

131322  * *

131323  * 

131331  

131332  * 

131333  

132111  * 

132112  * 

132113  * 

132121  * 

132122  * 

132123  * *

132131  * 

132132  * *

132133  * 

132211  * 

132212  * 

132213  * *

132221  * 

132222  * 

132223  * 

132231  * *

132232  * 

132233  * 

132311  * 

132312  * *

132313  * 

132321  * *

132322  * 

132323  * 

132331  * 

132332  * 

132333  * 

133111  

133112  * 

133113  

133121  * 

133122  * *

133123  * 

133131  

133132  * 

133133  

133211  * 

133212  * *

133213  * 

133221  * *

133222  * 

133223  * 

133231  * 

133232  * 

133233  * 

133311  

133312  * 

133313  

133321  * 

133322  * 

133323  * 

133331  

133332  * 

133333  

211111  

211112  

211113  * 

211121  

211122  

211123  * 

211131  * 

211132  * 

211133  * 

211211  

211212  

211213  * 

211221  

211222  

211223  * 

211231  * 

211232  * 

211233  * *

211311  * 

211312  * 

211313  * 

211321  * 

211322  * 

211323  * *

211331  * 

211332  * *

211333  * 

212111  

212112  

212113  * 

212121  

212122  

212123  * 

212131  * 

212132  * 

212133  * *

212211  

212212  

212213  * 

212221  

212222  

212223  * 

212231  * 

212232  * 

212233  * 

212311  * 

212312  * 

212313  * *

212321  * 

212322  * 

212323  * 

212331  * *

212332  * 

212333  * 

213111  * 

213112  * 

213113  * 

213121  * 

213122  * 

213123  * *

213131  * 

213132  * *

213133  * 

213211  * 

213212  * 

213213  * *

213221  * 

213222  * 

213223  * 

213231  * *

213232  * 

213233  * 

213311  * 

213312  * *

213313  * 

213321  * *

213322  * 

213323  * 

213331  * 

213332  * 

213333  * 

221111  

221112  

221113  * 

221121  

221122  

221123  * 

221131  * 

221132  * 

221133  * *

221211  

221212  

221213  * 

221221  

221222  

221223  * 

221231  * 

221232  * 

221233  * 

221311  * 

221312  * 

221313  * *

221321  * 

221322  * 

221323  * 

221331  * *

221332  * 

221333  * 

222111  

222112  

222113  * 

222121  

222122  

222123  * 

222131  * 

222132  * 

222133  * 

222211  

222212  

222213  * 

222221  

222222  

222223  

222231  * 

222232  

222233  

222311  * 

222312  * 

222313  * 

222321  * 

222322  

222323  

222331  * 

222332  

222333  

223111  * 

223112  * 

223113  * *

223121  * 

223122  * 

223123  * 

223131  * *

223132  * 

223133  * 

223211  * 

223212  * 

223213  * 

223221  * 

223222  

223223  

223231  * 

223232  

223233  

223311  * *

223312  * 

223313  * 

223321  * 

223322  

223323  

223331  * 

223332  

223333  

231111  * 

231112  * 

231113  * 

231121  * 

231122  * 

231123  * *

231131  * 

231132  * *

231133  * 

231211  * 

231212  * 

231213  * *

231221  * 

231222  * 

231223  * 

231231  * *

231232  * 

231233  * 

231311  * 

231312  * *

231313  * 

231321  * *

231322  * 

231323  * 

231331  * 

231332  * 

231333  * 

232111  * 

232112  * 

232113  * *

232121  * 

232122  * 

232123  * 

232131  * *

232132  * 

232133  * 

232211  * 

232212  * 

232213  * 

232221  * 

232222  

232223  

232231  * 

232232  

232233  

232311  * *

232312  * 

232313  * 

232321  * 

232322  

232323  

232331  * 

232332  

232333  

233111  * 

233112  * *

233113  * 

233121  * *

233122  * 

233123  * 

233131  * 

233132  * 

233133  * 

233211  * *

233212  * 

233213  * 

233221  * 

233222  

233223  

233231  * 

233232  

233233  

233311  * 

233312  * 

233313  * 

233321  * 

233322  

233323  

233331  * 

233332  

233333  

311111  

311112  * 

311113  

311121  * 

311122  * 

311123  * 

311131  

311132  * 

311133  

311211  * 

311212  * 

311213  * 

311221  * 

311222  * 

311223  * *

311231  * 

311232  * *

311233  * 

311311  

311312  * 

311313  

311321  * 

311322  * *

311323  * 

311331  

311332  * 

311333  

312111  * 

312112  * 

312113  * 

312121  * 

312122  * 

312123  * *

312131  * 

312132  * *

312133  * 

312211  * 

312212  * 

312213  * *

312221  * 

312222  * 

312223  * 

312231  * *

312232  * 

312233  * 

312311  * 

312312  * *

312313  * 

312321  * *

312322  * 

312323  * 

312331  * 

312332  * 

312333  * 

313111  

313112  * 

313113  

313121  * 

313122  * *

313123  * 

313131  

313132  * 

313133  

313211  * 

313212  * *

313213  * 

313221  * *

313222  * 

313223  * 

313231  * 

313232  * 

313233  * 

313311  

313312  * 

313313  

313321  * 

313322  * 

313323  * 

313331  

313332  * 

313333  

321111  * 

321112  * 

321113  * 

321121  * 

321122  * 

321123  * *

321131  * 

321132  * *

321133  * 

321211  * 

321212  * 

321213  * *

321221  * 

321222  * 

321223  * 

321231  * *

321232  * 

321233  * 

321311  * 

321312  * *

321313  * 

321321  * *

321322  * 

321323  * 

321331  * 

321332  * 

321333  * 

322111  * 

322112  * 

322113  * *

322121  * 

322122  * 

322123  * 

322131  * *

322132  * 

322133  * 

322211  * 

322212  * 

322213  * 

322221  * 

322222  

322223  

322231  * 

322232  

322233  

322311  * *

322312  * 

322313  * 

322321  * 

322322  

322323  

322331  * 

322332  

322333  

323111  * 

323112  * *

323113  * 

323121  * *

323122  * 

323123  * 

323131  * 

323132  * 

323133  * 

323211  * *

323212  * 

323213  * 

323221  * 

323222  

323223  

323231  * 

323232  

323233  

323311  * 

323312  * 

323313  * 

323321  * 

323322  

323323  

323331  * 

323332  

323333  

331111  

331112  * 

331113  

331121  * 

331122  * *

331123  * 

331131  

331132  * 

331133  

331211  * 

331212  * *

331213  * 

331221  * *

331222  * 

331223  * 

331231  * 

331232  * 

331233  * 

331311  

331312  * 

331313  

331321  * 

331322  * 

331323  * 

331331  

331332  * 

331333  

332111  * 

332112  * *

332113  * 

332121  * *

332122  * 

332123  * 

332131  * 

332132  * 

332133  * 

332211  * *

332212  * 

332213  * 

332221  * 

332222  

332223  

332231  * 

332232  

332233  

332311  * 

332312  * 

332313  * 

332321  * 

332322  

332323  

332331  * 

332332  

332333  

333111  

333112  * 

333113  

333121  * 

333122  * 

333123  * 

333131  

333132  * 

333133  

333211  * 

333212  * 

333213  * 

333221  * 

333222  

333223  

333231  * 

333232  

333233  

333311  

333312  * 

333313  

333321  * 

333322  

333323  

333331  

333332  

333333  

540 cases have at least one card in each envelope; of those 90 have the distribution 2,2,2. That's 1/6.

So was the presence of a card in each envelope discovered after the fact, or was one card seeded in each envelope first. If the latter, then three of the cards were not distributed randomly, but the puzzle states all six were distributed randomly.