Let AOD(i) be the sum of digits of i divided by the number of digits of i, or the Average Of Digits.
N is the smallest integer > 1 such that the AOD(N^k) is the same for k in {1,2,3,4}
M has the same requirements as N, except AOD(M) must be an integer.
L has the same requirements as M, except that L is the smallest such integer with AOD(L) equal to some integer other than AOD(M).
Find:
1. N, AOD(N)
2. M, AOD(M)
3. L, AOD(L)
4 kill "aod.txt"
5 N=1:open "aod.txt" for output as #2
10 repeat
20 N=N+1
30 A=fnAod(N):if A=fnAod(N*N) then
40 :if A=fnAod(N*N*N) then
50 :if A=fnAod(N*N*N*N) then
60 :print N,A:print #2,N,A,N*N,N*N*N,N*N*N*N
70 until 0
999 end
1000 fnAod(X)
1010 local T,I,Xs$
1015 Xs$=cutspc(str(X)):T=0
1020 for I=1 to len(Xs$)
1030 T=T+val(mid(Xs$,I,1))
1040 next
1050 return(T/len(Xs$))
finds that M = N as the first such average is in fact an integer: 801 and its powers to 4 each have an average digit of 3.
The findings are shown below, with the number, the average of its digits, and the number's square, cube and fourth power given, each of whose digits average the same as the number itself. The program was stopped and the file closed manually when an integral average was noticed, as it has an infinite loop.
The next one with integral average, L, is 571,050, whose average is 3 and whose line on the below table is
571050 3.0 326098102500 186218321432625000 106339972454100506250000
The integral average that caught my eye, to stop the program was in fact the seventh. All have average equal to 3.
801 3.0 641601 513922401 411651843201
7092 4.5 50296464 356702522688 2529734290903296
7362 4.5 54199044 399013361928 2937536370513936
8010 2.25 64160100 513922401000 4116518432010000
8064 4.5 65028096 524386566144 4228653269385216
8118 4.5 65901924 534991819032 4343063586901776
8532 4.5 72795024 621087144768 5299115519160576
9261 4.5 85766121 794280046581 7355827511386641
57105 3.6 3260981025 186218321432625 10633997245410050625
57366 5.4 3290857956 188783357503896 10829746086568497936
58005 3.6 3364580025 195162464350125 11320398744629000625
59004 3.6 3481472016 205420774832064 12120647398191104256
60291 3.6 3635004681 219158067222171 13213259030891911761
63621 3.6 4047631641 257514372632061 16383321901224352881
64566 5.4 4168768356 269160697673496 17378629605986942736
68382 5.4 4676097924 319760928238968 21865891794837109776
70920 3.6 5029646400 356702522688000 25297342909032960000
71505 3.6 5112965025 365602564112625 26142411346873250625
73620 3.6 5419904400 399013361928000 29375363705139360000
75006 3.6 5625900036 421976258100216 31650751215064801296
75051 3.6 5632652601 422736210357651 31726775323552065201
76275 5.4 5817875625 443758463296875 33847676787969140625
80064 3.6 6410244096 513229783302144 41091229370302857216
80100 1.8 6416010000 513922401000000 41165184320100000000
80640 3.6 6502809600 524386566144000 42286532693852160000
81180 3.6 6590192400 534991819032000 43430635869017760000
83772 5.4 7017747984 587890784115648 49248786766936064256
85320 3.6 7279502400 621087144768000 52991155191605760000
85608 5.4 7328729664 627397889075712 53710278487993552896
86832 5.4 7539796224 654695585722368 56848527099444658176
87228 5.4 7608723984 663693775676352 57892680664696832256
87372 5.4 7633866384 666986173702848 58275915968765235456
89253 5.4 7966098009 710998145597277 63458717488993764081
90135 3.6 8124318225 732285423210375 66004546621067150625
91359 5.4 8346466881 762524867781279 69663509395629868161
91701 3.6 8409073401 771120439945101 70712515463405706801
92610 3.6 8576612100 794280046581000 73558275113866410000
93942 5.4 8825099364 829047484452888 77882378784473204496
94536 5.4 8937055296 844873459462656 79870957363761647616
96273 5.4 9268490529 892305388698417 85904916686162699841
98172 5.4 9637741584 946156366784448 92886062839962829056
99414 5.4 9883143396 982522817569944 97676523385898412816
99513 5.4 9902837169 985461035198697 98066183995727934561
564228 4.5 318353235984 179623809632780352 101348782861484392448256
564309 4.5 318444647481 179701180575355629 101406993509298359645361
564552 4.5 318718960704 179933426703364608 101581775912237896175616
564705 4.5 318891737025 180079758356702625 101691939942821755850625
565308 4.5 319573134864 180657249723698112 102126988526804332298496
566406 4.5 320815756836 181711969566451416 102922749834255480730896
566424 4.5 320836147776 181729294167873024 102935833719743309746176
567036 4.5 321529825296 182318986016542656 103381428554876281487616
568413 4.5 323093338569 183650453856020997 104389305427662462967761
569214 4.5 324004577796 184427941745572344 104978966432764216217616
570519 4.5 325491929361 185699330047108359 105944996079146213868321
570834 4.5 325851455556 186007089780853704 106179171087963843269136
570906 4.5 325933660836 186077482573237416 106232751265956680218896
571050 3.0 326098102500 186218321432625000 106339972454100506250000
571095 4.5 326149499025 186262348145682375 106373495714258475950625
571572 4.5 326694551184 186729458009341248 106729329773315195801856
571635 4.5 326766573225 186791210085472875 106776393377209286900625
573660 4.5 329085795600 188783357503896000 108297460865684979360000
574146 4.5 329643629316 189263571197264136 108664922348624414627856
574362 4.5 329891707044 189477260641205928 108828538376404319217936
576612 4.5 332481398544 191712764177252928 110543880377774165319936
578124 4.5 334227359376 193224857911890624 111707927755453855109376
578322 4.5 334456335684 193423456965442248 111861040479168491747856
579222 4.5 335498125284 194327895123249048 112558992069078560080656
580050 3.0 336458002500 195162464350125000 113203987446290006250000
580806 4.5 337335609636 195926546090246616 113795313528491776052496
581355 4.5 337973636025 196482663171313875 114226178647959177800625
581445 4.5 338078288025 196573930180696125 114296928833914858400625
582156 4.5 338905608336 197295933326452416 114857011361594232688896
582624 4.5 339450725376 197772139421466624 115226794958292570341376
583317 4.5 340258722489 198478697226116013 115775998229846314355121
584712 4.5 341888122944 199906088142832128 116887488610171659227136
587106 4.5 344693455236 202371595729787016 118813578082532335815696
589221 4.5 347181386841 204566563935840861 120534915368840087959281
590040 3.0 348147201600 205420774832064000 121206473981911042560000
590094 4.5 348210928836 205477179840550584 121250850960829856314896
590292 4.5 348444645264 205684086542177088 121413670813154797629696
590517 4.5 348710327289 205919376339718413 121598892358001498089521
592029 4.5 350498336841 207505179861640389 122849084128307097859281
592092 4.5 350572936464 207571431096842688 122901383780991780823296
592533 4.5 351095356089 208035584629483437 123267949067261709375921
593352 4.5 352066595904 208899418812830208 123950887951430429577216
594108 4.5 352964315664 209698923650507712 124583808132155835760896
595026 4.5 354055940676 210672490156677576 125355609127967231336976
595044 4.5 354077361936 210691609755845184 125370778235557141668096
596214 4.5 355471133796 211936866565048344 126359726962213733369616
602910 3.0 363500468100 219158067222171000 132132590308919117610000
602937 4.5 363533025969 219187512078670953 132156260970177628388961
603396 4.5 364086732816 219688478234243136 132559149012629371289856
603558 4.5 364282259364 219865471897217112 132701564487340565684496
604665 4.5 365619762225 221077473525779625 133677810529465536950625
605736 4.5 366916101696 222254291776928256 134627425683789414076416
608337 4.5 370073905569 225129649492128753 136954695583093129213761
608364 4.5 370106756496 225159626808932544 136979011203989438198016
608472 4.5 370238174784 225279562687170048 137076306067387733446656
609048 4.5 370939466304 225919940073518592 137596087661896351420416
609462 4.5 371443929444 226380960126799128 137970592720799250149136
611298 4.5 373685244804 228433042778195592 139640662184225408998416
611397 4.5 373806291609 228544045270867773 139731143646472743808881
611478 4.5 373905344484 228634892234387352 139805206633698709226256
612396 4.5 375028860816 229666174248275136 140646646444946700185856
613458 4.5 376330717764 230863089458067912 141624809132767425159696
613746 4.5 376684152516 231188391870084936 141890950756697149130256
613782 4.5 376728343524 231229076144847768 141924244814336952738576
614448 4.5 377546344704 231982596410683392 142541242399351588847616
614691 4.5 377845025481 232257936557941371 142766863280737539281361
616842 4.5 380494052964 234704712618419688 144775724340971237185296
617337 4.5 381104971569 235270199833491753 145240999354608298321761
617409 4.5 381193873281 235352528108548929 145308769026971085704961
617463 4.5 381260556369 235414286917271847 145359611842799426464161
617526 4.5 381338360676 235486352514807576 145418945323059063176976
617823 4.5 381705259329 235826288434420767 145698904999419141530241
618426 4.5 382450717476 236517467405812776 146268551297907171810576
618642 4.5 382717924164 236765382040665288 146473009476401255098896
619425 4.5 383687330625 237665524772390625 147215967682138062890625
620289 4.5 384758443521 238661430173197569 148039059860702546877441
621297 4.5 386009962209 239826831490565073 149003690924593608159681
621945 4.5 386815583025 240578017784483625 149626295270970668150625
621981 4.5 386860364361 240619796285619141 149660941513525678938321
623916 4.5 389271175056 242872514456239296 151532047729478996603136
623961 4.5 389327329521 242925069855252681 151575769511953318089441
624537 4.5 390046464369 243598448717622153 152136244366757586568161
624816 4.5 390395033856 243925063473770496 152408282459427386228736
625284 4.5 390980080656 244473588752906304 152865423469772265390336
625662 4.5 391452938244 244917228247617528 153235402859860877803536
626283 4.5 392230396089 245647229153807187 153844683616133826495921
627246 4.5 393437544516 246782126047482936 154793101434779481674256
628443 4.5 394940604249 248197658156054307 155978080884565236854001
629136 4.5 395812106496 249019645432467456 156667223648800845398016
630369 4.5 397365076161 250486625694533409 157899003752437330497921
630738 4.5 397830424644 250926766379107272 158269046772425362526736
631278 4.5 398511913284 251571803594096952 158811745029274335664656
632826 4.5 400468746276 253427034830855976 160375216743871263868176
633861 4.5 401779767321 254672525093856381 161426981428516899517041
635904 4.5 404373897216 257142978735243264 163518248749656132550656
636174 4.5 404717358276 257470660683876024 163796140089904145692176
636210 3.0 404763164100 257514372632061000 163833219012243528810000
636462 4.5 405083877444 257820494805763128 164092947765065611973136
636633 4.5 405301576689 258028358672248137 164269368066589348202721
637308 4.5 406161486864 258849964870322112 164967153411575244554496
638118 4.5 407194581924 259838192228179032 165807427548261147541776
638442 4.5 407608187364 260234186357046888 166144434406165729268496
638712 4.5 407953018944 260564488635760128 166425665665523622875136
639126 4.5 408482043876 261071494774292376 166857580169114389103376
639135 4.5 408493548225 261082523944785375 166866978941450400650625
640917 4.5 410774600889 263272424877975213 168735772735517239590321
641088 4.5 410993823744 263483208476393472 168915923155714138177536
641457 4.5 411467082849 263938440563070993 169305160268265829956801
641781 4.5 411882851961 264338588614382541 169647483739527041545521
641808 4.5 411917508864 264371952528986112 169676034108723518570496
642645 4.5 412992596025 265407626872486125 170562884371468845800625
642933 4.5 413362842489 265764612409980237 170868839550585823715121
642951 4.5 413385988401 265786934628411351 170887975406271706536801
643653 4.5 414289184409 266658476412406077 171635528318274408679281
643734 4.5 414393462756 266759161353770904 171721941974908359115536
644085 4.5 414845487225 267195755639314125 172096778270947638200625
644805 4.5 415773488025 268092823945960125 172867593344474818400625
645174 4.5 416249490276 268553348639328024 173263638155029818556176
645453 4.5 416609575209 268901900147374677 173563538155823427393681
645624 4.5 416830349376 269115677485530624 173747540160918223589376
645660 4.5 416876835600 269160697673496000 173786296059869427360000
646281 4.5 417679130961 269938086436606041 174455856440336188783521
648009 4.5 419915664081 272109129565464729 176329164940587233574561
650259 4.5 422836767081 274953413325323979 178790931595511845260561
650268 4.5 422848471824 274964830076048832 178800830123892121886976
652068 4.5 425192676624 277254538260858432 180788812254681436037376
653616 4.5 427213875456 279233824420048896 182511695382134679207936
653805 4.5 427460978025 279476124737635125 182722887734089532900625
654435 4.5 428285169225 280284804721762875 183428186178086887100625
655812 4.5 430089379344 282057776046347328 184976874224507133870336
656037 4.5 430384545369 282348185990242653 185230856892480819346161
656316 4.5 430750691856 282708571076162496 185546158534422664724736
657243 4.5 431968361049 283908181520927907 186596664947359220380401
657342 4.5 432098504964 284036495450045688 186709117992123932641296
657621 4.5 432465379641 284398315424894061 187026304588034257288881
659133 4.5 434456311689 286364492092505637 188752286766409518032721
659304 4.5 434681764416 286587426006526464 188948236315806923821056
660744 4.5 436582633536 288469355613110784 190604395905229271863296
660843 4.5 436713470649 288599040084097107 190718655446294984481201
661275 4.5 437284625625 289165390810171875 191217843807996406640625
661293 4.5 437308431849 289189004822720757 191238664566231477558801
662067 4.5 438332712489 290205623959454763 192135566837964336575121
662733 4.5 439215029289 291082294005786837 192909841953337127845521
663714 4.5 440516273796 292376818146238344 194054587479112436249616
664803 4.5 441963028809 293818347441309627 195331318834024963958481
665217 4.5 442513657089 294367607427773313 195818336710281079953921
665343 4.5 442681307649 294534909275108607 195966740141828585907201
665352 4.5 442693283904 294546861832094208 195977343613707545481216
665505 4.5 442896905025 294750104778662625 196157668480723870250625
665523 4.5 442920863529 294774021858410667 196178891349275042333841
666252 4.5 443891727504 295743751232995008 197039865746485390070016
668115 4.5 446377653225 298231605784420875 199253009298658352900625
669024 4.5 447593112576 299450534548045824 200339594425471809355776
670158 4.5 449111744964 300975828781584312 201701359464608979361296
670428 4.5 449473703184 301339755878242752 202026609853938531737856
670545 4.5 449630597025 301497548682128625 202167673781057938850625
671148 4.5 450439637904 302311662099993792 202895867395086633513216
672129 4.5 451757392641 303639244558402689 204084741805794640954881
672426 4.5 452156725476 304041938284924776 204445704393178827426576
674244 4.5 454604971536 306514674428318784 206665680145247370199296
674415 4.5 454835592225 306747945930423375 206875415954666480450625
675243 4.5 455953109049 307879145213573907 207893237651449285684401
675306 4.5 456038193636 307965328391552616 207970834054785830900496
675414 4.5 456184071396 308113108397857944 208103906995430825388816
675513 4.5 456317813169 308248614927230697 208225946615338389822561
675621 4.5 456463735641 308396485537508061 208359141955336733680881
676107 4.5 457120675449 309062488515797043 208959311922949991351601
676341 4.5 457437148281 309383498305519821 209248744627453581254961
680184 4.5 462650273856 314687313872469504 214045275899031797108736
680373 4.5 462907419129 314949709475055117 214283278684671675118641
680517 4.5 463103387289 315149727807748413 214464747318545526769521
681264 4.5 464120637696 316188682119327744 215407966335341696188416
681372 4.5 464267802384 316339081045990848 215544592330468876083456
683532 4.5 467215995024 319357083510744768 218290786006266392760576
683604 4.5 467314428816 319458012796332864 218382775379624331161856
683820 4.5 467609792400 319760928238968000 218658917948371097760000
684162 4.5 468077642244 320240935872939528 219096679168702053355536
684306 4.5 468274701636 320443187977724616 219281196192284821076496
687042 4.5 472026709764 324302174729678088 222809214730627492935696
688014 4.5 473363264196 325680552852546744 224072779890292095526416
690066 4.5 476191084356 328603276817207496 226757948820143107934736
690309 4.5 476526515481 328950542375173629 227077519956463732661361
690381 4.5 476625925161 329053482838576341 227172272535579172875921
690732 4.5 477110695824 329555625147903168 227634616069661451038976
690831 4.5 477247470561 329697347335126191 227765148156872561654721
690921 4.5 477371828241 329826220940099961 227883862398154805154081
692361 4.5 479363754321 331892768305441881 229789608956724046171041
693216 4.5 480548422656 333123855359901696 230926786517169614094336
693342 4.5 480723128964 333305535682157688 231094726720938575713296
694215 4.5 481934466225 334566135470388375 232260829735575665750625
694521 4.5 482359419441 335008746349582761 232670609523458568752481
695232 4.5 483347533824 336038672635527168 233624838453742824062976
696213 4.5 484712541369 337463172564135597 234946247760394536394161
697023 4.5 485841062529 338642394927151167 236041538039307687875841
699111 4.5 488756190321 341694828971504631 238882613577097574083041
702549 4.5 493575097401 346760691103975149 243616376774406636954801
702864 4.5 494017802496 347227328733548544 244053589182976863830016
704574 4.5 496424521476 349767810794431224 246437305522675585218576
704637 4.5 496513301769 349861643418602853 246525458833554058529361
706239 4.5 498773525121 352253315607929919 248775029361628818064641
706365 4.5 498951513225 352441885639177125 248952612549517349900625
706428 4.5 499040519184 352536195886114752 249041439787436272025856
706626 4.5 499320303876 352832709046682376 249320765862820980623376
706725 4.5 499460225625 352981027954828125 249460516981375906640625
707328 4.5 500312899584 353885322636951552 250312997490149667373056
707643 4.5 500758615449 354358328912176707 250759190946399461471601
708192 4.5 501535908864 355183718370213888 251538267880038513770496
709200 3.0 502964640000 356702522688000000 252973429090329600000000
709641 4.5 503590348881 357368358770261721 253603239486087297952161
710892 4.5 505367435664 359261667074052288 255396245029607179120896
711648 4.5 506442875904 360409059751329792 256484386553914343817216
711684 4.5 506494115856 360463758348861504 256536289396751150612736
712197 4.5 507224566809 361243814807669373 257276761174577704442481
|
|
Posted by Charlie
on 2020-08-20 21:38:52 |
computer solution
