Devise an algorithm for writing any positive base ten integer in base 3/2.
How about writing any positive base ten rational number in base 3/2?
It would be nice to have only one way of writing a number, but in base-3/2 there are many ways to write a number. For example, an obvious way of writing 9/4 would be 100. As I found out later, the apparently standard way (if there is such a thing) is
2.0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000
using a digit 2, which I in my inexperienced state thought would not be allowed, given that it's higher than the base.
I started with the assumption that no digit could be higher than the base, limiting the digit choices to zero and one. Further, given that assumption, I could find no way of proceeding from the radix point leftward to find the integral part of the number, so I found a way to proceed from the very leftmost position, using logs to find where to begin.
base=sym(3/2);
for num=1:16
for den=1:16
n=sym(num)/sym(den);
if gcd(num,den)==1
p=sym(floor(eval(log(n)/log(base))));
n1=sym(n); rep='';
if n1<1
p=0;
end
while n1>0 && length(rep)<100 || p>=0
q=sym(floor(n1/base^p));
if q>=1
rep=[rep char(string(q))];
else
rep=[rep '0'];
end
if p==0
rep=[rep '.'];
end
n1=n1-q*base^p;
p=p-1;
end
disp([char(string(n)) ' ' rep]);
end
end
end
1 1.
1/2 0.01000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001000001000010000
1/3 0.00100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
1/4 0.00010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100100001001001000
1/5 0.00010000000000100000010010010000000100000001010000001001000010000100000001000010000000000000100010
1/6 0.00001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010010000100100100
1/7 0.00001000000101000000000001001001000100001000001000010000000100010010001000000100100010000000101000
1/8 0.00000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000000
1/9 0.00000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010
1/10 0.00000100001000000010010100000001001010000001000100000010010010010000000100000010000010000010010000
1/11 0.00000100000000100100010000100100001000100000000001010000001001010000001000100000010000000000000000
1/12 0.00000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010010000010000100000
1/13 0.00000010010000001000000001010000001000010000010100000010001001001001000010001001001010000000010001
1/14 0.00000010001000001001000000100100010010000100010000001000100100001000000010000010000000001010000000
1/15 0.00000010000100000001001010000000100101000000100010000001001001001000000010000001000001000001001000
1/16 0.00000010000001000010001000000100010010010000010010000001000100010000010100000100100000100100001000
2 10.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
2/3 0.1
2/5 0.00100100001001000100100010001000010000010010000100000010000100000100010000010001000100100000010010
2/7 0.00010100000000000001001000000000100100001010000010000100010000001000001000001001000100000001001000
2/9 0.00010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010010000010000100
2/11 0.00001001000100101000001000010100000100000001000010001010000001001000100010010001001010000000000000
2/13 0.00001000010001001001000100010010100000000100001000100010000001000100100100000101000001001000100010
2/15 0.00001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001000000000000010001
3 100.100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
3/2 10.
3/4 0.10000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010010000010000100000
3/5 0.01001000010010001001000100010000100000100100001000000100001000001000100000100010001001000000100100
3/7 0.00101000000000000010010000000001001000010100000100001000100000010000010000010010001000000010010000
3/8 0.00100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010000
3/10 0.00100000000001000000100100100000001000000010100000010010000100001000000010000100000000000001000100
3/11 0.00010010001001010000010000101000001000000010000100010100000010010001000100100010010100000000000000
3/13 0.00010000100010010010001000100101000000001000010001000100000010001001001000001010000010010001000100
3/14 0.00010000001010000000000010010010001000010000010000100000001000100100010000001001000100000001010000
3/16 0.00001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001000001000010000001
4 1000.01001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001
4/3 1.00100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
4/5 0.10001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001000000000000010001
4/7 0.01000101000000000000010010000000001001000010100000100001000100000010000010000010010001000000010010
4/9 0.01
4/11 0.00100010000100001000001000000000001010000000000000100001001001001001000100100101000000100100100100
4/13 0.00100000000101000000100100000001001001001001000001001001000001010000000000100001000100000000100001
4/15 0.00010010000100100010010001000100001000001001000010000001000010000010001000001000100010010000001001
5 1010.00000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
5/2 100.000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010
5/3 10.0000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010
5/4 1.00010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100100001001001000
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5/7 0.10000001000100000100100000010010001001000010001000000100010010000100000001000001000000000101000000
5/8 0.01001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001001
5/9 0.01000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010
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5/13 0.00100100000000000010000100010100000000100000100000000100000000001000000000000010000100100000000000
5/14 0.00100010000000100000000001001000001010000001000101000000100001001001000010010000010010001000000001
5/16 0.00100000001001001000100000000000100001000000000010000100000000100000001000001000000000010001001001
6 10000.1001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001
6/5 1.00010000000000100000010010010000000100000001010000001001000010000100000001000010000000000000100010
6/7 0.10001010000000000000100100000000010010000101000001000010001000000100000100000100100010000000100100
6/11 0.01000100001000010000010000000000010100000000000001000010010010010010001001001010000001001001001000
6/13 0.01000000001010000001001000000010010010010010000010010010000010100000000001000010001000000001000010
7 10010.0010100000010001000010010100000000001000100100000100000010000010000000001010000000100000100100
7/2 1000.00000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
7/3 100.000000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000100001000
7/4 10.0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010010000100100100
7/5 1.00100100001001000100100010001000010000010010000100000010000100000100010000010001000100100000010010
7/6 1.00001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010010000100100100
7/8 0.10010000000100100100010000000000010000100000000001000010000000010000000100000100000000001000100100
7/9 0.10000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000010010010
7/10 0.10000000100010010010100000001000001001001000100100100000100001000010000000101000001001000100010001
7/11 0.01001010000000010000010010001000001000001000101000001001000000000101000000010010100000001000000000
7/12 0.01001000000010010010001000000000001000010000000000100001000000001000000010000010000000000100010010
7/13 0.01000100000010001000000100010000010001000010010010001001000100001000001000100100100000001010000000
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15/16 0.10010010001000100100100010010000100000010010000100000001000000000010000100100001000100100000010010
16 1001001.00010000100100100100010001000010000100101000001001001000100001001000010000000001000100100100
16/3 10000.0001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001
16/5 100.100100101000000010001000100001001010000000001001001000001000100010001000001000100100000100000010
16/7 100.000000001001000100100000001000100000000000100010100000100010010010000010010000000000001010000001
16/9 10.0001001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001
16/11 1.01000000000100100000001000100001001001010000000000010010010000100000001000100100010000100001000000
16/13 1.00010000100010010010001000100101000000001000010001000100000010001001001000001010000010010001000100
16/15 1.00000010000100000001001010000000100101000000100010000001001001001000000010000001000001000001001000
But this does not show a critical case: 4/9+8/27, which analytically should be 0.011, but is given as
20/27 0.10000010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100100001001001
because of the greedy algorithm used. It's not wrong per se, but merely illustrates that the representation is not unique when using this base. 20/27 is approximately 0.740740740740741. The above representation is equivalent to
b^-1 + b^-7 + b^-11 + b^-14 + b^-19 + b^-23 + ...
The terms shown before the ellipsis total 0.7407210352451, showing the goal is reachable when carried out.
Integer bases have unique representations, so they can use a greedy algorithm to get the unique answer. Here the answers are not unique.
In decimal notation, non-unique representations are rarer, occurring only where the fractional part may be .99999999999999999..., equivalent to making the unit position one higher.
But a further difficulty with this system is that integers are represented by sequences that extend to the right of the radix point, seemingly without end altogether.
An algorithm that looks ahead fixes some of the problems can give 20/27 as .011, but not the problem with integers' representations extending past the radix point. It gives 4 as
101.010100101100010101010101001001000110010010110001100100110001010101001100010101011001001010101011
instead of
1000.01001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010010000001
but neither of these two representations (both do add up to 4) looks like what we think that an integer should look like.
Edited on July 29, 2022, 10:22 am
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Posted by Charlie
on 2022-07-29 10:21:02 |
starting computer solution
